ZESZYTY NAUKOWE UNIWERSYTETU SZCZECI SKIEGO

ZESZYTY NAUKOWE UNIWERSYTETU SZCZECI SKIEGO
NR 394 PRACE KATEDRY EKONOMETRII I STATYSTYKI NR 15 2004
RYSZARD ANTONIEWICZ
JACEK JUZWISZYN
Akademia Ekonomiczna
Wrocław
GIEŁDOWA LICZBA REYNOLDSA
Giełdowa nieprzewidywalno szeregów czasowych (np. cen papierów
warto ciowych) jest przedmiotem ustawicznych bada . Pierwszych znacz cych
prób wytłumaczenia nieprzewidywalno ci takiego procesu dokonał H. Poincaré. W roku 1900 L. Bachelier, ucze Poincaré’a, otrzymał tytuł doktorski za
rozpraw Theorie de la sp'eculation. W rozprawie tej przyj to koncepcj , e
wspominana nieprzewidywalno ma charakter stochastyczny. L. Bachelier
przyjmuje, e proces zmiany cen podlega rozkładowi Gaussa. Obecnie taki
stochastyczny proces okre la si mianem procesu Wienera (lub ruchem Browna). Dla nas dalej b dzie wa ne, e ten proces spełnia równanie dyfuzji. Równie H. Poincaré, badaj c ruch małego ciała, znajduj cego si w polu oddziaływa grawitacyjnych dwóch du ych s siadów, odkrył zadziwiaj ce zjawisko,
ruchu małego ciała, ruch ten mo e by nieprzewidywalny, chaotyczny. Za te
badania Poincaré otrzymał w 1890 roku nagrod Akademii Francuskiej1. Zjawisko nieprzewidywalno ci ruchów obserwowano wcze niej w hydrodynamice.
Zauwa ono, e ciecz (woda) płyn ca regularnie (laminarnie) w pewnych warunkach zmienia charakter ruchu, ruch cieczy staje si burzliwy (turbulentny),
chaotyczny, nieprzewidywalny. W roku 1823 Navier napisał równania ruchu
1
Zob. [13].
8
Ryszard Antoniewicz, Jacek Juzwiszyn
cieczy lepkiej, nazywane dzisiaj równaniami Naviera-Stokesa2. Równania te s
równaniami nieliniowymi. Do dzisiaj nie znamy pełnego rozwiazania analitycznego tych równa .
W roku 1883 angielski uczony O. Reynolds w pewnym stopniu rozwi zał
problem przej cia ruchu laminarnego w turbulentny. Pokazał, e zmian charakteru ruchu cieczy mo na wyznaczy za pomoc warto ci pewnej bezwymiarowej liczby, zwanej dzisiaj liczb Reynoldsa - Re. Przedstawimy krótko
i schematycznie genez tej liczby.
Na ciało poruszaj ce si w cieczy działaj tak zwane siły oporu. Za Reynoldsem wyró niamy sił oporu tarcia ci nieniowego R i sił tarcia lepkiego T.
Na podstawie analizy wymiarowej otrzymano wzory3:
R=C
ρv 2
S,
2
T = Bηvl ,
gdzie:
B, C
v
ρ
S
η
l
(1)
(2)
– bezwymiarowe stałe,
– pewna rednia pr dko cieczy,
– g sto cieczy,
– pole przekroju ciała, prostopadłego do kierunku ruchu cieczy,
– lepko cieczy,
– rozmiarem liniowym ciała.
Dla du ych pr dko ci opór tarcia ci nieniowego jest znacznie wi kszy od
oporu tarcia lepkiego, a dla małych pr dko ci opór tarcia lepkiego jest znacznie
wi kszy od oporu tarcia ci nieniowego. Za Reynoldsem rozpatrzmy iloraz:
R Cρv 2 S
=
.
T 2 Bηvl
2
3
Por. [7].
[5].
(3)
Giełdowa liczba Reynoldsa
9
Dziel c bezwymiarowe współczynniki i zaokr glaj c ich iloraz do warto ci
równej jeden, oraz przyjmuj c, e S = l2, otrzymujemy wzór na bezwymiarow
stał Reynoldsa Re:
Re =
ρvl
η .
Na podstawie empirycznych bada
badan ciecz jest woda, to dla:
(4)
stwierdzono, e w przypadku, gdy
− Re < 1000 ruch cieczy jest laminarny (stabilny),
− 1000 < Re < 2000 ruch cieczy jest niestabilny,
− Re > 2000 ruch cieczy jest turbulentny.
Obserwowanie szeregów czasowych dotycz cych cen papierów warto ciowych utwierdza nas w przekonaniu o ich nieprzewidywalnym charakterze.
Obecny stan nauki nie pozwala jednoznacznie odpowiedzie na pytanie, jaki
jest charakter tej nieprzewidywalno ci. Z empirycznego punktu widzenia nie
jest mo liwe odró nienie zachowania chaotycznego od przypadkowego. Poniewa nie mo na wykluczy , e rynek finansowy podlega dynamice chaotycznej, uzasadnione wydaje si budowanie analogu liczby Reynoldsa dla rynków
finansowych4. We wzorze Reynoldsa wyst puje lepko cieczy, a takiej wielko ci nie spotykamy w matematyce finansowej. Postaramy si tak przekształci wzór, aby był bardziej u yteczny.
Wybitny rosyjski fizyk J. Frenkel5 zaproponował wzór (dla cieczy):
η=
gdzie:
f – stała maj ca wymiar siły,
D – współczynnik dyfuzji5.
4
5
[9].
[5].
f
,
D
(5)
10
Ryszard Antoniewicz, Jacek Juzwiszyn
Wzór Frenkela dobrze oddaje zale no lepko ci cieczy od temperatury (lepko cieczy maleje wraz ze wzrostem temperatury). Korzystaj c ponadto ze
wzoru Smoluchowskiego (zwanego równie wzorem Einsteina), który wyra a
zwi zek mi dzy współczynnikiem dyfuzji a wariancj wyznaczan w przedziale
czasowym o długo ci t:
σ 2 = 2 Dt .
(6)
(wzór ten, jak pokazał M. Smoluchowski, wynika z tego, e proces Browna
spełnia równanie dyfuzji) i podstawiaj c zale no ci (5) i (6) do równo ci (4)
ostatecznie otrzymujemy:
Re =
ρv 2 S ρv 2 S DρvS σ 2 ρvS σ 2 ρvS σ 2 ρv 2 S
=
=
=
=
=
f
l
ηvl
fl
2 ftl
2 fl 2 .
vl
2f l
D
(7)
v
Przyjmuj c, e przekrój równy jest kwadratowi rozmiaru liniowego (S =
l ) i opuszczaj c stał Frenkela 2f, otrzymamy wzór:
2
Re = ρσ 2 v 2 = ρ (σv ) 2 ,
(8)
gdzie:
– g sto (stała liczba spółek wchodz cych w skład indeksu giełdowego),
v – pewna rednia pr dko ruchu turbulentnego,
– wariancja wolumenu,
który przedstawia giełdowy analog liczby Reynoldsa.
Je li = const. = 1, to
Re = (σv) 2 .
(9)
Giełdowy analog liczby Reynoldsa, wyra onej przez kwadrat iloczynu
wariancji wolumenu i pr dko ci giełdowego ruchu, mo e znale
zastosowanie
w giełdowej analizie technicznej jako tak zwany wska
nik ostrzegawczy Rey-
Giełdowa liczba Reynoldsa
11
199 404 14
199 406 01
19 940 714
199 408 22
1 994 092 6
199 410 25
199 411 25
19 941 223
199 501 24
1 995 022 1
199 503 21
1 99 504 19
19 950 523
1 995 062 1
1 995 071 9
199 508 18
19 950 915
199 510 13
19 951 113
199 512 11
1 996 011 1
199 602 08
19 960 307
199 604 04
19 960 508
1 996 060 5
19 960 704
1 996 080 1
199 608 30
1 996 092 7
19 961 024
1 99 611 25
19 961 223
1 997 012 4
1 997 022 1
199 703 21
19 970 422
199 705 22
19 970 620
1 997 071 8
19 970 818
noldsa. Pr dko giełdowego ruchu jest równa tangensowi k ta nachylenia linii
regresji (wolumenu), wyznaczonej za pomoc metody najmniejszych kwadratów6. Wyznaczanie warto ci progowych wska
nika Reynoldsa dla ró nych typów rynków i ich pó
niejsza analiza mo e wpłyn na zwi kszenie przewidywalno ci rynków. Warto ci wska
nika ostrzegawczego Reynoldsa wyznaczaj momenty, w których rynek ma tak zwan stabiln dynamik lub dynamik turbulentn . Ciekawe zjawisko rozwoju indeksów giełdowych w R3+ po raz pierwszy odkrył J. Juzwiszyn, który zauwa ył, e przy jednoczesnym przedstawianiu
na wykresie warto ci indeksów i wolumenów pojawia si tam trajektoria wirowo-spiralna, co w pewnym stopniu potwierdza hipotez o chaotycznej genezie
rozwoju procesów finansowych. Na rysunkach 1 i 2 przedstawiono trójwymiarowe modele rozwoju indeksów WIG20 i WIG w czasie. Porównywane s jednocze nie warto ci indeksu z obrotami7.
300000
200000
100000
0
1500
1000
500
Rys. 1. Trójwymiarowa wizualizacja zale no ci warto ci i wolumenu indeksu WIG20 w
6
7
okresie maj 1994 roku–sierpie 1997 roku
ródło: opracowanie własne.
[1].
[6].
12
Ryszard Antoniewicz, Jacek Juzwiszyn
Rys. 2. Trójwymiarowy wykres obrazuj cy czasowe zale no ci warto ci i wolumenu
indeksu WIG20 do ko ca 2002 roku
ródło: opracowanie własne.
Giełdowa liczba Reynoldsa
13
Warto i wolumen danego waloru zale od bardzo wielu czynników,
takich jak reakcja zarówno pojedynczych graczy jak i całych społeczno ci inwestorów. Niektóre z nich maj nietrwały, wr cz spekulacyjny charakter, a inne
s trwałe. Trójwymiarowa analiza indeksów giełdowych i poszczególnych akcji
wykazuje si niezwykłym, uderzaj cym podobie stwem, wskazuj cym jeden
rodzaj dominuj cego ruchu. Ruch ten zmienia poło enia punktów w przestrzeni
R3+, wyznaczaj c jednocze nie wirowo-spiraln trójwymiarow krzyw . Analiza rynkowego dynamizmu w R3+ nasuwa pewne fizyczne skojarzenia z modelami hydrodynamicznymi. Rodzaj ruchu, jaki wykonuje rynek w R3+, jest uderzaj co podobny do ruchu cieczy. Przebadane przez autorów wykresy wirowo-spiralne potwierdzaj , e giełdowy analog liczby Reynoldsa mo e znale
zastosowanie w giełdowej analizie technicznej jako tak zwany giełdowy
wska
nik ostrzegawczy Reynoldsa. Wyznaczanie jego warto ci progowych dla
ró nych typów rynków i ich pó
niejsza analiza mo e wpłyn na zwi kszenie
przewidywalno ci rynków. Warto ci giełdowego wska
nika ostrzegawczego
Reynoldsa wyznaczałyby momenty, w których rynek przechodzi ze stabilnej
dynamiki cen w tak zwan dynamik turbulentn .
Analiza szeregów czasowych dla ró nych okresów potwierdziła hipotez
o ostrzegawczym charakterze giełdowej liczby Reynoldsa. W tabelach 1 i 2
pokazano momenty, w których liczba Reynoldsa osi gała maksymalne warto ci
w analizowanych okresach. W dwóch prezentowanych okresach po przekroczeniu warto ci maksymalnej nast piła wyra
na zmiana trendu na Warszawskiej
Giełdzie Papierów Warto ciowych. Momenty zako czenia giełdowej hossy to
8.03.1994 roku i 28.03.1995 roku.
Na rysunkach 3 i 4 przedstawiono odpowiednio wykresy warto ci indeksu
WIG i zaobserwowane obroty dla wspomnianych okresów. Wykresy przedstawiaj gwałtowna zmian wcze niejszych trendów. Analizowane okresy do wyznaczania giełdowej liczby Reynoldsa w prezentowanych obliczeniach zawsze
zawieraj dane z 29 kolejnych dni notowa WGPW. Na rysunku 3 przedstawiono wykres, na którym widoczny jest moment zmiany rynkowego trendu
przypadaj cy na dzie 8.03.1994 roku. L.Re (dd.mm.rr) oznacza warto giełdowej liczby Reynoldsa wyznaczon na dzie (dd.mm.rr). Data (dd.mm.rr)
okre la koniec przedziału 29 kolejnych notowa WGPW. Dla tych danych obliczono nast puj ce liczby Reynoldsa:
14
Ryszard Antoniewicz, Jacek Juzwiszyn
L.Re (03.03.94) = 1,93E+16,
L.Re (07.03.94) = 1,24E+16,
L.Re (08.03.94) = 8,38E+15.
Indeks WIG 3.03.1994 roku osi gn ł warto 19 996,9 przy obrotach
302 713. Wska
nik ostrzegawczy Reynoldsa miał wówczas maksymaln warto L.Re (03.03.94) = 1,93E+16. W kolejnym dniu notowa WGPW, czyli
7.03.1994 roku zarówno indeks jak i obroty miały tendencje rosn c i jednocze nie nast pił spadek warto ci L.Re (07.03.94) = 1,24E+16. Podczas kolejnego dnia notowa giełda rozpoczynała długi okres spadków warto ci indeksu
WIG (tzw. okres bessy). Traktuj c L.Re jako wska
nik ostrzegawczy, mo na
powiedzie , e ostrze enie o zmianie giełdowego trendu przyszło z dwudniowym wyprzedzeniem:
L.Re (23.03.95) = 1,12249E+12,
L.Re (24.03.95) = 1,34683E+12,
L.Re (27.03.95) = 1,67597E+12,
L.Re (28.03.95) = 1,65311E+12,
L.Re (29.03.95) = 1,74399E+12,
L.Re (30.03.95) = 1,60058+12.
Nieco inaczej interpretowana jest zmiana rynkowego trendu przypadaj ca
na dzie 28.03.1995 roku – warto indeksu WIG i zaobserwowane obroty wynosiły odpowiednio 5 904,7 i 24 868, natomiast liczba Reynoldsa była równa
L.Re (28.03.95) = 1,65311E+12. W kolejnych dniach notowa WGPW warto ci
indeksu WIG i obroty miały ju mniejsze warto ci. Maksymalna warto giełdowej liczby Reynoldsa L.Re (29.03.95) = 1,74399E+12 pojawiła si tu po
zmianie rynkowego trendu wzrostowego. W tym konkretnym przypadku charakter giełdowej liczby Reynoldsa z ostrzegawczego zmienił si na potwierdzaj cy, czyli e obliczone warto ci giełdowej liczby Reynoldsa (dla analizowanych okresów pó
niejszych) były du o mniejsze od wyró nionej warto ci najwi kszej w danym okresie przypadaj cej na dzie 29.03.1995 roku. Potwierdzaj cy charakter giełdowej liczby Reynoldsa jest tu rozumiany jako potwierdzaj cy zmian dotychczas obowi zuj cego rodzaju rynkowego trendu.
Giełdowa liczba Reynoldsa
15
Tabela 3
Liczba Reynoldsa dla indeksu WIG za okres od 3.01.1994 roku do 8.03.1994 roku
Lp.
Data (rrrr mm dd)
WIG
Obroty
1
1994 01 03
13 044,8
143 139,5
2
1994 01 04
13 345,5
209 657,6
3
1994 01 06
13 233,9
25 720,0
4
1994 01 10
13 310,8
196 358,0
5
1994 01 11
13 558,0
151 026,1
6
1994 01 13
14 117,5
265 945,0
7
1994 01 17
14 625,1
294 689,3
8
1994 01 18
15 081,6
256 137,0
9
1994 01 20
15 420,8
342 265,0
10
1994 01 24
15 846,3
296 007,5
11
1994 01 25
16 808,6
292 545,0
12
1994 01 27
18 218,3
487 042,0
13
1994 01 31
16 881,0
444 232,0
14
1994 02 01
15 227,9
193 050,5
15
1994 02 03
14 871,5
353 126,0
16
1994 02 07
16 137,5
285 926,0
17
1994 02 08
16 817,9
362 794,0
18
1994 02 10
17 300,2
370 021,0
19
1994 02 14
18 059,9
313 187,0
20
1994 02 15
18 799,3
327 258,0
21
1994 02 17
19 059,2
411 578,0
22
1994 02 21
19 358,3
371 871,0
23
1994 02 22
19 641,0
234 557,0
24
1994 02 24
19 802,2
391 120,0
25
1994 02 28
20 196,0
316 321,0
26
1994 03 01
20 275,6
248 701,0
27
1994 03 03
19 996,9
302 713,0
28
1994 03 07
20 360,7
279 017,0
29
1994
03
08
20
760,3
258 385,0
rednie arytmetyczne
16 902,0
298 485,8
Współczynnik korelacji
0,4514567
Kwadraty
Wsp. kier. f. regresji
0,013656117 0,000186
Kowariancja (WIG, obroty)
91 547 424,2
L.Re = 8,38E+15
Wariancja
6 703 766 931 4,49E+19
ródło: opracowanie własne.
Tabela 3
16
Ryszard Antoniewicz, Jacek Juzwiszyn
Liczba Reynoldsa dla indeksu WIG za okres od 16.02.1995 roku do 28.03.1995 roku
Lp.
Data (rrrr mm dd)
WIG
Obroty
1
1995 02 16
6 725,9
25 831
2
1995 02 17
6 725,5
27 511
3
1995 02 20
6 599,6
21 347
4
1995 02 21
6 277,2
49 337
5
1995 02 22
6 246,7
28 591
6
1995 02 23
6 419,8
24 402
7
1995 02 24
6 903,4
81 474
8
1995 02 27
6 604,0
26 367
9
1995 02 28
6 447,3
19 211
10
1995 03 01
6 460,2
14 985
11
1995 03 02
6 541,0
15 065
12
1995 03 03
6 698,9
36 089
13
1995 03 06
6 720,0
22 701
14
1995 03 07
6 668,5
25 507
15
1995 03 08
6 662,3
18 079
16
1995 03 09
6 661,6
20 774
17
1995 03 10
6 561,5
23 943
18
1995 03 13
6 521,9
22 127
19
1995 03 14
6 347,9
19 932
20
1995 03 15
6 352,6
16 477
21
1995 03 16
6 282,0
22 344
22
1995 03 17
6 210,3
21 076
23
1995 03 20
6 153,7
16 216
24
1995 03 21
6 069,6
17 609
25
1995 03 22
5 977,1
20 703
26
1995 03 23
5 922,1
20 094
27
1995 03 24
5 949,5
18 501
28
1995 03 27
6 070,5
21 114
29
1995
03
28
5
904,7
24 868
rednie arytmetyczne
6402,9
24906,1
Współczynnik korelacji
0,366918476
Kwadraty
Wsp. kier. f. regresji
164 479 148,5 2,705E+16
Kowariancja (WIG, obroty) 1 285 733,074
L.Re = 1,653E+12
Wariancja
0,007816997
ródło: opracowanie własne.
Rys. 4. Wykres obrotów
ródło: opracowanie własne.
1995 03 28
1995 03 24
1995 03 22
1995 03 20
1995 03 16
1995 03 14
1995 03 10
1995 03 08
1995 03 06
1995 03 02
1995 02 28
1995 02 24
1995 02 22
1995 02 20
1995 02 16
1994 05 09
1994 04 28
1994 04 21
1994 04 14
1994 04 08
1994 03 31
1994 03 24
1994 03 17
1994 03 10
1994 03 03
1994 02 24
1994 02 17
1994 02 10
1994 02 03
Giełdowa liczba Reynoldsa
17
25 000
20 000
15 000
10 000
5 000
0
Rys. 3. Wykres warto ci indeksu WIG
ródło: opracowanie własne.
100 000
80 000
60 000
40 000
20 000
0
18
Ryszard Antoniewicz, Jacek Juzwiszyn
PODSUMOWANIE
W artykule przedstawiono analiz dynamizmu rynkowego ruchu zaobserwowanego w R3+. Zmiennymi w modelu czasowym R3+ s ceny i wolumen, na
których dokonywany jest giełdowy obrót. Zaobserwowana trójwymiarowa rynkowa trajektoria jest wspólna dla wszystkich rodzajów akcji i dla indeksów
giełdowych. Okazuje si , e wszystkie dwuwymiarowe wykresy, przedstawiaj ce cenowe zale no ci (lub zale no ci wolumenu) powstaj w wyniku ortogonalnego rzutu trójwymiarowej krzywej (trajektorii wirowo-spiralnej) na odpowiedni płaszczyzn . Ruch, jaki wykonuje rynek w R3+, jest wirowo-spiralny.
Analiza trójwymiarowych modeli giełdowych pozwala na jednoczesne ledzenie zale no ci mi dzy cen i wolumenem. Dodatkowo, mo na dostrzec podobie stwo krzywych wirowo-spiralnych, jakie powstaj na wskutek giełdowych
ruchów, do ruchu, jaki powstaje w modelach hydrodynamicznych. Podobie stwo tych dwóch ró nych układów dynamicznych nie jest zwi zane z czynnikami, które wywołuj ten ruch, lecz z samym rodzajem ruchu. Warto giełdowej liczby L.Re (wyznaczanej np. dla konkretnego indeksu) mo e by wyliczana
jako kwadrat iloczynu pr dko ci i wariancji. W momencie gdy liczba L.Re osi ga du warto , ruch, wcze niej okre lony jako laminarny, przechodzi w turbulentny. Zaobserwowany giełdowy ruch wirowo-spiralny w przypadku przej cia rynku ze stanu stabilnej dynamiki w tak zwany rynek burzliwy to gwałtowna zmiana ruchu laminarnego na ruch turbulentny. Sytuacje takie s nierzadkie
na rynkach finansowych, gdzie z pozoru mało istotne wydarzenia maj tak
mocny wpływ na reakcje uczestników rynku, e w ich efekcie nast puje bardzo
szybka zmiana nastrojów, powoduj ca pojawienie si giełdowej turbulencji,
której efektem jest załamanie si rynku.
LITERATURA
1.
Antoniewicz R.: Metoda najmniejszych kwadratów dla zale no ci niejawnych i jej
zastosowania w ekonomii. Prace naukowe AE we Wrocławiu, Wrocław 1988.
2.
3.
Arnold W.: Metody matematyczne mechaniki klasycznej. PWN, Warszawa 1981.
Bird R., Stewart W., Lightfoot E.: Transport phenomena. John Wiley, New York,
London 1960.
Giełdowa liczba Reynoldsa
4.
19
Dorfman J.: Wprowadzenie do teorii chaosu w nierównowagowej mechanice statystycznej. PWN, Warszawa 2001.
5.
Jaworski B., Pi ski A.: Elementy fizyki. PWN, Warszawa 1977.
6.
Juzwiszyn J.: O obrotach sfer finansowych. Ekonomia Matematyczna, Prace Naukowe AE we Wrocławiu, Wrocław 2001.
7.
Lamb H.: Hydrodynamics. Cambridge Mathematical Library, Cambridge 1993.
8.
Mantegna R.‚ Stanley H.: Ekonofizyka, wprowadzenie. PWN, Warszawa 2001.
9.
Mantegna R.‚ Stanley H.: Fizyka bli ej pieni dzy. PWN, Warszawa 2001.
10. Mantegna R.‚ Stanley H.: Turbulence and financial markets. Nature, Cambridge
1996.
11. Schuster H.: Chaos deterministyczny. PWN, Warszawa 1995.
12. Smoluchowski M.: Pisma Mariana Smoluchowskiego. Uniwersytet Jagielo ski,
Kraków 1927.
13. Tempczyk M.: Teoria chaosu dla odwa nych. PWN, Warszawa 2002.
THE STOCK EXCHANGE REYNOLDS NUMBER
Summary
This paper presents the market notion analysis in the space R3+. We assume that
prices and the volume subjecting to stock exchange turnover are variables in the temporal model R3+. Apparently the projections of these empirical points create a spiral nembula. This fact gave sufficient grounds for creating of the Reynolds number analog for
the financial markets.
Translated by Ryszard Antoniewicz, Jacek Juzwiszyn