Wartość bezwzględna. Błąd przybliżenia.

Wartość bezwzględna. Błąd przybliżenia.
Wartość bezwzględna liczby
Definicja
Przykład 1.
Każdemu punktowi na osi liczbowej odpowiada dokładnie jedna liczba.
Odległość liczby -5 od punktu 0 wynosi 5 jednostek, zatem zgodnie z definicją:|
| |
| |
podobnie | |
Jeżeli liczba jest nieujemna (
Jeżeli liczba jest ujemna (
przeciwną.
, to jest równa swojej wartości bezwzględnej.
, to jej wartość bezwzględna jest liczbą do niej
Definicja wartości bezwzględnej:
Własności wartości bezwzględnej:
Przykład 2.
a)
b)
c)
= 5,3
=0
|
Wartość bezwzględna. Błąd przybliżenia.
d)
e)
f)
g)
=6
Zaokrąglanie liczb dziesiętnych
Zaokrąglić liczbę dziesiętną, to znaczy zastąpić zerami (odrzucić) pewną liczbę jej cyfr
końcowych zgodnie z regułą:
Jeżeli pierwszą z odrzuconych cyfr jest:
0, 1, 2, 3, 4, to ostatnią z cyfr zachowanych pozostawiamy bez zmian;
5, 6, 7, 8, 9, to ostatnią z cyfr zachowanych zwiększamy o 1, przy czym jeżeli jest nią
cyfra 9, to zastępujemy ją zerem i zwiększamy o 1 poprzednią cyfrę, itd.
Przybliżenia liczb rzeczywistych
Definicja
Jeśli
Jeśli
to
to
jest przybliżeniem z nadmiarem
jest przybliżeniem z niedomiarem
Definicja
Błąd bezwzględny jest wielkością mianowaną (w tych samych jednostkach co mierzona
wielkość).
Przykład 3.
Wyznacz błędy bezwzględne kolejnych przybliżeń liczby
a)
Wartość bezwzględna. Błąd przybliżenia.
b)
c)
Przykład 4.
Liczba 17 jest przybliżeniem z nadmiarem liczby
wynosi 0,46. Wyznacz liczbę .
Błąd bezwzględny tego przybliżenia
Rozwiązanie:
|
|
Wartość bezwzględna z liczby ujemnej jest równa liczbie przeciwnej do tej liczby; zatem:
|
|
(
)
Odp.:
Przykład 5.
Jeżeli zaokrąglimy wysokość Rysów (2499 m) do 2500 m, to popełnimy błąd
bezwzględny równy 1 m. Jeśli zaokrąglimy wzrost Ryśka z 1,5 m do 2 m, to błąd
bezwzględny będzie mniejszy niż w przypadku Rysów, bo wyniesie tylko 0,5 m.
Intuicyjnie jednak pierwsze przybliżenie wydaje się być dokładniejsze niż drugie.
Jak widać informacja wynikająca z obliczonego błędu bezwzględnego może być
niewystarczająca, by ocenić dokładność zastosowanego przybliżenia.
Definicja
lub
Błąd względny jest wielkością niemianowaną.
W przykładzie 5 błąd względny dla wysokości Rysów był równy
natomiast dla wzrostu Ryśka błąd względny wynosił
0,333…
Błędy względne wyrażone w procentach wynosiłyby odpowiednio:
0,0004
Wartość bezwzględna. Błąd przybliżenia.
Przykład 6.
Przybliżenie dziesiętne liczby
z dokładnością do całości jest równe 4. Wyznacz
błąd względny tego przybliżenia bez niewymierności w mianowniku, a następnie
oszacuj jego wartość w procentach.
Rozwiązanie:
%
Odp. Błąd względny tego przybliżenia wynosi
czyli ok. 3%.