Procesy Stochastyczne — lista 10 1. Jeżeli rodzina zmiennych

Procesy Stochastyczne — lista 10
1. Jeżeli rodzina zmiennych losowych spełnia warunek supt∈T E|Xt |p < ∞ dla pewnego p > 1, to jest
to rodzina jednostajnie całkowalna.
Wskazać na przykładzie, że warunek p > 1 jest istotny, tzn. dla p = 1 tak być nie musi.
2. Niech X będzie całkowalną zmienną losową na (Ω, M, P ), a (Ft )t∈T dowolną rodziną pod-σ-ciał
M. Wykazać, że rodzina zmiennych losowych (E(X|Ft ))t∈T jest jednostajnie całkowalna.
Założenia do zadań 3, 4, 5 i 6:
Niech (Ω, M) będzie przestrzenią mierzalną, na której zadana jest filtracja (Ft )t∈T .
3. Załóżmy, że zmienna losowa τ przyjmuje przeliczalnie wiele wartości. Takie τ jest momentem zatrzymania wtedy i tylko wtedy, gdy dla każdego t ∈ T zachodzi {τ = t} ∈ Ft .
4. Niech τ1 , τ2 będa momentami zatrzymania. Wówczas max(τ1 , τ2 ) oraz τ1 + τ2 są momentami zatrzymania, a τ1 − τ2 może nie być momentem zatrzymania.
5. Jeśli zmienna losowa τ jest momentem zatrzymania, to τ jest Fτ - mierzalna.
6. Jeśli τ jest momentem zatrzymania, to każde τn =
b2n τ c + 1
też jest momentem zatrzymania.
2n
7. Opisać Fτ w przypadku, gdy zmienne losowe Xn są niezależne, P (Xn = ±1) = 12 , Fk = σ(X1 , ..., Xk )
oraz τ = inf{n ¬ 2 : X1 + ... + Xn = 1}.
8. Niech (Wt )t­0 będzie procesem Wienera. Połóżmy Ft = σ(Ws , s ¬ t). Niech A będzie zbiorem
domkniętym. Wykazać, że zmienna losowa TA = inf{t ­ 0 : Wt ∈ A} jest momentem zatrzymania
względem (Ft )t­0 .
Wykazać, że jest tak również, gdy A jest zbiorem otwartym.