Elementy logiki, rachunku zdań i rachunku zbiorów, kwantyfikatory.

Elementy logiki, rachunku zdań i rachunku zbiorów, kwantyfikatory.
1. Co to jest zdanie?
Zdanie logiczne jest to wyrażenie , któremu można przyporządkować jedną z dwóch
wartości logicznych: prawdę lub fałsz.
symbol prawdy: 1
symbol fałszu: 0
np. w(p)=1, w(p)=0.
2. Co to jest forma zdaniowa?
X≠, xX
Wyrażenie (x) zawierające zmienną x, które staje się zdaniem po wstawieniu w
miejsce x dowolnego elementu z X nazywamy formą zdaniową (funkcją zdaniową)
zmiennej x o zakresie zmienności X.
3. Podać def. podstawowych funktorów zdaniotwórczych.


~ oznacza negację
~α „ nie α” i „nie prawda że α”
w(α)
w(~α)
w(~(~α))
1
0
1
0
1
0
v oznacza alternatywę (suma logiczna)
α v β „α lub β” α, β składniki

˄ oznacza koniunkcję ( iloczyn logiczny)
α ˄ β „α i β” α, β – składniki

=> oznacza implikację (okres warunkowy)
α => β „ jeśli α to β” w(1=>0)=0
α – poprzednik implikacji, β – następnik implikacji

<=> oznacza równoważność:
α <=> β „ α wtedy i tylko wtedy, gdy β”
w(α)
1
1
0
0
w(β)
0
1
1
0
w(α v β)
1
1
1
0
α, β – człony równoważności
w(α ˄ β)
0
1
0
0
w(α=>β)
0
1
1
1
w(α<=>β)
0
1
0
1
4. Podać podstawowe prawa rachunku zdań i form zdaniowych.
Def. Prawem rachunku zdań ( tautologią) nazywamy schemat zbudowany ze zdań α1,
…, αn , funktorów zdaniotwórczych i nawiasów, które przedstawia zdanie zawsze
prawdziwe bez względu na wartości logiczne w(α1),….,w(αn)
5. Prawa rachunku zdań.

prawo podwójnego przeczenia: ~(~α) <=> α

prawo przemienności alternatywy: (α v β) <=> (β v α)

prawo przemienności koniunkcji: (α ˄ β) <=> (β ˄ α)

prawo łączności alternatywy: [(α v β) v ϒ ] <=> [α v (β v ϒ)]

prawo łączności koniunkcji: [(α ˄ β) ˄ ϒ ] <=> [α ˄ (β ˄ ϒ)]

prawo rozdzielności alternatywy względem koniunkcji: [(α ˄ β) v ϒ ] <=> [(α ˄
ϒ) v ( β ˄ ϒ)]

prawo rozdzielności koniunkcji względem alternatywy: [(α v β) ˄ ϒ ] <=> [(α v
ϒ) ˄ ( β v ϒ)]

I prawo de Morgana ~ (α v β) <=> (~α v ~β)

II prawo de Morgana ~ ( α ˄ β) <=> (~ α v ~β)
6. Prawa form zdaniowych.
∀- kwantyfikator ogólny (dla każdego)
∃ - kwantyfikator egzystencjalny (istnieje)

I prawo de Morgana: ~ ∀xX (x) <=> ∃xX (~(x))

II prawo de Morgana: ~ ∃ xX (x) <=> ∀xX (~(x))

prawa rozdzielności:

kwantyfikatora ogólnego względem koniunkcji:
∀xX ((x) ˄ ψ(x)) <=> [∀xX (x) ˄ ∀xX ψ (x)]
 kwantyfikatora egzystencjalnego względem alternatywy:
∃ xX ((x) ˅ ψ(x)) <=> [∃ xX (x) ˅ ∃ xX ψ (x)]
 kwantyfikatora ogólnego względem alternatywy:
[∀xX (x) v ∀xX ψ (x)] => ∀xX ((x) v ψ(x))
 kwantyfikatora egzystencjalnego względem koniunkcji:
∃ xX ((x) ˄ ψ(x)) => [∃ xX (x) ˄ ∃ xX ψ (x)]

prawa włączania i wyłączania
Jeżeli ψ jest zdaniem lub funkcją zdaniową, która nie zawiera zmiennej x, to
następujące wyrażenia są prawami rachunku funkcyjnego.
 ∀xX ( (x) v ψ) <=>[ ∀xX (x) v ψ]
 ∃ xX ( (x) v ψ) <=>[ ∃ xX (x) v ψ]
 ∀xX ((x ˄ ψ) <=> [ ∀xX (x) ˄ ψ]
 ∃ xX ((x ˄ ψ) <=> [ ∃ xX (x) ˄ ψ]
 ∀xX ((x) => ψ) => [ ∃ xX (x) => ψ]
 ∃ xX ((x) => ψ) => [ ∀xX (x) => ψ]
 ∀xX (ψ =>(x)) <=> [ψ => ∀xX (x)]
 ∃ xX (ψ =>(x)) <=> [ψ => ∃ xX (x)]

prawa przestawiania kwantyfikatorów:
∀xX ∀yY <=> ∀yY ∀xX (x,y)
∃ xX ∃ yY <=> ∃ yY ∃ xX (x,y)
7. Jak określone są działania na zbiorach? Podać podstawowe prawa rachunku zbiorów.
X – przestrzeń, - zbiór pusty
„zawieranie”
A⊂B <=> dla dowolnego xX : (xA => xB)
A⊄B <=> istnieje x0X : (x0A => x0 ∉ B)
A=B <=> dla dowolnego xX : (xA <=> xB)
Podstawowe prawa na zbiorach:
 suma zbiorów: x(AuB) <=> (xA v xB), x∉(AuB) <=> (x∉A ˄ x∉B)

iloczyn zbiorów: x(AnB) <=> (xA ˄ xB), x∉(AnB) <=> (x∉A v x∉B)

różnica zbiorów: x(A\B) <=> (xA ˄ x∉B), x∉(A\B) <=> (x∉A v xB)

dopełnienie zbioru: x(X\A) <=> x∉A ,
Podstawowe prawa rachunków zbiorów:
A,B,C – dowolne niepuste zbiory
x∉(X\A) <=> xA
prawa rozdzielności
An(BuC) = (AnB)u(AnC) (iloczyn względem sumy)

Au(BnC) = (AuB)n(AuC) (sumy względem iloczynu)
prawa absorpcji

Au(AnB)=A , An(AuB)=A
Prawa de Morgana

I. (AuB)’=A’ n B’
II. (AnB)’=A’ u B’
8. Jak określone są działania uogólnione na zbiorach?
X≠ , 2X = P(X) – rodzina wszystkich podzbiorów przestrzeni X.
X={a,b} 2X = {, {a}, {b}, {a,b}}
X={a,b,c } 2X = {, {a}, {b},{c}, {a,b}, {a,c}, {b,c}, {a,b,c}}
Indeksowaną rodziną podzbiorów przestrzeni X nazywamy każdą funkcję : T -> 2 X, ∀
tT (t)=At , At 2x <=> At ⊂ X.
Sumą indeksowanej rodziny {At : tT} podzbiorów przestrzeni X nazywamy zbiór, który
zawiera wszystkie elementy należące do At , tT.
∪t A = {x∊X: ∃
x∊A }
x∊∪t A <=> ∃
x∊A
∊T
t
∊T
t∊T
t
t∊T
t
t
x∉∪t A <=> ~∃
∊T
t
t∊T
x∊A <=> ∀ x∉A
t
t∊T
t
Iloczynem indeksowanej rodziny {At : tT} podzbiorów przestrzeni X nazywamy zbiór
złożony z tych elementów przestrzeni X, które należą do każdego zbioru At , tT.
∩t A = {x∊X: ∀
x∊A }
x∊∩t A <=> ∀
x∊A
x∉∩t A <=> ∃
x∉A
∊T
t
∊T
∊T
t∊T
t
t
t∊T
t∊T
t
t
t
Prawa de Morgana dla indeksowanej rodziny {At : tT}:
X\(∪t A ) = ∩t X\A
t
X\(∩t A ) = ∪t X\A
t .
∊T
∊T
t
t
∊T
∊T