Wstęp do teorii funkcji quasi i prawie okresowych

Wstęp do teorii funkcji quasi i prawie okresowych
Rutowski Damian
Funkcje prawie okresowe i quasi okresowe
Za twórcę teorii funkcji prawie okresowych uważa się duńskiego
matematyka Haralda Bohra, brata laureata nagrody Nobla z
dziedziny fizyki NielsaB Bohra. Ciekawostką jest, że Harald był
również piłkarzem i wystąpił w reprezentacji Danii podczas igrzysk
olimpijskich w Londynie w 1908 roku.
Rutowski Damian
Funkcje prawie okresowe i quasi okresowe
Rozważać będziemy funkcje ciągłe o dziedzinie rzeczywistej oraz
wartościach rzeczywistych. Podstawowa definicja
Liczbę rzeczywistą τ nazywamy -prawie okresową funkcji
f (oczywiście > 0), jeżeli dla zadanej funkcji fτ := f (x + τ )
zachodzi następująca nierówność
sup |fτ (x) − f (x)| : x ∈ R ¬ . W ludzkim języku oznacza to, że dla każdego elementu prostej
rzeczywistej kres górny odległości wartości funkcji dla tego i
wartości w quasi okresie jest mniejszy od wyżej zadanej liczby
dodatniej.
Rutowski Damian
Funkcje prawie okresowe i quasi okresowe
Fakt. 1.
Każda ω-okresowa(dowolne ω) są -prawie okresowe dla dowolnego
.
Wystarczy zauważyć, że
sup |fω (x) − f (x)| : x ∈ R = 0 ¬ co implikuje powyższy fakt. Fakt. 2.
Funkcja f (x) = x jest -prawie okresowa oraz jest prawie okresem
jest Wystarczy zauważyć, że:
sup|f (x) − f (x) : x ∈ R = sup|f (x + ) − f (x)| = : x ∈ R = Rutowski Damian
Funkcje prawie okresowe i quasi okresowe
Zbiory wględnie gęste
Przypomnijmy definicję zbioru gęstego:
Zbiór E ⊂ R nazywamy zbiór, który ma z każdym niepustym
zbiorem otwartym co najmniej jeden punkt wspólny.
Przykłem takiego zbioru jest np. zbiór liczb wymiernych.
Definicja. 1 Zbiór względnie gęsty
Zbiór E ⊂ R nazywamy względnie gęstym, jeśli istnieje liczba
k > 0 taka, że w każdym przedziale otwartym (a, b), a, b ∈ R o
długości k, czyli |b − a| = k istnieje co najmniej jeden element
zbioru E . Przykłady:
E = {2n : n ∈ N},
+
ln n; n ∈ N},
E = {−
Natomiast zbiorami, które nie są względnie gęste są:
E = {n2 ; n ∈ N}
E = { n1 ; n ∈ N}
Rutowski Damian
Funkcje prawie okresowe i quasi okresowe
Funkcję ciągłą f nazywamy jednostajnie prawie okresową
(jednostajnie p.o.), jeżeli dla każdego istnieje wzgędnie gęsty
zbiór -prawie okresowym funkcji f
Rutowski Damian
Funkcje prawie okresowe i quasi okresowe
Podstawowe twierdzenia teorii funkcji prawie okresowych
Twierdzenie. 1.
Każda funkcja f jednostajnie prawie okresowa jest ograniczona
oraz jednostajnie ciągłą.
Twierdzenie. 2.
Jeżeli ciąg funkcji (fn ) jednostajnie prawie okresowych jest
jednostajnie zbieżny do f , to funkcja f jest jednostajnie prawie
okresowa.
Twerdzenie. 3. Suma oraz iloczyn funkcji jednostajnie prawie
okresowych są funkcjami prawie okresowymi.
Rutowski Damian
Funkcje prawie okresowe i quasi okresowe
Dowody później
Rutowski Damian
Funkcje prawie okresowe i quasi okresowe
Koniec
Rutowski Damian
Funkcje prawie okresowe i quasi okresowe