p - Instytut Techniki Cieplnej

LABORATORIUM TECHNIKI CIEPLNEJ
INSTYTUTU TECHNIKI CIEPLNEJ
WYDZIAŁ INŻYNIERII ŚRODOWISKA
I ENERGETYKI
POLITECHNIKI ŚLĄSKIEJ
INSTRUKCJA LABORATORYJNA
Temat ćwiczenia:
WYZNACZANIE WSPÓŁCZYNNIKA
PRZEWODZENIA CIEPŁA CIAŁ STAŁYCH
METODĄ STANU UPORZĄDKOWANEGO
2
Wyznaczanie współczynnika przewodzenia ciepła ciał stałych metodą stanu uporządkowanego
1. WSTĘP
Przewodzenie ciepła jest elementarnym sposobem (obok konwekcji i promieniowania)
przepływu ciepła. W czystej postaci występuje ono w ciałach stałych. Przewodzenie ciepła
jest jednym ze zjawisk nieodwracalnych i jako takie jest przejawem reakcji układu
termodynamicznego na zakłócenie stanu równowagi. Reakcja ta zmierza do zlikwidowania
zakłócenia. Jeżeli jedynym przejawem braku równowagi jest nierównomierność temperatury
układu, to jedynym zjawiskiem nieodwracalnym będzie przepływ ciepła. Jeżeli zakłócenie
stanu równowagi nie ma charakteru zakłócenia ciągłego, to zainicjowany tym zakłóceniem
proces przewodzenia ciepła sprawia, że wartości temperatury w poszczególnych punktach
układu będą się zmieniać w czasie, zdążając do temperatury równowagi. Ta pierwsza cecha,
tzn. zmienność temperatury w czasie charakteryzuje nieustalone przewodzenie ciepła.
Zakłócenie, które działa w sposób ciągły, inicjuje również w momencie pojawienia się
proces nieustalony. Proces ten nie doprowadza jednak do stanu równowagi. Jeżeli zakłócenie
jest stałe i na tym samym poziomie, to po dostatecznie długim czasie dochodzimy do tzw.
Stanu ustalonego, w którym wartości temperatury w różnych punktach układu nie są równe,
ale są niezmienne w czasie.
Bodźcem wywołującym proces przewodzenia ciepła jest, jak wyżej wspomniano,
niejednorodność pola temperatury w układzie termodynamicznym. Lokalną (tzn. w danym
punkcie przestrzeni) miarą niejednorodności pola temperatury jest największa wartość
pochodnej kierunkowej w tym punkcie, czyli gradient:
(1)
grad T ≡ ∇T .
Od gradientu temperatury w danym punkcie zależy wektor gęstości strumienia ciepła
q& = q& A =
Q&
Q&
(w termodynamice przez q& oznacza się
), który wyraża ilościowy efekt
m
A
przewodzenia ciepła. Zależność tę określa prawo Fouriera:
r
q& ≡ −λ∇T .
(2)
Współczynnik λ występujący po prawej stronie równania Fouriera nazywa się
współczynnikiem przewodzenia ciepła. Jednostką współczynnika przewodzenia ciepła w
układzie SI jest W/(mK). Jest to współczynnik proporcjonalności we wzorze Fouriera (2), a
liczbowo oznacza jednostkowy strumień ciepła jaki przepływa przez płaską płytę o
powierzchni A = 1 m2 i grubości  = 1 m jeżeli t = 1 K.
Współczynnik przewodzenia ciepła zależy od rodzaju substancji przewodzącej ciepło,
a dla samej substancji - od jej stanu termicznego, tzn. od temperatury i od ciśnienia. Wpływ
ten może być różnokierunkowy, tzn. funkcja λ(T) może być zarówno rosnąca, jak i malejąca,
w zależności od rodzaju substancji. Ciśnienie ma praktyczny wpływ jedynie na przewodzenie
cieplne gazów.
Pod pojęciem ciał stałych rozumie się nie tylko ciała o litej strukturze, ale także ciała
włókniste i porowate. Wynika stąd szeroki zakres zmienności współczynnika przewodzenia
ciepła ciał stałych od 0.02 do 420 W/(mK) [3]. Najniższe wartości dotyczą materiałów
porowatych i włóknistych, najwyższe dotyczą metali, przy czym dla metali współczynnik ten
bardzo silnie zależy od stopnia czystości.
Instrukcja laboratoryjna
LABORATORIUM TECHNIKI CIEPLNEJ
3
Wyznaczanie współczynnika przewodzenia ciepła ciał stałych metodą stanu uporządkowanego
2. PODSTAWY TEORETYCZNE
Metody wyznaczania współczynnika przewodzenia ciepła dzielą się na metody stanu
ustalonego i stanu nieustalonego. Metody oparte na ustalonym przewodzeniu ciepła są
dokładne i proste pomiarowo, jednak wymagają one długiego czasu niezbędnego do
osiągnięcia stanu ustalonego układu.
Metody oparte na nieustalonym przewodzeniu ciepła są mniej dokładne, jednak
wygodne ze względu na krótki czas trwania pomiarów. Spośród tych metod najczęściej
stosowana jest metoda wykorzystująca tzw. stan uporządkowany.
Równanie bilansu energii (zwane równaniem Fouriera-Kirchhoffa) pozwalające
wyznaczyć pole temperatury wewnątrz rozpatrywanego jednowymiarowego układu (przy
stałym ) ma postać następującą:
∂t
∂ 2t
=a 2 .
∂τ
∂x
(3)
Rozwiązanie tego równania można przedstawić w postaci szeregu nieskończonego:
∞
t ( x,τ ) = ∑ AnU n ( x )e −mnτ ,
n =1
(4)
gdzie: An - stałe, Un(x) - funkcja współrzędnych geometrycznych, mn - stałe określające
zmianę temperatury w czasie. Wyrazy mn szybko rosną w miarę wzrostu numeru n.
Wynika z tego, że w miarę wzrostu czasu , wpływ dalszych wyrazów staje się coraz
mniejszy i wartość temperatury w danym punkcie x może być dostatecznie dokładnie opisana
pierwszym wyrazem szeregu:
t (τ ) = A1U 1e − m1τ ,
(5)
w którym zależność temperatury od czasu ma charakter funkcji wykładniczej. Czas, w którym
zależność temperatury od czasu w danym punkcie ciała ma charakter wykładniczy (5) nosi
nazwę stanu uporządkowanego.
W przypadku powierzchniowego nagrzewania przy stałych źródłach ciepła q& w
sytuacji, gdy istnieje strata wywołana wnikaniem ciepła do otoczenia przy stałym
współczynniku wnikania ciepła α, warunek brzegowy przyjmuje postać:
λ
(
∂t
= q& − α t
∂n rr∈F
r
r ∈F
)
− t ot .
(6)
W obliczeniach inżynierskich zwykle dopuszczalne jest pominięcie straty ciepła (na
stanowisku obydwie próbki są zaizolowane). Odpowiada to sytuacji α = 0, a tym samym
zamiast (6) otrzymuje się warunek brzegowy II rodzaju:
λ
∂t
= q& .
∂n rr∈F
Instrukcja laboratoryjna
LABORATORIUM TECHNIKI CIEPLNEJ
(7)
4
Wyznaczanie współczynnika przewodzenia ciepła ciał stałych metodą stanu uporządkowanego
Wsad ulega nagrzewaniu od temperatury początkowej t(x,0) = tp (rys.1). Najwyższa
temperatura dla czasu τ > 0 występuje na powierzchni ciała. W przypadku nagrzewania
nieskończonej płaskiej płyty o grubości 2δ, po przyjęciu środka układu współrzędnych w
środku płyty, zagadnienie początkowo-brzegowe jest złożone z następującego układu równań:
∂ 2t
∂t
,
2
τ
∂
∂x
t ( x,0 ) = t p ,
a
λ
∂t
∂x
=
x = ±δ
(8)
= ± q&.
Po wprowadzeniu bezwymiarowej współrzędnej położenia
ζ =
x
δ
− 1 ≤ ζ ≤ 1,
(9)
Fo ≥ 0 ,
(10)
bezwymiarowego czasu (liczba Fouriera)
Fo =
a ⋅τ
δ2
bezwymiarowej temperatury kryterialnej
Y=
(t − t p )λ
q&δ
(11)
oraz nadwyżki temperatury nad temperaturę początkową
ϑ = t ( x, τ ) − t ( x,0) = t ( x, τ ) − t p
(12)
układ (8) przyjmuje postać:
∂ 2Y
∂ζ 2
Y
=
Fo =0
∂Y
∂ζ
∂Y
,
∂Fo
= 0,
= ±1.
ζ = ±1
Rozwiązanie układu (13), otrzymane za pomocą szeregów Fouriera, ma postać [2]:
Instrukcja laboratoryjna
LABORATORIUM TECHNIKI CIEPLNEJ
(13)
5
Wyznaczanie współczynnika przewodzenia ciepła ciał stałych metodą stanu uporządkowanego

qδ 
1
2 ∞ (− 1)i −1
−i 2Π 2 Fo
2
(
)
−
−
+
Π
ϑ (ζ , Fo ) =
Fo
1
3
ζ
cos
i
ζ
e
∑

,
λ 
6
Π 2 i =1 i 2

(
)
(14)
lub w zmiennych bezwymiarowych:
(
)
1
2
Y (ζ , Fo) = Fo − 1 − 3ζ 2 + 2
6
Π
∞
(− 1) i −1
i =1
i2
∑
υ
cos( iΠζ )e −i
υτ
υτ
2
Π 2Fo
.
(15)
3 >τ 2
2 >τ 1
υ τ >0
1
υ τ =0 = υ p
−1
0
ζ
1
Rys. 1 Rozkład temperatury w płaskiej płycie
Wykres zależności Y = f(Fo) dla dwóch wartości współrzędnych ζ = 0 - oś płyty i ζ =
1 - grzana powierzchnia płyty, przedstawiono na rys. 2. Dla wartości Fo ≥ 0.5 można pominąć
sumę po prawej stronie równania (5) i zależność Y = f(Fo) przyjmuje postać :
dla ζ = 0
Y0
Fo ≥ 0 .5
= Fo −
dla ζ = 1
1
6
(a)
(16)
Y1 Fo≥0 .5 = Fo +
1
3
(b),
zaś rozkład temperatury wewnątrz płyty jest określony równaniem:
Y Fo≥0 .5 = Fo −
(
)
1
1 − 3ζ 2 .
6
Instrukcja laboratoryjna
LABORATORIUM TECHNIKI CIEPLNEJ
(17)
6
Wyznaczanie współczynnika przewodzenia ciepła ciał stałych metodą stanu uporządkowanego
Równania (16) służą do wyznaczania wartości współczynnika przewodzenia ciepła λ próbki.
Y
1.2
1.0
ζ = +-1
0.8
0.6
Fo+1/3
0.4
ζ=0
0.2
Fo-1/6
0
0.1 0.2 0.3 0.4 0.5 0.6
Fo
Rys. 2 Zależność Y = Y(Fo) dla płaskiej, nieskończenie rozległej płyty
3. OPIS STANOWISKA POMIAROWEGO
Schemat stanowiska pomiarowego przedstawiono na rysunku 3. Symetryczny układ
składa się z grzejnika, dwóch próbek oraz czterech płytek miedzianych z termoparami. Całość
zaizolowana jest styropianem i korkiem.
Spirala grzejnika elektrycznego zatopiona jest w folii. Miedziane płytki zapewniają
wyrównanie temperatury na powierzchni płytek pomiarowych. Do powierzchni płytek
przylutowane są termopary. Zastosowano termopary Ni - CrNi (dla umiarkowanych t - tot ∼
E, 1 K ≡ 0.04 mV).
Próbki mają kształt walcowy o grubości δ = 10 mm i średnicy d = 70 mm.
Do zasilania grzejnika służy zasilacz stabilizowany. Napięcie prądu zasilającego
grzejnik U mierzone jest woltomierzem.
Stanowisko jest również wyposażone w elektroniczny zegar.
Ćwiczenie polega na uruchomieniu układu i po ustabilizowaniu się temperatury początkowej
na włączeniu zasilacza z równoczesnym włączeniem stopera. Co 1 min. należy odczytać
wskazania miernika temperatury i wartość napięcia zasilania. Moc grzejnika wynosi:
U2
P=
,
R
W
Instrukcja laboratoryjna
LABORATORIUM TECHNIKI CIEPLNEJ
(18)
7
Wyznaczanie współczynnika przewodzenia ciepła ciał stałych metodą stanu uporządkowanego
τ
00,00 s
4
6
tpgG
3
tpgD
Z U
tpiG
tpiD
3
2
1
4
5
Rys. 3 Schemat stanowiska pomiarowego
1 - zasilacz z woltomierzem, 2 - grzejnik, 3 - próbki, 4 - płytki miedziane z termoparami,
5 - izolacja, 6 - miernik temperatury
W przypadku ogólnym strumień ciepła dopływającego do próbki jest mniejszy od mocy
grzejnika o ciepło zakumulowane w samym grzejniku. Strumień ciepła zakumulowany w
grzejniku zależy od jego pojemności cieplnej Wg i od szybkości przyrostu jego temperatury.
dt g
Q& g = W g
dτ
,
W
(19)
W
(20)
Strumień ciepła dopływający do próbki wynosi więc:
Q& p = P − Q& g ,
Gęstość strumienia ciepła dopływającego do próbki:
q& p =
Q& p
2A
=
4⋅ P
2Π d
2
=
2⋅ P
Πd
2
,
W/m2
(21)
W przypadku stanowiska można przyjąć, że grzejnik stanowi płaskie źródło ciepła, a
więc nie następuje w nim kumulacja ciepła.
Nadwyżki temperatury powierzchni próbek nad temperaturę otoczenia są mierzone
termoparami Ni-CrNi o stałej termoelektrycznej k = 25 K/mV. Siła termoelektryczna
termopar jest mierzona i przeliczana przez miernik, który jest wyposażony w czujnik
mierzący temperaturę otoczenia. Wartość ta zostaje dodana do wartości nadwyżki
temperatury i z wyświetlacza odczytujemy wprost temperaturę w danym punkcie.
Instrukcja laboratoryjna
LABORATORIUM TECHNIKI CIEPLNEJ
8
Wyznaczanie współczynnika przewodzenia ciepła ciał stałych metodą stanu uporządkowanego
4. PROGRAM ĆWICZENIA
•
•
•
•
sprawdzić, czy temperatury w próbce i grzejniku są wyrównane (wskazania miernika dla
obu powierzchni powinny być jednakowe),
włączyć zasilacz grzejnika i równocześnie uruchomić stoper,
co 1 min. odczytać wskazania miernika (temperaturę powierzchni grzanej z dwóch
termopar, temperaturę powierzchni izolowanej z dwóch termopar) oraz napięcie zasilania
U,
czas pomiaru oraz liczba pomiarów zostanie określona przez prowadzącego ćwiczenie.
Wzór tabeli pomiarowej
L.p.
1
2
3
...
czas 
min.
0
1
2
...
U
V
tpgG
ºC
tpgD
ºC
tpiG
ºC
tpiD
ºC
5. OPRACOWANIE WYNIKÓW POMIARÓW
a) obliczyć moc cieplną grzejnika wg równania (17), R = 10.95 Ω,
b) obliczyć temperaturę powierzchni grzanej i izolowanej w danej chwili czasu jako średnią
arytmetyczną z odczytanych wartości:
t pg =
t pi =
t pgG + t pgD
2
t piG + t piD
2
.
(22)
(23)
następnie obliczyć nadwyżki temperatury:
ϑ1 = t pg (τ ) − t pg (0)
(24)
ϑ2 = t pi (τ ) − t pi (0)
(25)
c) narysować wykres zależności temperatury tpg i tpi od czasu grzania,
d) obliczyć gęstość strumienia ciepła do próbki qp według równania (20),
e) dla czasu τ ≥ 600 s obliczyć współczynnik przewodzenia ciepła. Z równania (16) dla
pewnej wartości Fo:
Instrukcja laboratoryjna
LABORATORIUM TECHNIKI CIEPLNEJ
9
Wyznaczanie współczynnika przewodzenia ciepła ciał stałych metodą stanu uporządkowanego
Y0 − Y1 = −
λ=
1
2
1 q& ⋅ δ
2 ϑ1 − ϑ2
(26)
f) powtórzyć obliczenia dla punktu (e) dla innego czasu . Obliczyć średnie wartości λ.
6. SPRAWOZDANIE
Sprawozdanie powinno zawierać:
• stronę tytułową (według wzoru podanego przez prowadzącego),
•
kartę pomiarową podpisaną przez prowadzącego zajęcia,
•
krótki wstęp teoretyczny (definicja fizyczna badanej wielkości, opis metody pomiarowej,
opis wyznaczanej wielkości, opis stanowiska pomiarowego, podstawowe wzory
obliczeniowe - w sumie około 2 strony formatu A4),
•
schemat stanowiska i opis pomiarów,
•
tablice z obliczonymi wartościami temperatury,
•
wykres zmian wartości temperatury na powierzchni w czasie ,
•
obliczone wartości λ,
•
uwagi i wnioski końcowe (porównanie wyznaczonych wartości z wartościami
tablicowymi, analizę przyczyn dużych różnic).
LITERATURA
[1] Kostowski E., Przepływ ciepła, Skrypt Politechniki Śląskiej nr 1562, Wyd.II, Gliwice
1991
[2] Składzień J., Termokinetyka dla elektryków, Skrypt Politechniki Śląskiej, Gliwice
[3] Gdula St. i inni, Przewodzenie ciepła, Państwowe Wydawnictwa Naukowe, Warszawa
1984
[4] Składzień J., Termodynamika i termokinetyka, Skrypt Politechniki Śląskiej nr 1213,
Gliwice 1985
Instrukcja zaktualizowana 27.02.2004
Instrukcja laboratoryjna
LABORATORIUM TECHNIKI CIEPLNEJ