KULTURA LOGICZNA

KULTURA LOGICZNA
klasyczny rachunek zdań 2/2
Pojęcie tautologii KRZ. Wybrane własności tautologii KRZ.
Badanie tautologiczności formuł metodą zerojedynkową.
Zastosowanie metody zerojedynkowej do rozwiązywania problemów logicznych.
plan na dziś:
NEGACJA
KONIUNKCJA
ALTERNATYWA
IMPLIKACJA
RÓWNOWAŻNOŚĆ
p
¬p
p
q
p∧q
p
q
p∨q
p
q
p→q
p
q
p↔q
1
0
1
1
1
1
1
1
1
1
1
1
1
1
0
1
1
0
0
1
0
1
1
0
0
1
0
0
0
1
0
0
1
1
0
1
1
0
1
0
0
0
0
0
0
0
0
0
1
0
0
1
1. Sprawdź, czy poniższe formuły są tautologiami. Jeśli nie, podaj wartościowania obalające.
(i)
(ii)
(iii)
(iv)
(v)
(vi)
(vii)
(viii)
(ix)
(x)
((p → q) ∧ (q → r)) → (p → r)
(p ∧ (p → q)) → q
((p → q) ∧ ∼q) → ∼p
((p → q) ∧ (p → ∼q)) → ∼p
((∼p → q) ∧ (∼p → ∼q)) → p
(p → q) → (~q → ~p)
(p → q) → (~p → ∼q)
(∼p ∨ ∼q) → ∼ (p ∨ q)
((p ∨ q) ∧ ∼p) → q
((p ∨ q) ∧ ((p → r) ∧ (q → r))) → r
(xi)
(xii)
(xiii)
(xiv)
(xv)
(xvi)
(xvii)
(p → q) → (q → p)
∼ (p → ∼p)
∼ (p ≡ ∼p)
∼ (p ∨ q) → (∼p ∨ ∼q)
∼ (p ∧ q) ≡ (∼p ∨ ∼q)
∼ (p → q) ≡ (p ∧ ∼q)
(p → (p → (p →q))) → (p → (p →
q))
(xviii)
(xix)
(xx)
(p → (q ∧ r)) → ((p → q) ∧ (p → r))
(p → (q ∨ r)) → ((p → q) ∨ (p → r))
(p ∧ (q ∨ r)) → ((p ∧ q) ∨ (p ∧ r))
2. Rozwiąż poniższe zagadki:
Na południowym Pacyfiku jest cały archipelag wysp Szlachetnych i Łajdaków, których niektórzy mieszkańcy są na
wpół ludźmi, na wpół ptakami. Ci ludzie-ptaki latają jak ptaki i mówią jak ludzie.
Pewien filozof, a tak właściwie logik, przyjechał na tę wyspę i zakochał się w kobiecie-ptaku o imieniu Oona.
Pobrali się. Było to udane małżeństwo za wyjątkiem tego, że Oona zbytnio lubiła latać! Gdy na przykład był to
szczególnie piękny wieczór, to po powrocie do domu mógł on nie zastać swojej żony, gdyż poleciała ona na którąś z
sąsiednich wysp. Musiał wtedy pływać kajakiem od wyspy do wyspy aż znalazł Oonę. Jeżeli Oona wylądowała na
jakiejś wyspie, to wszyscy mieszkańcy musieli ją widzieć na niebie i wiedzieli wobec tego, że wylądowała. Jeżeli już
jednak wylądowała, to odnalezienie jej było rzeczą bardzo trudną. Wobec tego pierwszą rzeczą jaką mąż robił po
przybyciu do jakiejś wyspy była próba dowiedzenia się od mieszkańców czy Oona wylądowała na tej wyspie.
Problemem było oczywiście to, że niektórzy z pytanych byli Łajdakami i nie mówili prawdy. Oto co mu się przydarzyło.
(R. Smullyan)
(i)
Pewnego dnia mąż przypłynął do jednej z wysp poszukując Oony i spotkał dwu mieszkańców, nazwijmy ich A i B.
Zapytał ich czy Oona wylądowała na tej wyspie. Otrzymał następujące odpowiedzi:
A: Jeżeli ja i B obaj jesteśmy Szlachetnymi, to Oona jest na wyspie.
B: Jeżeli ja i A obaj jesteśmy Łajdakami, to Oony nie ma na wyspie.
Czy Oona jest na wyspie?
(ii)
Innym razem dwaj mieszkańcy, A i B, odpowiedzieli następująco:
A: Jeżeli któryś z nas jest Szlachetnym, to Oona jest na wyspie.
B: To prawda.
Czy Oona jest na wyspie?
(iii)
Przypuśćmy, że mąż szukając Oony na jednej z wysp otrzymał od mieszkańców następujące odpowiedzi:
A: Jeżeli B jest Szlachetnym, to Oony nie ma na tej wyspie.
B: Jeżeli A jest Łajdakiem, to Oony nie ma na tej wyspie.
Czy Oona była na tej wyspie?
(iv)
Nie pamiętam dokładnie jak to było przy następnym spotkaniu. Wiem, że logik ten spotkał dwu mieszkańców
wyspy, A i B, oraz A powiedział: „B jest Szlachetnym i Oona jest na wyspie”. Nie pamiętam niestety dokładnie co
powiedział B. Powiedział on albo: „A jest Łajdakiem i Oony nie ma na tej wyspie” lub „A jest Łajdakiem i Oona jest
na tej wyspie”. Szkoda, że nie pamiętam dokładnie. Tak czy inaczej pamiętam, że na podstawie tego mógł on
wywnioskować, czy Oona jest na wyspie czy nie. Czy Oona była na wyspie?
Inspektor Craig ze Scotland Yardu został wezwany na wyspę Szlachetnych i Łajdaków, aby pomógł odnaleźć przestępcę o
nazwisku Artur York. Trudność sprawiało to, że nie było wiadomo czy poszukiwany jest Szlachetnym czy Łajdakiem.
(v)
Jeden z podejrzanych został aresztowany i miał być przesłuchiwany przez inspektora. Oto co powiedział:
Craig:
Ostatni z podejrzanych był niezłym gagatkiem, on wręcz twierdził, że jest Arturem Yorkiem. Czy ty
twierdziłeś kiedykolwiek, że jesteś Arturem Yorkiem?
Podejrzany: Nie.
Craig:
Czy twierdziłeś kiedykolwiek, że nie jesteś Arturem Yorkiem?
Podejrzany: Tak.
Craig pomyślał od razu, że podejrzany jest Arturem Yorkiem. Czy miał jednak wystarczające podstawy, aby go
oskarżyć?