Rząd I 1. (5 pkt) Dane są cztery następujące funkcje: Uporządkuj ten

Rząd I 1. (5 pkt) Dane są cztery następujące funkcje: Uporządkuj ten

Rz d I
1. (5 pkt) Dane s cztery nast puj ce funkcje:
f1 (n ) = 1 +
1 1
1
+ + ... + 2 ,
4 9
n
f 2 (n ) = log10 n100 ,
f 3 (n ) =
(
)
4
n +1 ,
f 4 (n ) = log 2 2 n sin n
2
Uporz dkuj ten ci g funkcji ze wzgl du na ich rz d (od funkcji o najni szym rz dzie do
funkcji o najwy szym rz dzie). Je eli dwie funkcje maj ten sam rz d, to pierwsz w ci gu
umie t , która ma ni szy numer. Odpowied uzasadnij.
2) (5 pkt) Jaki jest dokładny koszt pesymistyczny mierzony liczb porówna mi dzy
elementami tablicy A nast puj cego algorytmu? Zakładamy, e n jest postaci 2t. Okre l
przypadek pesymistyczny algorytmu.
i=n; z=0;
while (i>=1)
{
p=1;k=n; x=A[p];
while (p<=k)
{
m=(p+k)/2;
if (A[m]<x) {p=m+1; z=z+1;} else {k=m-1; z=z-1;}
}
i/=2;
}
3. (5 pkt) Dany jest nast puj cy problem: Dane: Ci g liczb naturalnych ci (i=1…n). Na
liczbach z ci gu realizujemy nast puj cy proces: Sumujemy dwie wybrane s siednie liczby w
ci gu ci oraz ci+1. Sum si = ci + ci+1 wstawiamy w miejsce i ci gu, a liczb ci+1 usuwamy z
ci gu. Proces ten wykonujemy tak długo, a zostanie w ci gu tylko jedna liczba.
Wynik: Odpowied na pytanie: Jak nale y wybiera pary w poszczególnych krokach procesu,
aby suma warto ci si ze wszystkich kroków procesu była najwi ksza.
Propozycja rozwi zania: Nale y wybiera w pierwszej kolejno ci te pary s siednich liczb,
których suma jest najwi ksza.
Przykład: Dane: n=4; Ci g liczb: 3 2 3 1. Wynik: I krok procesu: Sumujemy par 3 i 2,
otrzymujemy ci g: 5 3 1; II krok procesu: Sumujemy par 5 i 3, otrzymujemy ci g: 8 1; II
krok procesu: Sumujemy par 8 i 1 i otrzymujemy ci g: 9. Suma sum uzyskiwanych we
wszystkich krokach procesu wynosi: 5 + 8 +9 = 22
Czy zaproponowane rozwi zanie jest poprawne? Je eli nie, to wska kontrprzykład. Je eli
tak, to okre l koszt pesymistyczny zaproponowanego rozwi zania w zale no ci od n.
4. (10 pkt) Dany jest zbiór punktów na płaszczy nie o współrz dnych całkowitych z zakresu
od -1000 do 1000. Zaproponuj mo liwie najefektywniejszy algorytm sprawdzaj cy, czy
podany zbiór punktów ma rodek symetrii. Zapisz kod swojego algorytmu. Okre l przypadek
pesymistyczny i rz d funkcji kosztu pesymistycznego. Rozmiarem zadania jest n –liczba
punktów. Operacj elementarn wybierz samodzielnie.
Def. Zbiór punktów ma rodek symetrii O, gdy dla ka dego punktu p z tego zbioru, punkt
symetryczny do p wzgl dem O te nale y do tego zbioru
Przykład Dane: Punkty: (-1, -1 )(2, 2), (-2, -2), (1, 1). Wynik: Zbiór punktów ma rodek
symetrii w punkcie (0, 0).
1
Rz d II
1. (5 pkt) Dane s cztery nast puj ce funkcje:
f1 (n ) =
1 1
1
+ + ... + n ,
2 4
2
f 2 (n ) = 2
log 2 ( sin 2 n + 2 n )
,
f 3 (n ) =
(
3
)
6
n +1 ,
f 4 (n ) = log 4 2 n sin n
2
Uporz dkuj ten ci g funkcji ze wzgl du na ich rz d (od funkcji o najni szym rz dzie do
funkcji o najwy szym rz dzie). Je eli dwie funkcje maj ten sam rz d, to pierwsz w ci gu
umie t , która ma ni szy numer. Odpowied uzasadnij.
2) (5 pkt) Jaki jest dokładny koszt pesymistyczny mierzony liczb porówna mi dzy
elementami tablicy A nast puj cego algorytmu? Zakładamy, e n jest postaci 2t. Okre l
przypadek pesymistyczny algorytmu.
i=0; j=n; z=0; x=A[i];
while (i<=j)
{
k=n;
m=(i+j)/2;
while (k>=1)
{
if (x<A[m]) z=z+1; else (if x>A[m]) z=z-1;
k/=2;
}
if (m%2==0) j=m-1; else i=m+1;
}
3. (5 pkt) Dany jest nast puj cy problem: Dane: Ci g par liczb naturalnych (ai, bi)i=1…n oraz
liczba naturalna W. Wynik: Odpowied na pytanie: Które pary nale y wybra , aby suma
poprzedników ai wybranych par była mo liwie najwi ksza, a suma nast pników bi wybranych
par nie przekraczała W.
Propozycja rozwi zania: Posortowa pary nierosn co wzgl dem warto ci ai/bi (/ - dzielenie
rzeczywiste), a nast pnie do rozwi zania wł cza pary w kolejno ci od najwy szego
współczynnika ai/bi. Koniec wł czania par nast puje wtedy gdy suma warto ci bi wł czonych
par przekroczy W albo sko czy si ci g par do sprawdzenia.
Przykład: Dane: n=5; W=20; Ci g par: (5, 2), (1, 10), (5, 10), (10, 7), (20, 4). Pary po
posortowaniu wzgl dem współczynnika ai/bi: (20, 4) (5, 2), (10, 7), (5,10), (1, 10). Wybrane
pary: (20, 4), (5, 2), (10, 7).
Czy zaproponowane rozwi zanie jest poprawne? Je eli nie, to wska kontrprzykład. Je eli
tak, to okre l koszt pesymistyczny zaproponowanego rozwi zania w zale no ci od n.
4. (10 pkt) Dany jest ci g liczb całkowitych nieujemnych z zakresu od 1 do 1000. Wybieramy
z ci gu dwie takie same liczby (liczby nie musz by s siednie), usuwamy je z ci gu, a na
koniec wstawiamy otrzyman sum . Proces ten kontynuujemy tak długo, a ci g b dzie si
składał z ró nych liczb. Zaproponuj mo liwie najefektywniejszy algorytm, który ustali
długo ci gu po zako czeniu procesu sumowania. Zapisz kod swojego algorytmu. Okre l
zło ono swojego algorytmu. Samodzielnie okre l operacj elementarn . Rozmiar zadania to
n – pocz tkowa długo ci gu.
Przykład
Dane: n=10, Ci g pocz tkowy: 3, 1, 3, 2, 3, 3, 1, 2, 3, 3
Wynik: Długo ko cowa ci gu: 4
2
Rz d III
1. (5 pkt) Dane s cztery nast puj ce funkcje:
f1 (n ) =
(
)
4
n +1 ,
f 2 (n ) = log 2 2 n sin n , f 3 (n ) = 1 +
2
1 1
1
+ + ... + 2 , f 4 (n ) = log10 n100
4 9
n
Uporz dkuj ten ci g funkcji ze wzgl du na ich rz d (od funkcji o najni szym rz dzie do
funkcji o najwy szym rz dzie). Je eli dwie funkcje maj ten sam rz d, to pierwsz w ci gu
umie t , która ma ni szy numer. Odpowied uzasadnij.
2) (5 pkt) Jaki jest dokładny koszt pesymistyczny mierzony liczb porówna mi dzy
elementami tablicy A nast puj cego algorytmu? Zakładamy, e n jest postaci 2t. Okre l
przypadek pesymistyczny algorytmu.
p=1; k=n; z=0;
while (p<=k)
{
i=1;j=n;
while (i<=j)
{
if (A[i]<A[j]) z++; else if (A[i]>A[j]) z--;
i*=2;
}
p*=2; k/=2;
}
3. (5 pkt) Dany jest nast puj cy problem: Dane: Ci g ró nych liczb naturalnych bi (i=1…n)
oraz liczba naturalna B. Wynik: Odpowied na pytanie: Które liczby z ci gu nale y wybra ,
aby ich suma nie przekroczyła warto ci B i była mo liwie najwi ksza. Propozycja
rozwi zania: Nale y posortowa ci g liczb malej co i do rozwi zania wybiera najwi ksze
warto ci posortowanego ci gu do chwili, gdy suma wybranych warto ci nie przekroczy B
albo ci g si nie sko czy.
Przykład: Dane: n=4; Ci g liczb: 1 2 5 4; B=10. Wynik: Wybrane liczby: 5, 4. Czy
zaproponowane rozwi zanie jest poprawne? Je eli nie, to wska kontrprzykład. Je eli tak, to
okre l koszt pesymistyczny zaproponowanego rozwi zania w zale no ci od n.
4. (10 pkt) Dany jest zbiór punktów na płaszczy nie o współrz dnych całkowitych z zakresu
od -1000 do 1000. Zaproponuj mo liwie najefektywniejszy algorytm sprawdzaj cy, czy
podany zbiór punktów ma rodek symetrii. Zapisz kod swojego algorytmu. Okre l przypadek
pesymistyczny i rz d funkcji kosztu pesymistycznego. Rozmiarem zadania jest n –liczba
punktów. Operacj elementarn wybierz samodzielnie.
Def. Zbiór punktów ma rodek symetrii O, gdy dla ka dego punktu p z tego zbioru, punkt
symetryczny do p wzgl dem O te nale y do tego zbioru
Przykład Dane: Punkty: (-1, -1 )(2, 2), (-2, -2), (1, 1). Wynik: Zbiór punktów ma rodek
symetrii w punkcie (0, 0).
3
Rz d IV
1. (5 pkt) Dane s cztery nast puj ce funkcje:
f1 (n ) =
3
6
n 2 + 1 , f 2 (n ) = 2
log 2 ( sin 2 n + 2 n )
,
f 3 (n ) = log 2 128n , f 4 (n ) =
1 1
1
+ + ... + n
2 4
2
Uporz dkuj ten ci g funkcji ze wzgl du na ich rz d (od funkcji o najni szym rz dzie do
funkcji o najwy szym rz dzie). Je eli dwie funkcje maj ten sam rz d, to pierwsz w ci gu
umie t , która ma ni szy numer. Odpowied uzasadnij.
2) (5 pkt) Jaki jest dokładny koszt pesymistyczny mierzony liczb porówna mi dzy
elementami tablicy A nast puj cego algorytmu? Zakładamy, e n jest postaci 2t. Okre l
przypadek pesymistyczny algorytmu.
i=0;j=n z=0;x=A[0];
while (i<=j)
{
k=1;
m=(i+j)/2;
while (k<=n)
{
if (x<A[m]) z=z+1; else (if x>A[m]) z=z-1;
k*=2;
}
if (m%2==0) j=m-1; else i=m+1;
}
3. (5 pkt) Dany jest nast puj cy problem: Dane: Ci g par liczb naturalnych (ci, di)i=1…n oraz
liczba naturalna L. Wynik: Odpowied na pytanie: Które pary nale y wybra , aby suma
nast pników di wybranych par była mo liwie najwi ksza, a suma poprzedników ci wybranych
par nie przekraczała L.
Propozycja rozwi zania: Posortowa pary nierosn co wzgl dem warto ci di/ci (/ - dzielenie
rzeczywiste), a nast pnie do rozwi zania wł cza pary w kolejno ci od najwy szego
współczynnika di/ci. Koniec wł czania par nast puje wtedy, gdy suma warto ci ci wł czonych
par przekroczy L albo sko czy si ci g par do sprawdzenia.
Przykład: Dane: n=5; L=20; Ci g par: (2, 5), (10, 1), (10, 5), (7, 10), (4, 20). Pary po
posortowaniu wzgl dem współczynnika di/ci: (4, 20) (2, 5), (7, 10), (10, 5), (10, 1). Wybrane
pary: (4, 20), (2, 5), (7, 10). Czy zaproponowane rozwi zanie jest poprawne? Je eli nie, to
wska kontrprzykład. Je eli tak, to okre l koszt pesymistyczny zaproponowanego rozwi zania
w zale no ci od n.
4. (10 pkt) Dany jest ci g liczb całkowitych nieujemnych z zakresu od 1 do 1000. Wybieramy
z ci gu dwie takie same liczby (liczby nie musz by s siednie), usuwamy je z ci gu, a na
koniec ci gu wstawiamy otrzyman sum . Proces ten kontynuujemy tak długo, a ci g b dzie
si składał z ró nych liczb. Zaproponuj mo liwie najefektywniejszy algorytm, który ustali
długo ci gu po zako czeniu procesu sumowania. Zapisz kod swojego algorytmu. Okre l
zło ono swojego. Samodzielnie okre l operacj elementarn . Rozmiar zadania to n –
pocz tkowa długo ci gu.
Przykład
Dane: n=10, Ci g pocz tkowy: 3, 1, 3, 2, 3, 3, 1, 2, 3, 3
Wynik: Długo ko cowa ci gu: 4
4