Wycena opcji Dynamika cen akcji: dS(t) = aS(t)dt + σS(t)dW(t)

Wycena opcji
Dynamika cen akcji:
dS(t) = aS(t)dt + σS(t)dW (t)
Wycena opcji
Dynamika cen akcji:
dS(t) = aS(t)dt + σS(t)dW (t)
Figure 1: Aproksymacja drzewem dwumianowym
Wycena opcji
Dynamika cen akcji:
dS(t) = aS(t)dt + σS(t)dW (t)
W chwili T mamy C(T ) = (S(T ) − K)+ (ogólnie Df (T ) = f (S(T )) )
Pytanie o cenȩ C(0)
Wycena opcji
Dynamika cen akcji:
dS(t) = aS(t)dt + σS(t)dW (t)
W chwili T mamy C(T ) = (S(T ) − K)+
Pytanie o cenȩ C(0)
C(t) = u(t, S(t))
Wzór Ito-Doeblina
dC(t) = du(t, S(t))
∂u
∂u
1 ∂ 2u 2 2
∂u
dt + aS(t)dt + σS(t)dW (t) +
σ S (t)dt
=
∂t
∂x
∂x
2 ∂x2
C(t) = u(t, S(t))
Wzór Ito-Doeblina
dC(t) = du(t, S(t))
∂u
∂u
∂u
1 ∂ 2u 2 2
=
dt + aS(t)dt + σS(t)dW (t) +
σ S (t)dt
∂t
∂x
∂x
2 ∂x2
C(t) = u(t, S(t))
Wzór Ito-Doeblina
dC(t) = du(t, S(t))
∂u
∂u
∂u
1 ∂ 2u 2 2
=
dt + aS(t)dt + σS(t)dW (t) +
σ S (t)dt
∂t
∂x
∂x
2 ∂x2
postać calkowa Z T
1 ∂ 2u 2 2
∂u ∂u
+ aS(t) +
σ S (t) dt
C(T ) = C(0) +
2
∂t
∂x
2
∂x
Z T 0
∂u
+
σS(t)dW (t)
∂x
0
C(t) = u(t, S(t))
Wzór Ito-Doeblina
dC(t) = du(t, S(t))
∂u
∂u
∂u
1 ∂ 2u 2 2
=
dt + aS(t)dt + σS(t)dW (t) +
σ S (t)dt
∂t
∂x
∂x
2 ∂x2
postać calkowa
Z T
1 ∂ 2u 2 2
∂u ∂u
+ aS(t) +
σ S (t) dt
EC(T ) = C(0) + E
2
∂t
∂x
2
∂x
0
C(t) = u(t, S(t))
Wzór Ito-Doeblina
dC(t) = du(t, S(t))
∂u
∂u
∂u
1 ∂ 2u 2 2
=
dt + aS(t)dt + σS(t)dW (t) +
σ S (t)dt
∂t
∂x
∂x
2 ∂x2
postać calkowa
Z T
1 ∂ 2u 2 2
∂u ∂u
+ aS(t) +
σ S (t) dt
EC(T ) = C(0) + E
2
∂t
∂x
2
∂x
0
C(0) = u(0, x) gdzie x = S(0), a u jest rozwia̧zaniem równania
∂u 1 2 2 ∂ 2u
∂u
+ ax + σ x
=0
∂t
∂x 2
∂x2
w zbiorze (−∞, T ) × R z warunkiem końcowym:
u(T, x) = (x − K)+
Wycena opcji
Dynamika cen akcji:
dS(t) = aS(t)dt + σS(t)dW (t)
W chwili T mamy C(T ) = (S(T ) − K)+
Pytanie o cenȩ C(0)
Oznaczamy x = S(0)
C(0) = u(0, x) = E((S(T ) − K)+) (Wzór Feynmana-Kaca )
gdzie u jest rozwia̧zaniem równania
∂u
∂u 1 2 2 ∂ 2u
+ ax + σ x
=0
∂t
∂x 2
∂x2
w zbiorze (−∞, T ) × R z warunkiem końcowym:
u(T, x) = (x − K)+
Wycena opcji
Dynamika cen akcji:
dS(t) = a(t, S(t))dt + σ(t, S(t))dW (t)
W chwili T mamy C(T ) = (S(T ) − K)+
Pytanie o cenȩ C(0)
Oznaczamy x = S(0)
C(0) = u(0, x) = E((S(T ) − K)+) (metody Monte-Carlo)
gdzie u jest rozwia̧zaniem równania (metody numeryczne)
2
∂u
∂u 1
2∂ u
+ a(t, x) + σ(t, x)
=0
∂t
∂x 2
∂x2
w zbiorze (−∞, T ) × R z warunkiem końcowym:
u(T, x) = (x − K)+
Wycena opcji
Dynamika cen akcji:
dS(t) = aS(t)dt + σS(t)dW (t)
W chwili T mamy C(T ) = (S(T ) − K)+
Pytanie o cenȩ C(0)
Oznaczamy x = S(0)
C(0) = u(0, x) = E((S(T ) − K)+) (Wzór Feynmana-Kaca )
gdzie u jest rozwia̧zaniem równania
∂u
∂u 1 2 2 ∂ 2u
+ ax + σ x
=0
∂t
∂x 2
∂x2
w zbiorze (−∞, T ) × R z warunkiem końcowym:
u(T, x) = (x − K)+
Wycena opcji - Twierdzenie Girsanowa
Dynamika cen akcji:
dS(t) = rS(t)dt + σS(t)dW (t)
W chwili T mamy C(T ) = (S(T ) − K)+
Pytanie o cenȩ C(0)
Oznaczamy x = S(0)
C(0) = u(0, x) = E(e−rT (S(T )−K)+) (Wzór Blacka-Scholesa)
gdzie u jest rozwia̧zaniem równania
∂u
∂u 1 2 2 ∂ 2u
+ rx + σ x
− ru = 0
∂t
∂x 2
∂x2
w zbiorze (−∞, T ) × R z warunkiem końcowym:
u(T, x) = (x − K)+
Ryzyko kredytowe
Model Mertona (strukturalny)
Instrument bazowy: wartość firmy
dV (t) = aV (t)dt + σV (t)dW (t)
Ryzyko kredytowe
Model Mertona (strukturalny)
Instrument bazowy: wartość firmy
dV (t) = aV (t)dt + σV (t)dW (t)
Dlug w chwili T w wysokości D
V (T ) > D splata, zostaje V (T ) − D dla akcjonariuszy
V (T ) ≤ D bankructwo, zostaje 0
Ryzyko kredytowe
Model Mertona (strukturalny)
Instrument bazowy: wartość firmy
dV (t) = aV (t)dt + σV (t)dW (t)
Dlug w chwili T w wysokości D
V (T ) > D splata, zostaje V (T ) − D dla akcjonariuszy
V (T ) ≤ D bankructwo, zostaje 0
Wyplata dla akcjonariuszy w chwili T : (V (T ) − D)+
Akcja - opcja kupna
S(0) = C(0) - cena opcji kupna
Prawdopodobieństwo bankructwa:
P (V (T ) < D) = E(I(−∞,D)(V (T )))
Sprzedaż - przeplywy gotówki
poziom sprzedaży
dX(t) = aX(t)dt + σX X(t)dWX (t)
Sprzedaż - przeplywy gotówki
poziom sprzedaży
dX(t) = aX(t)dt + σX X(t)dWX (t)
ścia̧ganie należności
dY (t) = (b − Y (t))dt + σY dWY (t)
F : (−∞, ∞) → [0, 1]
F (Y (t)) procent sprzedaży w formie gotówki
Sprzedaż - przeplywy gotówki
poziom sprzedaży
dX(t) = aX(t)dt + σX X(t)dWX (t)
ścia̧ganie należności
dY (t) = (b − Y (t))dt + σY dWY (t)
F : (−∞, ∞) → [0, 1]
F (Y (t)) procent sprzedaży w formie gotówki
dG(t) = X(t)F (Y (t))dt − cX(t)dt − rDdt
korekta
dX(t) = a(X(t) + γG(t))dt + σX X(t)dWX (t)
= a(X(t), Y (t))dt + σX X(t)dWX (t)
Ogólnie (X1 = X, X2 = Y )
dX1(t) = a(X1(t), X2(t))dt + σ1X1(t)dW1(t)
dX2(t) = (b − X2(t))dt + σ2dW2(t)
1
1
ut + a(x1, x2)ux1 + (b − x2)ux2 + ρσ1σ2ux1x2 + x21σ12ux1x1 + σ22ux2x2 = 0
2
2
Bankructwo: X1(t) < 0, opcja amerykańska
Prawdopodobieństwo bankructwa, zależność od ρ
.
Figure 2: Symulacja Monte-Carlo: histogram momentu bankructwa
Proces Poissona
τi niezależne zmienne losowe o tym samym rozkladzie wykladniczym
(gȩstość f (t) = λe−λt dla t ≥ 0)
N (0) = 0
N (t) = max{n :
n
X
τi ≤ t}
i=1
Przyrosty procesu Poissona sa̧ niezależne, stacjonarne,
λk (t − s)k −λ(t−s)
e
P (N (t) − N (s) = k) =
k!
Zlożony proces Poissona
Yn niezależne zmienne losowe o tym samym rozkladzie
Q(t) =
N (t)
X
Yi
i=1
Równanie na wartość firmy
dV (t) = aV (t)dt + σV (t)dW (t) + V (t−)dQ(t)
Zlożony proces Poissona
Yn niezależne zmienne losowe o tym samym rozkladzie
Q(t) =
N (t)
X
Yi
i=1
Równanie na wartość firmy
dV (t) = aV (t)dt + σV (t)dW (t) + V (t−)dQ(t)
Szczególny przypadek: Yn o tym samym rozkladzie dyskretnym:
wartości {y1, . . . , yk }, prawdopodobieństwa p1, . . . , pk
Równanie cza̧stkowe
k
∂u X
∂u 1 2 2 ∂ 2u
+ σ x
+ ax +
pi(u(t, (yi + 1)x) − u(t, x)) = 0
∂t 2
∂x2
∂x i=1