Sprawdzian z logiki (P) nr 2 24 listopada 2011 Zad. 1. Sprowadź

Sprawdzian z logiki (P) nr 2
24 listopada 2011
Zad. 1. Sprowadź formułę
p ⇔ (q ⇒ r)
zarówno do koniunkcyjnej, jak i do alternatywnej postaci normalnej. Obie części
zadania zrób różnymi metodami. Podaj chociaż szczątkowe uzasadnienie każdego
sposobu postępowania.
Rozwiązanie. Przekształcamy daną formułę korzystając z praw rachunku zdań:
p ⇔ (q ⇒ r) ≡ (p ⇒ (q ⇒ r)) ∧ ((q ⇒ r) ⇒ p) ≡ (¬p ∨ ¬q ∨ r) ∧ (¬(¬q ∨ r) ∨ p) ≡
≡ (¬p ∨ ¬q ∨ r) ∧ ((q ∧ ¬r) ∨ p) ≡ (¬p ∨ ¬q ∨ r) ∧ (q ∨ p) ∧ (¬r ∨ p).
Pierwsza równoważność wynika z prawa
ϕ ⇔ ψ ≡ (ϕ ⇒ ψ) ∧ (ψ ⇒ ϕ),
druga – z prawa
ϕ ⇒ ψ ≡ ¬ϕ ∨ ψ,
trzecia – z jednego z praw de Morgana, ostatnia – z prawa rozdzielności alternatywy względem koniunkcji. Ostatnia z wymienionych formuł jest w koniunkcyjnej
postaci normalnej.
Rozwiązanie. Można też przekształcać w następujący sposób:
p ⇔ (q ⇒ r) ≡ (p ∧ (q ⇒ r)) ∨ (¬p ∧ ¬(q ⇒ r)) ≡
≡ (p ∧ (¬q ∨ r)) ∨ (¬p ∧ q ∨ ¬r) ≡ (p ∧ ¬q) ∨ (p ∧ r) ∨ (¬p ∧ q ∨ ¬r).
Ostatnia z wymienionych formuł jest w alternatywnej postaci normalnej.
Rozwiązanie. Najpierw znajdujemy tabelkę wartości logicznych danej formuły:
p
0
0
0
0
1
1
1
1
q
0
0
1
1
0
0
1
1
r q⇒r
0
1
1
1
0
0
1
1
0
1
1
1
0
0
1
1
p ⇔ (q ⇒ r)
0
0
1
0
1
1
0
1
Mając tabelkę wartości logicznych formuły łatwo podać jej alternatywną postać
normalną. Znajdujemy w tabelce po kolei wartościowania, dla których formuła jest
spełniona, np. wartościowanie przypisujące zmiennej q wartość 1, a pozostałym –
wartości 0. Dla takiego wartościowania tworzymy koniunkcję
¬p ∧ q ∧ ¬r
z negacjami zmiennych o wartości 0 i zmiennymi o wartości 1, a następnie alternatywę tak utworzonych koniunkcji
(¬p ∧ q ∧ ¬r) ∨ (p ∧ ¬q ∧ ¬r) ∨ (p ∧ ¬q ∧ r) ∨ (p ∧ q ∧ r).
Otrzymana formuła jest alternatywną postacią normalnej interesującej nas formuły.
Rozwiązanie. Na podstawie tabelki bez trudu tworzy się rownież koniunkcyjną
postać normalną. Dla każdego wartościowania, przy którym formuła jest fałszywa tworzymy odpowiednią alternatywę. Na przykład dla drugiego wartościowania
tworzymy alternatywę
p ∨ q ∨ ¬r
(zmiennych fałszywych przy tym wartościowaniu i negacji pozostałych). Koniunkcja utworzonych tak alternatyw
(p ∨ q ∨ r) ∧ (p ∨ q ∨ ¬r) ∧ (p ∨ ¬q ∨ ¬r) ∧ (¬p ∨ ¬q ∨ r)
jest koniunkcyjną postacią normalną rozważanej formuły.
Zad. 2. Przypuśćmy, że ktoś przekazał pewną informację wypowiadając zdanie
(p ∨ q ∨ r) ∧ ¬(p ∧ q) ∧ ¬(p ∧ r) ∧ ¬(r ∧ q)
dla pewnych p, q i r. Przekaż tę samą informację pisząc zdanie w alternatywnej postaci normalnej. W rozwiązaniu wystarczy podać odpowiednie zdanie bez
jakiegokolwiek uzasadnienia.
Rozwiązanie. Wyobraźmy sobie pana X, który ma woreczek z monetami jedno-,
dwu- i pięciozłotowymi. Przyjmijmy, że p oznacza zdanie stwierdzające, że pan X
ma w swoim woreczku (przynajmniej jedną) złotówkę, czyli monetę o wartości 1
złoty, q – zdanie stwierdzające, że pan X ma w swoim woreczku (przynajmniej
jedną) dwuzłotówkę, a r – zdanie stwierdzające, że pan X ma w swoim woreczku
(przynajmniej jedną) pięciozłotówkę. W pewnym momecie okazało się, że zdanie
(p ∨ q ∨ r) ∧ ¬(p ∧ q) ∧ ¬(p ∧ r) ∧ ¬(r ∧ q)
jest prawdą. Zdanie to stwierdza, że pan X ma w swoim woreczku monety, ale
tylko jednego rodzaju. Tą informację można więc wyrazić w następujący sposób:
(p ∧ ¬q ∧ ¬r) ∨ (¬p ∧ q ∧ ¬r) ∨ (¬p ∧ ¬q ∧ r).
Zad. 3. Czy jeżeli implikacja ϕ ⇒ ψ jest tautologią, a implikacja ¬ϕ ⇒ ψ jest
spełnialna, to formuła ψ jest spełnialna? Podaj uzasadnienie swojej odpowiedzi.
Rozwiązanie. Formuła ψ jest spełnialna. Aby się o tym przekonać, weźmy wartościowanie σ, przy którym jest spełniona formuła ¬ϕ ⇒ ψ. Możemy to zrobić,
gdyż jest to formuła spełnialna. Wiemy jeszcze, że formuła ϕ ⇒ ψ jest tautologią.
Wobec tego jest ona spełniona przy wartościowaniu σ.
Nie wiemy, czy formuła ϕ jest spełniona przy wartościowaniu σ. Ale są możliwe
dwa przypadki. Albo formuła ϕ jest spełniona przy wartościowaniu σ i wtedy przy
pewnym wartościowaniu spełnione są implikacja ϕ ⇒ ψ i jej poprzednik, albo
formuła ϕ nie jest spełniona przy wartościowaniu σ i wtedy spełniona jest jej
negacja i także są spełnione implikacja ¬ϕ ⇒ ψ i jej poprzednik.
Z tabelki implikacji wynika, że jeżeli jest ona spełniona i ma spełniony (przy
ustalonym wartościowaniu) poprzednik, to także jest spełniony jej następnik. Tak
więc w obu przypadkach jest spełniony następnik ψ rozważanych implikacji. Tym
samym jest on spełnialny.