1.05. Równania konstytutywne

1.5. ZWIĄZKI KONSTYTUTYWNE – STRONA FIZYCZNA
1.5.1. Wprowadzenie
Wyprowadzone w rozdziałach 1.3 (strona statyczna) i 1.4 (strona geometryczna) równania
(1.3.36) i (1.4.11) są niezależne od rodzaju ciała materialnego, które może być stałe,
ciekłe czy też gazowe, oraz od rodzaju substancji (materiału), z której jest ono zbudowane.
Z eksperymentu wynika jednak, że elementy konstrukcyjne wykonane z różnych
materiałów odkształcają się różnie przy takim samym obciążeniu. Zatem odkształcenia
i naprężenia muszą być ze sobą związane, zaś postać tych związków – zwanych
równaniami (związkami) konstytutywnymi, fizycznymi lub materiałowymi, jest zależna
od rodzaju materiału ciała.
Jeśli spojrzeć na to zagadnienie z matematycznego punktu widzenia, to w 3 równaniach
równowagi (1.3.36) występuje 6 współrzędnych tensora naprężeń σ ij . Z kolei 6 równań
geometrycznych (1.4.11) zawiera 3 współrzędne wektora przemieszczeń ui oraz 6
współrzędnych tensora odkształceń ε ij . Zatem do wyznaczenia 15 niewiadomych mamy
tylko 9 równań. Musimy więc uzupełnić brakującą liczbę równań o dodatkowe równania,
zwane, jak już wspomniano wyżej, związkami konstytutywnymi. Równania te są
matematycznym modelem rzeczywistego materiału i ujmują one na ogół jego
najważniejsze cechy, przy czym ich postać jest ściśle powiązana z badaniami
doświadczalnymi.
Związki konstytutywne opisują zachowanie się materiałów stosowanych w elementach
konstrukcyjnych pod wpływem różnego rodzaju czynników zewnętrznych, np. obciążeń,
temperatury, wilgoci, czasu itd. Z uwagi na różnorodność materiałów i ich zachowania pod
wpływem obciążenia liczba takich związków jest duża. W naszych rozważaniach
ograniczymy się do najprostszych, często występujących w praktyce inżynierskiej.
1.5.2. Równania HOOKE’A
Rozważmy zatem materiał anizotropowy (o właściwościach zależnych od kierunku),
jednorodny (o właściwościach jednakowych w każdym punkcie) i sprężysty (w którym
odkształcenie znika po usunięciu obciążenia). Przy umiarkowanych wartościach
obciążenia można przyjąć, że zależność naprężeń od odkształceń w takim materiale dana
jest następującymi związkami konstytutywnymi:
σ ij = E ijkl ε kl
(1)
ε ij = Cijklσ kl
(2)
lub
zwanymi równaniami HOOKE’A, gdzie E ijkl jest tensorem sprężystości, natomiast Cijkl –
tensorem podatności, przy czym Cmnij E ijkl = δ mk δ nl . Materiał opisany powyższymi
równaniami nazywamy liniowo-sprężystym.
1
Ponieważ tensor stałych sprężystości jest tensorem czwartego rzędu, zatem liczba jego
współrzędnych wynosi 3 4 = 81. Z uwagi na symetrię tensora naprężeń liczba jego
niezależnych współrzędnych maleje do 36. Symetria tensora odkształceń powoduje
zmniejszenie liczby niezależnych współrzędnych do 21. W przypadku materiału
ortotropowego (o trzech wzajemnie prostopadłych osiach symetrii) liczba niezależnych
stałych materiałowych maleje do 9.
Najczęściej spotykane w praktyce inżynierskiej są jednak materiały izotropowe
(o właściwościach niezależnych od kierunku). W przypadku takich materiałów występujący
w związku (1) tensor sprężystości przyjmuje postać
E ijkl = λδ ij δ kl + µ (δ ik δ jl + δ il δ jk )
(3)
gdzie µ, λ nazywane są stałymi LAME’ (stałe sprężystości). Podstawiając (3) do (1)
dostajemy – po prostych przekształceniach i wykorzystaniu właściwości delty
KRONECKERA – następujące związki konstytutywne:
σ ij = 2 µε ij + λε kk δ ij
(4)
które wyrażają naprężenia przez odkształcenia w przypadku materiału izotropowego.
Równania powyższe po rozpisaniu względem wskaźników przyjmują postać
σ 11 = (2 µ + λ )ε 11 + λ (ε 22 + ε 33 )
σ 22 = (2 µ + λ )ε 22 + λ (ε 11 + ε 33 )
σ 33 = (2 µ + λ )ε 33 + λ (ε 11 + ε 22 )
σ 12 = 2 µε 12 , σ 13 = 2 µε 13 , σ 23 = 2 µε 23
(4’)
Należy zauważyć, że do określenia właściwości mechanicznych takiego materiału
wystarczają tyko dwie stałe sprężystości.
W celu otrzymania związku ujmującego zależność odkształceń od naprężeń pomnożymy
najpierw obie strony zależności (3) przez δ ij . Dostaniemy wtedy
σ kk = (2 µ + 3λ )ε kk
(5)
1
σ kk
2µ + 3λ
(6)
Z powyższego wynika, że
ε kk =
Podstawiając (5) do (4) otrzymujemy, po prostych przekształceniach, kolejną postać
związku konstytutywnego
ε ij =

1 
λ
 σ ij −
σ kk δ ij 
2µ 
2 µ + 3λ

2
(7)
zaś po rozpisaniu względem wskaźników
[2(µ + λ )σ 11 − λ (σ 22 + σ 33 )]
2 µ (2 µ + 3λ )
1
[2(µ + λ )σ 22 − λ (σ 11 + σ 33 )]
=
2µ (2 µ + 3λ )
1
[2(µ + λ )σ 33 − λ (σ 11 + σ 22 )]
=
2µ (2 µ + 3λ )
1
1
1
=
σ 12 , ε 13 =
σ 13 , ε 23 =
σ 23
2µ
2µ
2µ
ε 11 =
ε 22
ε 33
ε 12
1
(7’)
Równania (4) i (7) noszą nazwę pierwszej postaci prawa HOOKE’A.
Warto zauważyć, że relacja (6) pozwala przedstawić względną zmianę objętości
elementarnego sześcianu (1.4.37), zwaną dylatacją, w następującej postaci:
V′ −V
1
=
σ kk
V
2 µ + 3λ
(8)
W zagadnieniach inżynierskich wykorzystujemy zazwyczaj inne stałe materiałowe liniowej
sprężystości, a mianowicie: modułu sprężystości podłużnej (modułu YOUNGA) E
[N/m2], modułu sprężystości poprzecznej (modułu KIRCHOFFA) G [N/m2] oraz
współczynnika POISSONA ν [–]. Między tymi stałymi a stałymi LAME` istnieją następujące
relacje:
E
2(1 + ν )
νE
λ=
(1 + ν )(1 − 2ν )
µ ≡G =
(9)
skąd wynika, że
1
1 1+ν
≡
=
2 µ 2G
E
λ
2 µ + 3λ
=
ν
1+ν
E
2 µ + 3λ =
1 − 2ν
(10)
Wykorzystując relacje (9) w związkach (4) otrzymujemy
σ ij =
E 
ν

ε kk δ ij 
 ε ij +
1+ ν 
1 − 2ν

Równania te po rozpisaniu względem wskaźników przyjmują postać
3
(11)
E
[(1 − ν )ε 11 + ν (ε 22 + ε 33 )]
(1 + ν )(1 − 2ν )
E
[(1 − ν )ε 22 + ν (ε 11 + ε 33 )]
=
(1 + ν )(1 − 2ν )
E
[(1 − ν )ε 33 + ν (ε 11 + ε 22 )]
=
(1 + ν )(1 − 2ν )
= 2Gε 12 , σ 13 = 2Gε 13 , σ 23 = 2Gε 23
σ 11 =
σ 22
σ 33
σ 12
(11’)
Uwzględniając z kolei (10)1,2 w (7) dostajemy
ε ij =
1
[(1 + ν )σ ij − νσ kk δ ij ]
E
(12)
a po rozpisaniu względem wskaźników
1
[σ 11 − ν (σ 22 + σ 33 )]
E
1
= [σ 22 − ν (σ 11 + σ 33 )]
E
1
= [σ 33 − ν (σ 11 + σ 22 )]
E
1
1
1
σ 12 , ε 13 =
σ 13 , ε 23 =
σ 23
=
2G
2G
2G
ε 11 =
ε 22
ε 33
ε 12
(12’)
Związki (11) i (12) noszą nazwę drugiej postaci prawa HOOKE’A.
Z kolei zależność (10)3 pozwala zapisać (8) w postaci
V ′ − V 1− 2ν
=
σ kk
V
E
(13)
Jeśli σ kk> 0 , to V ′ − V ≥ 0 , a więc 1 − 2ν ≥ 0 . Wynika stąd, że 0 ≤ ν ≤ 1 2 . Z relacji (13)
wynika, że największy przyrost objętości elementarnego sześcianu przy danym obciążeniu
będzie miał miejsce wtedy, gdy ν ≅ 0 , natomiast najmniejszy, gdy ν ≅ 1 2 . Materiałem o
współczynniku POISSONA ν ≅ 0 jest korek, natomiast materiałem, którego współczynnik
ν ≅ 1 2 jest guma.
1.5.3. Prawo zmiany objętości i prawo zmiany postaci
Zależność (5) – z uwagi na (10)3 – można przedstawić w postaci
σ m = 2 µ + 3λ =
4
E
εm
1 − 2ν
(14)
gdzie σ m = 31 σ kk jest naprężeniem średnim, zaś ε m = 31 ε kk – odkształceniem średnim.
Wprowadzając nową stałą materiałową zdefiniowaną jako
3K = 2 µ + 3λ =
E
1 − 2ν
(15)
zapisujemy (14) w następującej postaci
σ m = 3Kε m
(16)
zwanej prawem zmiany objętości, gdzie K jest modułem sprężystości objętościowej
(modułem ściśliwości). Nazwa ta jest konsekwencją wzoru (13), zgodnie z którym,
naprężenia średnie powodują tylko zmianę objętości elementarnego sześcianu, nie
zmieniając jego kształtu.
Mnożąc z kolei zależność (14) przez δ ij i odejmując wynik stronami od związków (4), przy
wykorzystaniu relacji ε kk = 3ε m , otrzymujemy
σ ij − σ mδ ij = 2 µε ij + 3λε mδ ij − (2 µ + 3λ )ε mδ ij = 2 µ (ε ij − ε mδ ij )
(17)
Uwzględniając w powyższym wzorze zależności (1.3.40) i (1.4.41) oraz kładąc µ ≡ G
otrzymujemy następujący związek fizyczny:
σ ijd = 2Gε ijd
(18)
zwany prawem zmiany postaci. Nazwa ta jest konsekwencją zerowania się pierwszego
′ = σ kk − 3σ m = 0 , co wyklucza zmianę objętości
niezmiennika dewiatora naprężeń I1d = σ kk
elementarnego sześcianu. Natomiast naprężenia styczne, będące współrzędnymi
dewiatora naprężeń, powodują zmianę jego postaci (kształtu).
Wartości liczbowe modułu sprężystości podłużnej (modułu YOUNGA) E , modułu
sprężystości poprzecznej (modułu KIRCHOFFA) G , modułu sprężystości objętościowej
(modułu ściśliwości) K oraz współczynnika POISSONA ν wybranych materiałów
budowlanych zawiera tabela 1.
Tabela 1. Właściwości mechaniczne materiałów budowlanych
Materiał
Gęstość
ρ [kg/m3]
Stal miękka
Żeliwo
Aluminium
Beton B100
Szkło
7860
7150
2800
2400
2367
Moduł
Kirchoffa
G [GPa]
81
43
26
8
26
Moduł
Younga
E [GPa]
210
110
70
18
62.5
5
Moduł
ściśliwości
K [GPa]
167
80
69
9
35
Współczynnik
Poissona
ν [-]
0.29
0.27
0.33
0.17
0.20