Visio-EC2 Zasady.vsd

Nośność przekroju pala żelbetowego 400x400mm
wg PN-EN 1992 (EC2)
Beton C40/50, stal zbrojeniowa fyk=500MPa, 12#12mm
Czyste ściskanie bez wyboczenia
(4476kN, 0kNm)
5000
Model zniszczenia:
zmiażdżenie betonu
Ściskanie mimośrodowe
x=d1 (3007kN, 208kNm)
Ściskanie mimośrodowe
x>>h (3699kN, 124kNm)
Ściskanie mimośrodowe
x=h (3464kN, 159kNm)
Ściskanie mimośrodowe
x=xbal (1673kN, 278kNm)
2000
1673
Ściskanie mimośrodowe
x=2.63d2 (1046kN, 241kNm)
1000
Ściskanie mimośrodowe
x=d2 (101kN, 115kNm)
0
100
150
200
250
300
Moment zginający M [kNm]
Czyste zginanie (0kN, 98kNm)
Czyste rozciąganie (nośność zbrojenia)
(-590kN, 0kNm)
Przekrój symetrycznie zbrojony
d1=349mm
b=400mm
As2=679mm2
Beton C40/50
As1=679mm2
d2=51mm
-1000
50
Model zniszczenia:
uplastycznienie stali zbrojeniowej
3000
h=400mm
Siła osiowa N [kN]
4000
Parametry przekroju
Przekrój żelbetowy prostokątny wg PN-EN 1992-2 (EC2)
(Opracowanie: dr inż. Dariusz Sobala, v. 20110402)
Ogólne parametry modelu/przekroju:
Wytrzymałośç charaklterystyczna betonu na ściskanie
f
ck
:= 40 ⋅ MPa
Moduł sprężystości betonu wyznaczony zgodnie z EC2 na podstawie fck:
⎡
⎛ f
⎞⎤
⎢
⎜ ck
⎟⎥
E
:= 22 ⋅ ⎢0.1 ⋅ ⎜
+ 8⎟⎥
cm
⎣
⎝ MPa
⎠⎦
0.3
⋅ GPa = 35.22 ⋅ GPa
Współczynnik materiałowy dla betonu:
γ := 1.4
c
Współczynnik uwzgledniajacy różnicę wytrzymałości betonu
α := 0.85
cc
Współczynnik kształtu rozkładu naprężeń w strefie ściskanej
η := 1.0
Współczynnik wysokości bloku zastępczego strefy ściskanej
λ := 0.8
Maksymalne odkształcenie betonu na krawędzi sciskanej przy
ε
cu3
Maksymalne odkształcenie betonu przy ściskaniu:
ε
c3
Wysokośç przekroju:
h := 400 ⋅ mm
Szerokośç przekroku żelbetowego:
b := 400 ⋅ mm
Wytrzymałośç charakterystyczna stali zbrojeniowej:
f
Współczynnik materiałowy dla stali zbrojeniowej:
γ := 1.15
s
Moduł odkształcenia stali zbrojeniowej:
E := 200 ⋅ GPa
s
uzyskaną na próbkach i w konstrukcji:
betonu:
betonu:
zginaniu:
yk
:= 0.0020
:= 500 ⋅ MPa
f
Minimalne wymagane odkształcenie stali
zbrojeniowej odpowiadające odkształceniu
uplastycznjającemu:
:= 0.0035
ε
slim
:=
yk
E ⋅γ
s s
= 0.00217
Zbrojenie:
Dolne (1):
Górne (2):
Liczba prętów zbrojenia głównego:
n
n
Średnica prętów zbrojenia głównego:
ϕ := 12 ⋅ mm
s1
ϕ := 12 ⋅ mm
s2
Średnica strzemion:
ϕ
:= 5 ⋅ mm
ss1
ϕ
:= 5 ⋅ mm
ss2
Otulina zbrojenia:
o := 40 ⋅ mm
s1
o := 40 ⋅ mm
s2
s1
:= 6
Powierzchnia zbrojenia dolnego:
A := n ⋅ π ⋅
s1
s1
Wysokośç czynna przekroju:
d
ϕ
s1
Odległośç osi zbrojenia górnego od
d
krawędzi ściskanej przekroju:
Odkształcenie stali zbrojeniowej:
ε
:= 6
2
= 679 ⋅ mm
4
2
1
:= h − o − ϕ
−
⋅ ϕ = 349 ⋅ mm
1
s1
ss1 2 s1
ϕ
s2
A := n ⋅ π ⋅
s2
s2
Powierzchnia zbrojenia górnego:
s2
2
= 679 ⋅ mm
4
2
1
:= o + ϕ
+
⋅ ϕ = 51 ⋅ mm
2
s2
ss2 2 s2
s1
( x) := ε
x−d
cu3
⋅
1
ε
x
s2
( x) := ε
x−d
cu3
⋅
x
zbrojeniowej:
⎛⎜ ε ( x)
ε ( x)
ε ( x) ⎟⎞
s1
s1
s1
ρ ( x) := if ⎜
>1,
,
⎟
1
ε
ε ( x)
⎜ εslim
slim ⎟⎠
s1
⎝
- górnej
⎛⎜ ε ( x)
ε ( x)
ε ( x) ⎟⎞
s2
s2
s2
ρ ( x) := if ⎜
>1,
,
⎟
2
ε
ε ( x)
⎜ εslim
slim ⎟⎠
s2
⎝
Poziom wykorzystania nośności stali
- dolnej:
Maksymalna siła przenoszona
przez zbrojenie:
F
( x) := ρ ( x) ⋅ A ⋅
s1
1
s1
ε
Maksmalna wartośç x:
Siła przenoszona przez beton:
x
max
:=
F ( x) :=
c
ε
yk
γ
+ε
slim
α ⋅η ⋅f
cc
ck
c
F
s
cu3
cu3
γ
f
⋅d
1
⋅b ⋅λ ⋅
( x) := ρ ( x) ⋅
s2
2
= 215 ⋅ mm
h
if
x>h
x
otherwise
f
2
yk
γ
s
⋅A
s2
Parametry przekroju
Przekrój pojedynczo zbrojony
Przekrój żelbetowy prostokątny pojedynczo zbrojony
Schemat przekroju zginanego pojedynczo zbrojonego z oznaczeniami
Sformyłowanie warunków brzegowych i rozwiązanie równania równowagi sił
w przekroju:
x := 188 ⋅ mm
Wartosç początkowa wysokości strefy ściskanej betonu:
Given
Warunek równowagi sił poziomych :
Warunki dla położenia osi obojętnej:
F
x > 0 ⋅ mm
s1
( x) + F ( x) = 0
c
( x) ≤ −ε
x≤x
Warunek uplastycznienia zbrojenia:
ε
Położenie osi obojętnej przekroju:
x := Find ( x)
s1
max
slim
x = 38 ⋅ mm
UWAGA! Brak rozwiązania świadczy o zbyt dużej powierzchni zbrojenia (znaczna siła w
zbrojeniu, która nie może byç zrównoważona odpowiednią nosnością betonu) lub o zbyt
małej wysokości konstrukcyjnej elementu. Element może wymagaç podwójnego zbrojenia.
Siła przenoszona przez beton:
F ( x) = 295 ⋅ kN
c
Siła przenoszona przez zbrojenie:
F
Odkształecenie stali zbrojeniowej:
ε
Ramię działania sił poziomych w przekroju:
z
s1
s1
1
( x) = −295 ⋅ kN
( x) = −0.029
:= d
1
−
λ ⋅x
Nośnośç przekroju zginanego pojedynczo zbrojonego:
M
:= F ( x) ⋅ z
max
c
1
M
= 98 ⋅ kN ⋅ m
max
2
ε
s1
= 334 ⋅ mm
( x) ≤ −ε
slim
=1
Przekrój pojedynczo zbrojony
Przekrój podwójnie zbrojony
Mimośrodowo ściskany
Przekrój żelbetowy mimośrodowo ściskany
zgodnie z PN-EN 1992-2 (EC2)
Dla x<h w przekroju występują włókna rozciągane . Odkształcenie graniczne betonu
występujące na krawędzi ściskanej odpowiada wartości εcu3, czyli wartości 0.0035.
Dla x>h w przekroju nie występuje rozciąganie . Odkształcenie graniczne betonu występujące
w punkcie C odpowiada wartości εc3, czyli wartości 0.0020.
Położenie punktu charakterystycznego przekroju:
Odkształcenia w tym punkcie nie mogą przekroczyç
wartości εc3 (czyli 0.002).
ε
s2
( x) :=
x−d
0.0035 ⋅
2
x
7 ⋅ ⎛x − d
0.002 ⋅
⎝
if
x≤h
ε
s1
⎛⎜
⎞
ε
c3 ⎟
x := ⎜ 1 −
⎟ ⋅ h = 171 ⋅ mm
c
ε
⎜
cu3 ⎟⎠
⎝
( x) :=
d
−0.0035 ⋅
⎞
2⎠
( 7 ⋅ x − 3 ⋅ h)
if
x>h
1
−x
7 ⋅ ⎛x − d
0.002 ⋅
if
x
⎝
x≤h
⎞
1⎠
( 7 ⋅ x − 3 ⋅ h)
if
x>h
Rozpatrywane modele zniszczenia:
Model 1. W modelu zakłada się , że εs1>εslim. Model związny jest z dużym mimośrodem
działania siły, małymi wysokościami strefy ściskanej oraz zniszczeniem przez
uplastycznienie stali , a następnie skruszeniem betonu. Nośnośç w tym zakresie zmienia się
od nośności przekroju przy czystym zginaniu do nosności przekroju wyznaczonej dla
Modelu 2.
Model 2. W modelu zakłada się , że w stali zbrojeniowej górnej (zlokalizowanej bliżej strefy
ściskanej) odkształcenia są równe "zero".
x := d
Położenie osi obojętnej przekroju:
= 0m
2
W tym przypadku:
Siła ściskająca w betonie:
F ( x) = 396 ⋅ kN
c
Odkształcenie stali przy krawędzi bardziej ściskanej:
ε
Siła stali przy krawędzi bardziej ściskanej:
F
Odkształcenie stali przy krawędzi mniej ściskanej
ε
lub rozciąganej:
s2
s2
s1
( x) = 0
ρ ( x) = 0 ⋅ %
2
( x) = 0 ⋅ kN
( x) = −0.020451
ρ ( x) = −100 ⋅ %
1
Siła stali przy krawędzi mniej ściskanej:
F
( x) := ρ ( x) ⋅ A ⋅
s1
1
s1
F
( x) = −295 ⋅ kN
s1
f
yk
γ
s
Maksymalna siła osiowa jaką można przyłożyç do przekroju:
N
max
:= F ( x) + F ( x) + F ( x) = 101 ⋅ kN
c
s2
s1
Maksymalny moment zginający jaki można przyłożyç do przekroju:
⎞
⎞
⎛⎜ h λ ⋅ x ⎞⎟
⎛⎜ h
⎛⎜ h
⎟
⎟
M
:= F ( x) ⋅
−
+ F ( x) ⋅
−d
+ F ( x) ⋅
−d
max
c
s2
2
s1
1
⎜2
⎟
⎜
⎟
⎜
⎟ = 115 ⋅ kN ⋅ m
2 ⎠
⎝
⎝2
⎠
⎝2
⎠
Model 3. Zniszczenie przy ściskaniu. Pierwszy z punktów charakterystycznych to punkt
przegięcia krzywej interakcyjnej.
ε
Położenie osi obojętnej przekroju:
W tym przypadku:
x :=
ε
cu3
cu3
⋅d
−ε
2
slim
= 135 ⋅ mm
Siła ściskająca w betonie:
F ( x) = 1046 ⋅ kN
c
Odkształcenie stali przy krawędzi bardziej
ε
Siła stali przy krawędzi bardziej ściskanej:
F
ściskanej:
s2
s2
( x) = 0.002174
( x) = 295 ⋅ kN
ρ ( x) = 100 ⋅ %
2
Odkształcenie stali przy krawędzi mniej
ε
ściskanej lub rozciąganej:
s1
F
Siła w stali przy krawędzi mniej ściskanej:
F
( x) = −0.005575
( x) := ρ ( x) ⋅ A ⋅
s1
1
s1
s1
ρ ( x) = −100 ⋅ %
1
f
yk
γ
( x) = −295 ⋅ kN
s
Maksymalna siła osiowa jaką można przyłożyç do przekroju:
N
max
:= F ( x) + F ( x) + F ( x) = 1046 ⋅ kN
c
s2
s1
Maksymalny moment zginający jaki można przyłożyç do przekroju:
⎞
⎞
⎛⎜ h λ ⋅ x ⎞⎟
⎛⎜ h
⎛⎜ h
⎟
⎟
M
:= F ( x) ⋅
max
c
⎜ 2 − 2 ⎟ + Fs2 ( x) ⋅ ⎜ 2 − d2⎟ + Fs1 ( x) ⋅ ⎜ 2 − d1⎟ = 241 ⋅ kN ⋅ m
⎝
⎠
⎝
⎠
⎝
⎠
Model 4. W modelu zakłada się , że w stali rozciaganej występują odkształcenia równe
uplastyczniającym przy jednoczesnym osiągnięciu granicznych odkształceń na krawędzi
ściskanej.
Położenie osi obojętnej przekroju:
x := x
W tym przypadku:
= 215 ⋅ mm
max
Siła ściskająca w betonie:
Odkształcenie stali przy krawędzi bardziej ściskanej:
F ( x) = 1673 ⋅ kN
c
ε
s2
( x) = 0.002671
ρ ( x) = 100 ⋅ %
2
Siła stali przy krawędzi bardziej ściskanej:
Odkształcenie stali przy krawędzi mniej ściskanej
lub rozciąganej:
F
ε
s2
s1
( x) = 295 ⋅ kN
( x) = −0.002174
ρ ( x) = −100 ⋅ %
1
Siła stali przy krawędzi mniej ściskanej:
F
F
( x) := ρ ( x) ⋅ A ⋅
s1
1
s1
s1
f
( x) = −295 ⋅ kN
Maksymalna siła osiowa jaką można przyłożyç do przekroju:
N
max
:= F ( x) + F ( x) + F ( x) = 1673 ⋅ kN
c
s2
s1
Maksymalny moment zginający jaki można przyłożyç do przekroju:
⎛⎜ h λ ⋅ x ⎞⎟
⎛⎜ h
⎞⎟
⎛⎜ h
⎞⎟
M
:= F ( x) ⋅
max
c
⎜ 2 − 2 ⎟ + Fs2 ( x) ⋅ ⎜ 2 − d2⎟ + Fs1 ( x) ⋅ ⎜ 2 − d1⎟ = 278 ⋅ kN ⋅ m
⎝
⎠
⎝
⎠
⎝
⎠
yk
γ
s
Model 5. Zniszczenie przy ściskaniu. Odkształcenia w zbrojeniu dolnym są "zerowe".
Położenie osi bezwładności przekroju:
x := d
1
W tym przypadku:
Siła ściskająca w betonie:
F ( x) = 2712 ⋅ kN
c
Odkształcenie stali przy krawędzi bardziej ściskanej:
Siła stali przy krawędzi bardziej ściskanej:
Odkształcenie stali przy krawędzi mniej ściskanej
ε
F
ε
lub rozciąganej:
Siła w stali przy krawędzi mniej ściskanej:
s2
s2
s1
F
F
( x) = 0.002989
( x) = 295 ⋅ kN
( x) = 0
( x) := ρ ( x) ⋅ A ⋅
s1
1
s1
s1
ρ ( x) = 100 ⋅ %
2
ρ ( x) = 0 ⋅ %
1
f
yk
γ
( x) = 0 ⋅ kN
s
Maksymalna siła osiowa jaką można przyłożyç do przekroju:
N
max
:= F ( x) + F ( x) + F ( x) = 3007 ⋅ kN
c
s2
s1
Maksymalny moment zginający jaki można przyłożyç do przekroju:
⎛⎜ h λ ⋅ x ⎞⎟
⎛⎜ h
⎞⎟
⎛⎜ h
⎞⎟
M
:= F ( x) ⋅
−
+ F ( x) ⋅
−d
+ F ( x) ⋅
−d
= 208 ⋅ kN ⋅ m
⎜2
⎜2
⎜2
max
c
s2
2⎟
s1
1⎟
2 ⎟⎠
⎝
⎝
⎠
⎝
⎠
Model 6. Zniszczenie przy ściskaniu. Oś obojętna na krawędzi dolnej przekroju:
Położenie osi bezwładności przekroju:
x := h
W tym przypadku:
Siła ściskająca w betonie:
Odkształcenie stali przy krawędzi bardziej ściskanej:
Siła stali przy krawędzi bardziej ściskanej:
Odkształcenie stali przy krawędzi mniej ściskanej
lub rozciąganej:
Siła w stali przy krawędzi mniej ściskanej:
F ( x) = 3109 ⋅ kN
c
ε
s2
F
ε
s2
s1
F
F
( x) = 0.003054
( x) = 295 ⋅ kN
( x) = 0.000446
( x) := ρ ( x) ⋅ A ⋅
s1
1
s1
s1
ρ ( x) = 100 ⋅ %
2
( x) = 61 ⋅ kN
ρ ( x) = 20.527 ⋅ %
1
f
yk
γ
s
Maksymalna siła osiowa jaką można przyłożyç do przekroju:
N
max
:= F ( x) + F ( x) + F ( x) = 3464 ⋅ kN
c
s2
s1
Maksymalny moment zginający jaki można przyłożyç do przekroju:
⎛⎜ h λ ⋅ x ⎞⎟
⎛⎜ h
⎞⎟
⎛⎜ h
⎞⎟
M
:= F ( x) ⋅
−
+ F ( x) ⋅
−d
+ F ( x) ⋅
−d
= 159 ⋅ kN ⋅ m
max
c
s2
2⎟
s1
1⎟
⎜2
⎜2
⎜2
2 ⎟⎠
⎝
⎝
⎠
⎝
⎠
Model 7. Zniszczenie przy bardzo dużym mimośrodziedziałania siły.
x := 100 ⋅ h = 40 m
Położenie osi obojętnej przekroju:
W tym przypadku:
Siła ściskająca w betonie:
F ( x) = 3109 ⋅ kN
c
Odkształcenie stali przy krawędzi bardziej ściskanej:
ε
Siła stali przy krawędzi bardziej ściskanej:
F
Odkształcenie stali przy krawędzi mniej ściskanej
ε
lub rozciąganej:
Siła w stali przy krawędzi mniej ściskanej:
s2
s2
s1
F
F
( x) = 0.002006
( x) = 295 ⋅ kN
( x) = 0.001991
( x) := ρ ( x) ⋅ A ⋅
s1
1
s1
s1
ρ ( x) = 100 ⋅ %
2
( x) = 295 ⋅ kN
ρ ( x) = 100 ⋅ %
1
f
yk
γ
s
Maksymalna siła osiowa jaką można przyłożyç do przekroju:
N
max
:= F ( x) + F ( x) + F ( x) = 3699 ⋅ kN
c
s2
s1
Maksymalny moment zginający jaki można przyłożyç do przekroju:
⎛
⎞
λ ⋅ zginający
h if x jaki
> h można
Maksymalny moment
przyłożyç do przekroju:
⎜
⎜
⎜h
M
:= F ( x) ⋅ ⎜
−
max
c
⎝2
Mimośrodowo ściskany
x
otherwise
2
⎟
⎟
⎛⎜ h
⎞⎟
⎛⎜ h
⎞⎟
⎟
+
F
(
x
)
⋅
−
d
+
F
(
x
)
⋅
−
d
= 124 ⋅ kN ⋅ m
⎟
s2
2⎟
s1
1⎟
⎜2
⎜2
⎠
⎝
⎠
⎝
⎠
Osiowo ściskany
Przekrój żelbetowy ściskany zgodnie z PN-EN 1992-2 (EC2)
Współczynnik wysokości bloku zastępczego strefy ściskanej betonu:
λ := 1.0
Nośnośç przekroju przy czystym ściskaniu bez wyboczenia:
N
max
:=
α ⋅η ⋅f
cc
ck
γ
c
⋅λ ⋅b ⋅h +
f
yk
γ
s
⎛ A + A ⎞ = 4476 ⋅ kN
s2⎠
⎝ s1
Osiowo ściskany
Osiowo rozciągany
Przekrój żelbetowy rozciągany zgodnie z PN-EN 1992-2 (EC2)
Nośnośç elementu żelbetowego na rozciąganie wynika wprost z nośnośći zbrojenia.
N
Osiowo rozciągany
f
min
:=
yk
γ
s
⎛ A + A ⎞ = 590 ⋅ kN
s2⎠
⎝ s1