analiza wpływu rozmieszczenia i liczby punktów kolokacji na

MODELOWANIE INŻYNIERSKIE nr 46, ISSN 1896-771X
ANALIZA WPŁYWU ROZMIESZCZENIA
I LICZBY PUNKTÓW KOLOKACJI NA
DOKŁADNOŚĆ METODY PURC DLA
ZAGADNIEŃ TEORII SPRĘŻYSTOŚCI
W OBSZARACH WIELOŚCIENNYCH 3D
Eugeniusz Zieniuk1a, Krzysztof Szerszeń1b
1
Zakład Metod Numerycznych, Wydział Matematyki i Informatyki, Uniwersytet w Białymstoku
e-mail a [email protected], [email protected]
Streszczenie
Celem niniejszej pracy jest zbadanie wpływu liczby oraz sposobu rozmieszenia punktów kolokacji na dokładność
i stabilność rozwiązań uzyskiwanych za pomocą parametrycznych układów równań całkowych (PURC). Analizę
przeprowadzano dla brzegowych zagadnień 3D modelowanych równaniami Naviera-Lamégo z obszarami
wielościennymi. Numeryczne rozwiązywanie PURC sprowadza się do rozwiązywania układów równań
algebraicznych, które są zapisywane w punktach kolokacji. Liczba tych punktów oraz ich rozmieszczenie ma
istotny wpływ na dokładność i stabilność rozwiązań.
ANALYSIS OF THE INFLUENCE OF ARRANGEMENT
AND NUMBER OF COLLOCATION POINTS ON THE
ACCURACY OF THE PIES METHOD FOR LINEAR
ELASTICITY PROBLEMS IN 3D POLYHEDRAL DOMAINS
Summary
The purpose of this paper is to study the influence of number and arrangement of collocation points on the
accuracy and stability obtained by parametric integral equation method (PIES). This analysis has been performed
for 3D boundary value problems modeled by Navier-Lamé equations in polyhedral domains. Numerical solution of
the PIES comes down to solving algebraic equations, written at collocation points. The number of these points
and their arrangement have a significant impact on the accuracy and stability of the solutions.
1. WSTĘP
Poprawa dokładności rozwiązań numerycznych
w klasycznych metodach elementowych (MES, MEB)
realizowana
jest
poprzez
zwiększenie
liczby
wprowadzonych elementów lub też zastosowanie
elementów wyższego rzędu. W obydwu przypadkach
prowadzi to do konieczności deklarowania dużej liczby
węzłów, na podstawie których budowana jest siatka
elementowa przyjętego schematu dyskretyzacji brzegu
lub obszaru. Takie podejście wydaje się szczególnie
nieefektywne
w
odniesieniu
do
zagadnień
przestrzennych, w których niejednokrotnie duża liczba
elementów może być zbędna z punktu widzenia
dokładności odwzorowania modelowanego obszaru [1].
127
ANALIZA WPŁYWU ROZMIESZCZENIA I LICZBY PUNKTÓW KOLOKACJI NA …
punktów kolokacji wynika z zastosowanej metody
pseudospektralnej (kolokacji) do numerycznego
rozwiązania PURC. Numeryczne rozwiązywanie
PURC sprowadza się do rozwiązywania układów
równań
algebraicznych,
które
są
zapisywane
w punktach kolokacji. Ponadto z przeprowadzonych
badań okazuje się, że na dokładność rozwiązań ma też
wpływ sposób ich rozmieszczenia w dziedzinie płatów
powierzchni. Dlatego też w pracy przebadano trzy
warianty ich rozmieszczenia w celu wyciągnięcia
wniosków, dla jakiego wariantu rozmieszczenia i dla
jakiej
ich
liczby
otrzymywane
rozwiązania
charakteryzują się największą dokładnością.
Dotychczasowe badania analizujące wpływ liczby
i rozmieszczenia punktów kolokacji w metodzie
pseudospektralnej zastosowanej do numerycznego
rozwiązywania PURC realizowane były głównie
w zagadnieniach płaskich [5,6]. Celem niniejszej pracy
jest przeprowadzenie szczegółowej analizy ich
rozmieszczenia dla zagadnień 3D matematycznie
modelowanych
równaniami
Naviera-Lamégo.
Prezentowane testy przeprowadzono dla zagadnień
brzegowych z obszarami wielościennymi.
Rozpatrywane w pracy alternatywne podejście
dotyczące numerycznego rozwiązywania zagadnień
brzegowych
realizowane
jest
na
podstawie
parametrycznych
układów
równań
całkowych
(PURC).
Metoda
PURC
charakteryzuje
się
rozdzieleniem aproksymacji brzegu od aproksymacji
funkcji brzegowych [5]. W wyniku tego możliwym
okazało się wyeliminowanie w PURC konieczności
dyskretyzacji
brzegu
i
obszaru
w
procesie
numerycznego rozwiązywania zagadnienia brzegowego.
Kształt brzegu został w tym przypadku uwzględniony
w sposób analityczny bezpośrednio w funkcjach
podcałkowych PURC i matematycznie zdefiniowany
za pomocą dowolnych funkcji parametrycznych.
Z kolei rozwiązania na brzegu zostały zdefiniowane
z wykorzystaniem szeregów aproksymujących. Takie
zdefiniowanie rozwiązań na brzegu i samego kształtu
obszaru powoduje, że poprawa dokładności rozwiązań
jest procesem niezależnym od poprawy dokładności
modelowania obszaru. Poprawa dokładności rozwiązań
numerycznych w PURC sprowadza się do zwiększenia
liczby wyrazów w szeregach aproksymujących. Liczba
wyrazów w szeregach z kolei jest związana z liczbą
deklarowanych w dziedzinach poszczególnych płatów
powierzchni tzw. punktów kolokacji. Obecność
2. APROKSYMACJA ROZWIĄZAŃ NA BRZEGU W PURC
Cechą charakterystyczną MEB jest podział brzegu
na elementy i równoczesne aproksymowanie kształtu
brzegu i funkcji brzegowych na tych elementach [1].
Przy założeniu izoparametryczności elementów
brzegowych modelowanie funkcji brzegowych w MEB
na tych elementach odbywa się w identyczny sposób
jak samej geometrii brzegu i sprowadza się do
znalezienia wartości tych funkcji wyłącznie w węzłach
poszczególnych elementów brzegowych. Mówi się
w tym przypadku o dyskretyzacji brzegu i funkcji
brzegowych utożsamianych z zadawanymi warunkami
brzegowymi i poszukiwanymi rozwiązaniami na
brzegu. Wartości funkcji brzegowych w pozostałych
punktach
na
brzegu
można
wyznaczyć
za
pośrednictwem z góry zdefiniowanych funkcji kształtu
na poszczególnych elementach brzegowych. Przyjęcie
właśnie takiej formy aproksymowania funkcji
n
vj
0.5ul (v1 , w1 ) = ∑ ∫
brzegowych powoduje, że w celu uzyskania poprawy
dokładności rozwiązań na brzegu należy zagęścić
liczbę węzłów, co jest ściśle związane z fizyczną
deklaracją tych węzłów. Niejednokrotnie liczba
wprowadzonych w takim przypadku elementów jest
nadmiarowa w stosunku do wymaganej w celu
dokładnego i jednoznacznego zamodelowania brzegu.
Istotną korzyścią płynącą z zastosowania PURC
jest wspomniane już rozdzielenie sposobu deklaracji
kształtu brzegu od sposobu aproksymacji funkcji
brzegowych w celu uzyskania rozwiązania na brzegu.
Daje to możliwość niezależnej poprawy dokładności
modelowania
kształtu
brzegu
bez
ingerencji
w aproksymację rozwiązań na brzegu i odwrotnie.
Formuła PURC w przypadku problemów brzegowych
3D
opisanych
równaniami
Naviera-Lamégo
przedstawiana jest w następującej postaci [7]
wj
∫ {U
∗
lj
∗
}
(v1 , w1 , v, w) p j (v, w) − Plj (v1 , w1 , v, w)u j (v, w) J j (v, w)dvdw,
(1)
j =1 v j −1 w j −1
przy
czym
modelujących brzeg. Jedna z tych funkcji będzie
zadana w postaci warunków brzegowych, natomiast
druga będzie poszukiwana w wyniku rozwiązania (1).
Jawna
postać
funkcji
podcałkowych
ν l −1 < ν 1 < ν l , wl −1 < w1 < wl ,
ν j −1 < ν < ν j , w j −1 < w < w j , l = 1,2,3,..., n
oraz
J j (v, w)
jest
jakobianem,
natomiast
∗
p j (v, w), u j (v, w)
U lj (v1 , w1 , v, w) ,
są to parametryczne funkcje
∗
Plj (v1 , w1 , v, w)
jest
przedstawiona w pracy [7]. Ogólnie funkcje te są
zależne od rozwiązywanego równania różniczkowego,
brzegowe na poszczególnych płatach powierzchni
128
Eugeniusz Zieniuk, Krzysztof Szerszeń
dla równania Laplace'a są one przedstawione w pracy
[8], natomiast dla równania Helmholtza w [9]. Funkcje
te w swoim formalizmie matematycznym uwzględniają
kształt
brzegu
zdefiniowany
za
pomocą
dwuwymiarowych funkcji parametrycznych. W
odniesieniu do analizowanych w niniejszej pracy
zagadnień 3D modelowanie brzegu opiera się na
rys. 1.
wykorzystaniu prostokątnych płatów powierzchni
Coonsa. Za pomocą odpowiedniego połączenia tych
płatów można bardzo łatwo zdefiniować kształt
obszaru
bezpośrednio
w
PURC.
Przykład
wykreowanego sześcioma płatami Coonsa brzegu
sześcianu bezpośrednio w PURC przedstawiono na
Rys. 1. Modelowanie kształtu brzegu płatami powierzchni Coonsa, schematyczne rozmieszczanie punktów kolokacji w lokalnych
płaszczyznach odwzorowania v, w dla składowych płatów powierzchni Coonsa, realizacja aproksymacji funkcji brzegowych
wielomianami Czebyszewa
Bezpośrednie uwzględnienie w formule PURC
kształtu brzegu wprowadza dużą swobodę w
określeniu
aproksymacji
funkcji
brzegowych
u j (v, w)
oraz
p j (v, w)
aproksymowane za pomocą szeregów z funkcjami
bazowymi
Czebyszewa
pierwszego
rodzaju
T j( p ) (v), T j( r ) ( w) .
w formule (1). W trakcie
Szeregi aproksymujące dla obu
funkcji są przedstawione w podobny sposób
numerycznej realizacji PURC funkcje brzegowe na
każdym z modelujących brzeg płatów powierzchni są
N
M
u j (v, w) = ∑∑ u (j pr )T j( p ) (v)T j( r ) ( w) ,
(2)
p =0 r =0
N
M
p j (v, w) = ∑∑ p (j pr )T j( p ) (v)T j( r ) ( w) ,
(3)
p =0 r =0
gdzie
u(j pr) , p(j pr) - są zadanymi lub poszukiwanymi współczynnikami,
N,M - są liczbami wyrazów szeregu zdefiniowanego w dziedzinie płata (obszarze).
Po podstawieniu tych szeregów (2,3) do formuły
PURC (1) dla równania Naviera-Lamégo otrzymamy
następujące wyrażenie
vj
wj
vj

∗
( pr )
( pr )
0.5ul (ν 1 , w1 ) = ∑∑∑  p j ∫ ∫ U lj (ν 1 , w1 ,ν , w) − u j ∫
j =1 p = 0 r = 0 
v j −1 w j −1
v j −1

T j( p ) (v)T j( r ) ( w) J j (v, w)dvdw.
n
N
M
przypadku nie wartości rozwiązań w węzłach jak w
MEB, lecz wyłącznie wartości współczynników
Do numerycznego rozwiązywania (4) zastosowano
metodę pseudospektralną [2]. Zapisując formułę (4) w
punktach kolokacji, otrzymuje się układ równań
liniowych względem niewiadomych współczynników
u (j pr ) , p (j pr )

∗
P
(
ν
,
w
,
ν
,
w
)

∫ lj 1 1

w j −1
wj
u (j pr ) , p (j pr )
interpretacji.
z (2,3). Poszukiwane są w tym
129
w szeregach, które nie mają fizycznej
(4)
ANALIZA WPŁYWU ROZMIESZCZENIA I LICZBY PUNKTÓW KOLOKACJI NA …
Punkty kolokacji w PURC, jak przestawiono to na
rys. 1, nie są deklarowane bezpośrednio na brzegu, ale
w lokalnej prostokątnej dziedzinie v, w oddzielnie dla
Trzy rozpatrywane warianty rozmieszczenia
punktów kolokacji wygenerowane odpowiednio dla
n = 9 oraz n = 16 punktów kolokacji w dziedzinie
v, w , dla prostokątnych płatów powierzchni Coonsa
każdego z płatów modelujących brzeg. Jak
zaprezentowano na rys. 1, dla każdego ze składowych
płatów powierzchni, obok rozmieszczenia punktów
kolokacji, następuje także aproksymacja funkcji
brzegowych za pomocą funkcji bazowych będących
wielomianami Czebyszewa.
modelujących brzeg, przedstawiono na rys. 2.
Zaletą PURC jest to, że omawiane sterowanie
liczbą oraz rozmieszczeniem punktów kolokacji
odbywa
się
bez
jakiejkolwiek
ingerencji
w zamodelowany
parametrycznymi
płatami
powierzchni kształt brzegu rozpatrywanego obszaru.
Odrębnym problemem było także opracowanie
efektywnego i dokładnego sposobu obliczania
pojawiających się w matematycznej formule PURC
całek powierzchniowych. Całki te dla zagadnień 3D
zostały zdefiniowane w dziedzinach odpowiadających
parametrycznym płatom powierzchni modelującym
brzeg. Występują tam całki regularne i osobliwe,
najbardziej uniwersalnym sposobem ich obliczania są
kwadratury numeryczne. Problematykę dotyczącą
wpływu
liczby
współczynników
wagowych
w kwadraturze
numerycznego
całkowania
na
dokładność rozwiązań uzyskiwanych za pomocą
PURC przedstawiono już wcześniej w [10].
Analizę dokładności rozwiązań w zależności od
wariantu rozmieszczenia punktów kolokacji i ich
liczby n przeprowadzono dla dwóch przedstawionych
na rys. 3a,b obszarów wielościennych z brzegiem
zamodelowanym odpowiednio 14 oraz 13 płatami
Coonsa zdefiniowanymi w obszarach prostokątnych.
a)
3. ANALIZA STABILNOŚCI
ROZWIĄZAŃ
NUMERYCZNYCH
Przedstawiony w poprzednim punkcie algorytm
numerycznego rozwiązywania PURC poddano analizie
dotyczącej dokładności uzyskiwanych rozwiązań.
Z uwagi na fakt, że funkcje brzegowe zostały
przybliżane w postaci szeregów (2) i (3), niewątpliwie
czynnikiem wpływającym na dokładność rozwiązań w
PURC będzie liczba niewiadomych współczynników w
szeregach, zapisywana jako
n = ( N + 1)(M + 1) .
Liczba ta jest zgodna z liczbą punktów kolokacji.
Zapisanie PURC w każdym z punktów kolokacji
ostatecznie sprowadza PURC do układu równań
algebraicznych. W wyniku rozwiązania tego układu
otrzymywane są niewiadome współczynniki w jednym
z szeregów aproksymujących.
W pracy analizowano wpływ liczby punktów
kolokacji n oraz różne warianty ich rozmieszczenia
w dziedzinie
płata
powierzchni.
Rozpatrywano
rozmieszczenie
równomierne,
rozmieszczenie
ze
skrajnymi punktami umiejscowionymi bliżej krańców
obszaru (dziedziny płata) oraz w trzecim wariancie
w miejscach
odpowiadających
pierwiastkom
wielomianów Czebyszewa.
a)
b)
c)
b)
wariant 1
wariant 2
wariant 3
Rys. 3. Rozpatrywane obszary zamodelowane odpowiednio:
a) 14 oraz b) 13 płatami Coonsa
Rys. 2. Warianty rozmieszczenia odpowiednio 9 oraz 16
punktów kolokacji: a) równomierne, b) z punktami skrajnymi
bliżej krawędzi, c) w miejscach pierwiastków wielomianów
Czebyszewa
Zamodelowane w ten sposób obszary traktowano
jako
obszary
w
zagadnieniach
brzegowych
matematycznie modelowanych równaniami Naviera130
Eugeniusz Zieniuk, Krzysztof Szerszeń
liczba n punktów kolokacji oraz wariant ich
rozmieszczenia (rys.2). Dla rozpatrywanych obszarów
i rozwiązań przeprowadzono testy numeryczne,
których wyniki zestawiono w tabelach.
W tabelach 1 i 2 zestawiono błędy rozwiązań
w PURC dla n ={1, 4, 9, 16, 25} punktów kolokacji
dla każdego z modelujących brzeg płatów Coonsa
rozmieszczonych w ich dziedzinach oraz wszystkich
trzech wariantów ich rozmieszczenia.
Liczba przyjętych punktów kolokacji przekłada się
bezpośrednio na liczbę rozwiązywanych równań
algebraicznych zestawionych w kolumnie drugiej tych
tabel. Porównywano miary błędów na podstawie
Lamégo. Warunki brzegowe zostały zadane na
podstawie
znanych
rozwiązań
analitycznych
3
w przestrzeni
R dla równań Naviera-Lamégo.
Rozpatrywano w obu przypadkach przemieszczeniowe
warunki brzegowe, wyznaczone dla dwóch znanych
analitycznych rozwiązań tych równań (przemieszczeń)
[3,4]
u1 = 0.5(2 x1 + x 2 + x3 ) ,
u 2 = 0.5( x1 + 2 x2 + x3 ) ,
u3 = 0.5( x1 + x2 + 2 x3 ) ,
(5)
L2
normy
oraz
3
2
u1 = x − 3x 2 x
2
3
wariantów ich rozmieszczenia oraz różnej liczby
punktów kolokacji.
Obliczenia zrealizowano przy przyjęciu 1024
współczynników wagowych w kwadraturach GaussaLegendre'a dla całek osobliwych oraz regularnych na
każdym ze składowych płatów powierzchni brzegu.
,
u 2 = x33 − 3 x3 x12 ,
u 3 = x13 − 3x1 x 22 .
(6)
Składowe
rozwiązań
Liczba
równań
Po uwzględnieniu współrzędnych odpowiadających
krawędziom rozpatrywanych obszarów (rys. 3) do (5)
i (6) otrzymywane są warunki brzegowe na
krawędziach brzegu. Na podstawie (5) i (6) można też
w podobny sposób wyznaczyć warunki brzegowe
Neumanna (siły powierzchniowe). Mając tak
otrzymane warunki na brzegu rozpatrywanych
obszarów, za pomocą PURC można otrzymać
rozwiązania w obszarze. Rozwiązania w obszarze
można
porównać
ze
znanymi
rozwiązaniami
analitycznymi reprezentowanymi przez gradienty
wyznaczone odpowiednio dla funkcji (5) oraz (6).
O dokładności rozwiązań numerycznych decyduje
n
otrzymane dla rozpatrywanych trzech
Tab. 1. Miara błędu rozwiązań w PURC na podstawie
normy
L2
w zależności od liczby oraz rozmieszczenia
punktów kolokacji dla kształtu obszaru z Rys. 3a
Sposoby rozmieszczenia punktów kolokacji
Funkcja (5)
Funkcja (6)
Wariant 1
Wariant 2
Wariant 3
Wariant 1
Wariant 2
Wariant 3
1
39
u1
u2
u3
8.54557
26.2805
10.3291
7.12478e-9
6.46038e-9
8.34486e-9
7.0756e-9
6.48367e-9
8.29261e-9
8.54557
26.2805
10.3291
8.54557
26.2805
10.3291
8.54511
26.2803
10.329
4
156
u1
u2
u3
0.920398
2.51222
0.582034
0.016802
0.029615
0.021319
0.000271
0.000148
0.000358
0.509294
1.79028
0.444248
0.920398
2.51222
0.582034
0.711464
2.01985
0.512744
9
351
u1
u2
u3
0.007165
0.011527
0.006896
0.026862
0.030705
0.018603
0.56519
0.659864
0.406903
1.13986e-8
1.7824e-8
1.08254e-8
0.007165
0.011527
0.006896
0.147252
0.281627
0.140911
16 624
u1
u2
u3
0.014396
0.024381
0.005180
0.032765
0.030227
0.026753
8.58113
5.7706
6.38169
2.13841e-6
4.18549e-6
1.33926e-6
0.014396
0.024381
0.005180
5.08447
9.50427
2.22449
25 975
u1
u2
u3
0.008961
0.013539
0.009435
0.030640
0.020788
0.029000
11.2978
8.26719
11.8871
4.68474e-5
7.47524e-5
5.29427e-5
0.008961
0.013539
0.009435
10.0918
10.9981
5.34462
131
ANALIZA WPŁYWU ROZMIESZCZENIA I LICZBY PUNKTÓW KOLOKACJI NA …
Tab. 2. Miara błędu rozwiązań w PURC na podstawie
normy
L2
w zależności od liczby oraz
Składowe
rozwiązań
n
Liczba
równań
rozmieszczenia punktów kolokacji dla geometrii kształtu
obszaru z rys. 3b
Sposoby rozmieszczenia punktów kolokacji
Funkcja (5)
Funkcja (6)
Wariant 1
Wariant 2
Wariant 3
Wariant 1
Wariant 2
Wariant 3
1
42
u1
u2
u3
7.9176e-7
6.0337e-6
6.7873e-6
7.91766e-7
6.0337e-6
6.78735e-6
7.9176e-7
6.0337e-6
6.78735e-6
13.001
23.6507
15.1102
13.001
23.6507
15.1102
13.0008
23.6502
15.1097
4
168
u1
u2
u3
0.00057
0.00062
0.00044
0.05449
0.02781
0.07902
0.00057
0.00062
0.00044
2.44067
4.40461
1.47807
2.64924
5.84888
1.96842
2.33111
4.89472
1.64277
9
378
u1
u2
u3
0.00471
0.01653
0.01926
0.06317
0.52404
0.46995
0.004716
0.016538
0.019268
0.00058
0.00115
0.00127
0.00551
0.08422
0.04505
0.08045
0.44918
0.15474
16 672
u1
u2
u3
0.02343
0.06354
0.07271
0.37478
0.22361
0.43235
0.02343
0.06354
0.07271
0.00186
0.01759
0.00557
0.02723
0.05363
0.07472
2.32854
1.62511
1.47027
25 1050
u1
u2
u3
0.06963
0.13818
0.12353
0.17695
0.67925
0.49266
0.06963
0.13818
0.12353
0.01194
0.01996
0.02017
0.01951
0.09623
0.04763
5.33495
6.68033
4.83543
4. WNIOSKI
zamieszczonych w tabelach trudno jest wyciągnąć
jednoznaczne wnioski. Zauważalny jest wzrost błędów
dla większej liczby punktów kolokacji w trzecim
wariancie
ich
rozmieszczenia.
Dlatego
też
w celubardziej jednoznacznego wyciągnięcia wniosków
należałoby przeprowadzić więcej testów na innych
przykładach.
Niemniej jednak w celu upewnienia się
o wiarygodności uzyskanych wyników dotyczących
zagadnień niemających rozwiązań analitycznych
sensowne jest ponowne rozwiązanie zagadnienia dla
innego wariantu rozmieszczenia punktów kolokacji.
W przypadku
braku
stabilności
numerycznej
rozwiązań można też sterować liczbą punktów
kolokacji, ale ma to bezpośredni wpływ na liczbę
rozwiązywanych równań algebraicznych. Istotny jest
fakt, że sterowanie liczbą oraz rozmieszczeniem
punktów kolokacji odbywa się bez jakiejkolwiek
ingerencji w zamodelowany parametrycznymi płatami
powierzchni brzeg rozpatrywanego obszaru.
Dokładność uzyskiwanych rozwiązywanych za
pomocą metody PURC zależy od dokładności
zamodelowania obszaru oraz od zastosowanego
algorytmu do jego numerycznego rozwiązywania.
Rozpatrywano obszary takie, które można było
potraktować, że zostały one zamodelowane w sposób
bardzo dokładny. Przy takim założeniu na błąd
otrzymanych rozwiązań ma wpływ tylko zastosowany
algorytm do numerycznego rozwiązywania PURC.
Testowano metodę kolokacji, ponieważ jest to metoda
dość efektywna w rozwiązywaniu klasycznych równań
całkowych. Niemniej jednak było wiadomo [6], że
o stabilności
rozwiązań
decyduje
sposób
rozmieszczenia punktów kolokacji oraz ich liczba.
Dlatego też w pracy przebadano trzy warianty ich
rozmieszczenia dotyczące różnej ich liczby na
poszczególnych dziedzinach płatów.
Ogólnie można stwierdzić, że we wszystkich
przypadkach, poza niektórymi wyjątkami, uzyskano
bardzo małe błędy wyliczane na podstawie normy L2 .
Na
podstawie
przeprowadzonych
Praca finansowana ze środków na naukę
w latach 2010-2013 jako projekt badawczy.
badań
132
Eugeniusz Zieniuk, Krzysztof Szerszeń
Literatura
1.
Becker A.A.: The boundary element method in engineering: a complete course. Cambridge: McGraw-Hill Book
Comp., 1992.
2. Gottlieb D., Orszag S.A.: Numerical analysis of spectral methods: theory and pplications. SIAM, Philadelphia
1977.
3. Mukherjee Y.X., Mukherjee S., Shi X., Nagarajan A.: The boundary contour method for three-dimensional linear
elasticity with a new quadratic boundary element. “Engineering Analysis with Boundary Elements” 1997, 20, p.
35–44.
4. Zhang J., Yao Z.: The regular hybrid boundary node method for three-dimensional linear elasticity. “Engineering
Analysis with Boundary Elements” 2004, 28, p. 525–534.
5. Zieniuk E.: A new integral identity for potential polygonal domain problems described by parametric linear
functions. “Engineering Analysis with Boundary Elements” 2002, Vol. 26/10, p. 897-904.
6. Zieniuk E., Szerszeń K., Bołtuć A.: Numeryczne rozwiązywanie metodą kolokacji Czebyszewa parametrycznego
układu równań całkowych (PURC) zastosowanego dla równania Laplace’a z warunkami brzegowymi Dirichleta
na wielokątnych obszarach. „Archiwum Informatyki Teoretycznej i Stosowanej” 2004, t. 16, z. 1, s. 17 – 31.
7. Zieniuk E., Szerszeń K., Bołtuć A.: PURC w rozwiązywaniu trójwymiarowych zagadnień brzegowych
modelowanych równaniami Naviera-Lamégo w obszarach wielokątnych. „Modelowanie Inżynierskie” 2011, nr 42,
s. 487- 494.
8. Zieniuk E., Szerszeń K.: Liniowe płaty powierzchniowe Coonsa w modelowaniu wielokątnych obszarów w
trójwymiarowych zagadnieniach brzegowych definiowanych równaniem Laplace’a. „Archiwum Informatyki
Teoretycznej i Stosowanej” 2005, 17(2), s. 127-142.
9. Zieniuk E., Szerszeń K.: Triangular Bézier patches in modelling smooth boundary surface in exterior Helmholtz
problems solved by PIES. “Archives of Acoustics” 2009, 34, p. 1-11.
10. Zieniuk E., Szerszeń K.: Numeryczne obliczanie całek powierzchniowych dla zagadnień przestrzennych w PURC.
„Modelowanie Inżynierskie” 2010, nr 39, s. 217-224.
Proszę cytować ten artykuł jako:
Zieniuk E., Szerszeń K.: Analiza wpływu rozmieszczenia
metody PURC dla zagadnień teorii sprężystości
Inżynierskie” 2013, nr 46, t. 15, s. 127 – 133.
133
i liczby punktów kolokacji na dokładność
w obszarach wielościennych 3D. „Modelowanie