Plik PDF - PAR Pomiary - Automatyka

Pomiary Automatyka Robotyka 2/2009
dr in. Maciej awryczuk
Instytut Automatyki i Informatyki Stosowanej
Politechnika Warszawska
ANALITYCZNY NIELINIOWY ALGORYTM REGULACJI
PREDYKCYJNEJ Z MODELAMI NEURONOWYMI
W pracy przedstawiono nieliniowy algorytm regulacji predykcyjnej wykorzystujcy modele neuronowe typu perceptronowego MLP (ang. Multi Layer Perceptron).
Model neuronowy jest linearyzowany w otoczeniu aktualnego punktu pracy.
Aktualna warto sygnau sterujcego wyznaczana jest w sposób analityczny, bez
potrzeby optymalizacji. Uzyskane rozwizanie jest rzutowane na zbiór ogranicze
wartoci i szybkoci zmian sygnau sterujcego. Algorytm jest efektywny
obliczeniowo, wymaga jedynie cyklicznej dekompozycji macierzy i rozwizania
dwu równa liniowych. Algorytm charakteryzuje si du dokadnoci regulacji,
porównywaln z algorytmami wymagajcymi biecej nieliniowej optymalizacji.
AN EXPLICIT NONLINEAR PREDICTIVE CONTROL ALGORITHM
BASED ON NEURAL MODELS
This paper describes a nonlinear Model Predictive Control (MPC) algorithm
based on MLP (Multi Layer Perceptron) neural models. The neural model is
linearised on-line around the current operating point. The value of the
manipulated variable is calculated explicitly without any optimisation. The
obtained solution is projected onto the admissible set of constraints imposed on
the magnitude and the increment of the manipulated variable. The algorithm is
computationally efficient. It needs repeating on-line a matrix decomposition task
and solving two linear equations. The algorithm gives good closed-loop control
performance, comparable to that obtained in nonlinear MPC, which hinges on
nonlinear optimisation.
1. WSTP
Regulacja predykcyjna (ang. Model Predictive Control, w skrócie MPC) jest jedyn zaawansowan technik regulacji, która nie tylko przycigna uwag teoretyków, ale równie znalaza bardzo szerokie zastosowanie praktyczne [10, 17, 18, 19]. Algorytmy regulacji predykcyjnej s powszechnie stosowane do regulacji wielu procesów technologicznych, przede wszystkim w przemyle chemicznym, petrochemicznym, papierniczym, metalurgicznym oraz przetwórczym. W porównaniu z innymi technikami regulacji, maj one kilka istotnych zalet. Po
pierwsze, umoliwiaj w naturalny sposób uwzgldnienie ogranicze sygnaów wejciowych
i wyjciowych procesu, których spenienie jest kluczowe z punktu widzenia jakoci, efektywnoci ekonomicznej i bezpieczestwa produkcji. Po drugie, algorytmy te mona z powodzeniem zastosowa do regulacji procesów wielowymiarowych, o wielu wejciach i wielu wyjciach. Co wicej, algorytmy regulacji predykcyjnej mona wykorzysta do regulacji procesów o trudnej dynamice, np. procesów z opónieniem lub z odwrotn odpowiedzi skokow.
Cech szczególn regulacji predykcyjnej jest wykorzystanie do prognozowania stanu procesu
i obliczania (optymalizacji) wartoci sygnaów sterujcych dynamicznego modelu procesu.
Poniewa waciwoci wielu procesów s nieliniowe, z coraz wikszym zainteresowanie spotykaj si nieliniowe algorytmy regulacji predykcyjnej [4, 12, 17, 19]. Ogólna zasada regulacji predykcyjnej nie nakada adnych ogranicze dotyczcych rodzaju modelu.
506
automation 2009
Pomiary Automatyka Robotyka 2/2009
W szczególnoci, w algorytmie regulacji predykcyjnej moe zastosowa modele fizykochemiczne. Rozwizanie takie ma kila bardzo istotnych wad. Opracowanie modeli jest zwykle
trudne, dugotrwae i kosztowne. Co wicej, modele fizykochemiczne s zazwyczaj zoone
(nieliniowe ukady równa róniczkowych i algebraicznych). Bezporednie zastosowanie
takich modeli w algorytmach regulacji predykcyjnej nie jest zwykle moliwe, poniewa w
trakcie cyklicznego rozwizywania równa nieliniowych nieuniknione s problemy numeryczne.
W algorytmach regulacji predykcyjnej stosuje si róne rodzaje modeli nieliniowych, np. modele wielomianowe, szeregi Volterry, modele rozmyte, sieci neuronowe. Autor niniejszej pracy prowadzi badania algorytmów wykorzystujcych modele neuronowe [8, 9, 20].
W przeciwiestwie do modeli fizykochemicznych, maj one kilka zalet, a mianowicie:
a) Sieci neuronowe s uniwersalnymi aproksymatorami. Potrafi aproksymowa dowoln funkcj nieliniow z bardzo du dokadnoci [5], mog one równie dokadnie
modelowa zachowanie procesów technologicznych [6, 13].
b) Opracowano wiele algorytmów uczenia sieci i doboru ich architektury [3, 14].
c) Sieci neuronowe maj prost, regularn struktur oraz stosunkowo mao parametrów.
d) Sieci neuronowe mog by stosunkowo atwo wykorzystane w rónych odmianach algorytmów regulacji predykcyjnej [1, 6, 7, 8, 9, 13, 15, 16, 20, 21].
e) W algorytmach regulacji predykcyjnej z modelami neuronowymi nie wystpuj
problemy numeryczne typowe dla algorytmów z modelami fizykochemicznymi.
W pracy omówiono analityczny nieliniowy algorytm regulacji predykcyjnej wykorzystujcy
modele neuronowe. Aktualna warto sygnau sterujcego wyznaczana jest w sposób
analityczny, bez potrzeby optymalizacji. Przedstawiony algorytm jest efektywny
obliczeniowo, wymaga jedynie cyklicznej dekompozycji LU macierzy i rozwizania dwóch
prostych równa liniowych. Aby zapewni spenienie istniejcych ogranicze, obliczone
rozwizanie jest rzutowane na zbiór istniejcych ogranicze. Algorytm charakteryzuje si
du dokadnoci regulacji, porównywaln z algorytmami wymagajcymi biecej
nieliniowej optymalizacji.
2. REGULACJA PREDYKCYJNA
2.1. Zasada regulacji predykcyjnej
W algorytmie regulacji predykcyjnej, w kadej dyskretnej chwili k (iteracji algorytmu)
wyznacza si wektor przyszych przyrostów sygnau sterujcego
'u(k )
Zakada si, e 'u (k p | k )
> 'u (k | k )
! 'u (k N u 1 | k )@
T
(1)
0 dla ptNu, przy czym Nu jest horyzontem sterowania. Celem
algorytmu jest minimalizacja rónic midzy trajektori zadan y zad (k p | k ) a
prognozowanymi wartociami sygnau wyjciowego yˆ (k p | k ) na caym horyzoncie
predykcji, dla p 1,!, N , przy czym zwykle Nu<N. Minimalizowana funkcja kosztu ma
posta
N
J (k )
¦ P p ( y zad (k p | k ) yˆ (k p | k )) 2 p 1
automation 2009
N u 1
¦O
p
('u (k p | k )) 2
(2)
p 0
507
Pomiary Automatyka Robotyka 2/2009
gdzie P p t 0 i O p ! 0 s wspóczynnikami wagowymi. Do sterowania wykorzystuje si jedynie pierwszy element wyznaczonej sekwencji (1), prawo regulacji ma posta
'u (k | k ) u (k 1)
u (k )
(3)
W kolejnej dyskretnej chwili k+1 nastpuje aktualizacja pomiaru zmiennej wyjciowej,
horyzont predykcji zostaje przesunity o jeden krok do przodu i caa procedura jest
powtórzona.
W regulacji predykcyjnej wykorzystuje si dynamiczny model procesu. Jest on stosowany do
obliczania przewidywanych wartoci zmiennej wyjciowej. Oznacza to, e jeeli tylko
dostpny model procesu jest dokadny, mona zaprojektowa bardzo dobry algorytm regulacji
predykcyjnej, uwzgldniajcy natur procesu, jego waciwoci statyczne i dynamiczne.
2.2. Optymalizacja polityki sterowania
Jak podkrelono we wstpie, moliwo uwzgldnienia ogranicze sygnaów procesowych
jest jedn z zalet algorytmów regulacji predykcyjnej. W dalszej czci pracy uwzgldnia si
ograniczenia minimalnej (umin) i maksymalnej wartoci sygnau sterujcego (umax) oraz ograniczenie maksymalnej szybkoci zmian sygnau sterujcego ('umax). W kadej iteracji algorytmu regulacji minimalizowany jest wskanik jakoci regulacji (2) przy uwzgldnieniu ogranicze. Odbywa si to w wyniku rozwizania nastpujcego zadania optymalizacji
N
min{J (k )
'u ( k )
¦ P p ( y zad (k p | k ) yˆ (k p | k )) 2 p 1
N u 1
¦O
p
( 'u (k p | k )) 2 }
p 0
przy ograniczeniach :
(4)
u min d u (k p | k ) d u max
'u max d 'u (k p | k ) d 'u max
p
p
0,! , N u 1
0,! , N u 1
Definiujc wektory o dugoci N
y zad (k )
>y
zad
( k 1 | k ) ! y zad (k N | k )
> yˆ (k 1 | k )
yˆ ( k )
! yˆ ( k N | k )@
@
T
(5)
T
oraz wektory o dugoci Nu
umin
umax
> u min
> u max
! u min @ ,
T
u k 1
! u max @ , 'umax
T
> u (k 1)
> 'u max
! u (k 1)@
! 'u max @
T
T
(6)
problem optymalizacji (4) mona przedstawi jako
min{J ( k )
'u ( k )
y zad (k ) yˆ ( k )
2
M
(7)
przy ograniczeniach :
umin d J'u( k ) u
k 1
2
'u( k ) / }
d umax
'umax d 'u( k ) d 'umax
przy czym J jest trójktn doln macierz o wymiarowoci NuuNu, natomiast M oraz / s
diagonalnymi macierzami o wymiarowoci, odpowiednio, NuN oraz NuuNu zawierajcymi
wspóczynniki wagowe Pp, Op.
508
automation 2009
Pomiary Automatyka Robotyka 2/2009
2.3. Klasyfikacja nieliniowych algorytmów regulacji predykcyjnej
W ogólnoci, mona wyróni dwie klasy nieliniowych algorytmów regulacji predykcyjnej:
a) algorytmy z nieliniow optymalizacj
b) algorytmy suboptymalne z cykliczn linearyzacj nieliniowego modelu procesu.
W pierwszym przypadku do wyznaczenia aktualnej polityki sterowania (wektora przyszych
przyrostów sygnau sterujcego) wykorzystuje si nieliniowy model procesu be adnych
uproszcze. Prognozowane wartoci sygnau wyjciowego zale wówczas w sposób nieliniowy od obliczanych przyszych sygnaów sterujcych. Oznacza to, e w kadej iteracji algorytmu w czasie rzeczywistym naley rozwiza nieliniowe zadanie optymalizacji (7). Jest
to nie tylko trudne, zoone obliczeniowe i czasochonne. Przede wszystkim jednak, istnieje
niebezpieczestwo utknicia procedury optymalizacji w pytkim minimum lokalnym.
Cech szczególn algorytmów suboptymalnych jest cykliczna linearyzacja nieliniowego modelu procesu. Uzyskane przyblienie liniowe jest nastpnie wykorzystywane w optymalizacji
polityki sterowania. Dziki linearyzacji prognozowane wartoci sygnau wyjciowego zale
w sposób liniowy od obliczanych przyszych sygnaów sterujcych. W kadej iteracji algorytmu rozwizuje si zadanie optymalizacji kwadratowej, co moe by wykonane w skoczonym czasie, moliwym do przewidzenia. Algorytmy suboptymalne zapewniaj w praktyce
dobr jako regulacji, niewiele gorsz od algorytmów z nieliniow optymalizacj [4, 19].
3. ANALITYCZNY NIELINIOWY ALGORYT REGULACJI PREDYKCYJNEJ
3.1. Struktura modelu neuronowego
Zakada si, e model dynamiczny procesu nieliniowego o jednym wejciu i jednym wyjciu
(ang. Single-Input Single-Output, w skrócie SISO) dany jest w postaci równania
y (k )
f (u (k W ),!, u (k n B ), y (k 1),!, y (k n A ))
f ( x (k ))
(8)
Aktualna warto sygnau wyjciowego procesu jest nieliniow funkcj sygnau wejciowego
i wyjciowego w poprzednich iteracjach algorytmu (chwilach próbkowania). Nieliniowa
funkcja f : ƒ n A n B W 1 o ƒ , gdzie W d n B , jest realizowana przez sie neuronow typu perceptronowego (ang. Multilayer Perceptron, w skrócie MLP) z jedn warstw ukryt i liniowym wzem wyjciowym [3, 14]. Wyjcie sieci (modelu) obliczane jest ze wzoru
K
y (k )
w02 ¦ wi2M ( z i (k ))
(9)
i 1
gdzie wielkoci zi(k) jest sum sygnaów wejciowych i-tego neuronu ukrytego, M : ƒ o ƒ
jest nieliniow funkcj aktywacji neuronów warstwy ukrytej (np. M tanh ), K jest iloci
neuronów ukrytych. Na podstawie (8), dla sieci neuronowej otrzymuje si
z i (k )
Iu
nA
j 1
j 1
w1 (1,0) ¦ w1 (i, j )u ( k W 1 j ) ¦ w1 (i, I u j ) y ( k j )
(10)
Wagi pierwszej warstwy oznaczone s jako w1 (i, j ) , przy czym i 1,! , K ,
j 0, ! , n A n B W 1 , natomiast wagi drugiej warstwy przez w2 (i ) , gdzie i 0,!, K .
Struktura sieci neuronowej pokazana jest na rys. 1.
automation 2009
509
Pomiary Automatyka Robotyka 2/2009
1
u (k W )
u (k nB )
w1 (1,1)
w1 (1,0)
M v1 (k )
#
w2 (1)
w1 ( K ,1)
1
w2 (0)
w1 ( K ,0)
y (k )
#
+
y (k 1)
w2 ( K )
u (k n A )
M
#
vK (k )
w1 ( K , n A n B W 1)
Rys. 1. Struktura modelu neuronowego
3.2. Optymalizacja polityki sterowania
Aby wyeliminowa konieczno rozwizywania w kadej iteracji algorytmu nieliniowego
problemu optymalizacji (7), w opisywanym algorytmie zostanie wykorzystane podejcie
suboptymalne, bazujce na algorytmie z Nieliniow Predykcj i Linearyzacj (NPL) [8, 9, 19,
20]. W kadej iteracji k algorytmu NPL nieliniowy neuronowy model procesu jest wykorzystany dwa razy, a mianowicie do wyznaczenia lokalnego przyblienia liniowego oraz do obliczenia nieliniowej trajektorii swobodnej. Zakada si, e wektor predykcji sygnau wyjciowego yˆ (k ) na horyzoncie predykcji mona przedstawi jako sum trajektorii wymuszonej,
która zaley wycznie od przyszoci (czyli od przyszych przyrostów sygnau sterujcego
'u(k) na horyzoncie sterowania) oraz trajektorii swobodnej y0(k), która zaley wycznie od
przeszoci
yˆ ( k )
G ( k ) 'u( k ) y 0 ( k )
(11)
Macierz dynamiczna o wymiarowoci NuNu zawiera wspóczynniki odpowiedzi skokowej
aktualnie wyznaczonej liniowej aproksymacji modelu nieliniowego. Ma ona posta
0
0
!
º
ª s1 (k )
»
« s (k )
s1 (k ) !
0
2
»
«
G (k )
»
« #
#
%
#
»
«
«¬ sN (k ) sN 1 (k ) ! sN N u 1 (k )»¼
natomiast wektor trajektorii swobodnej ma dugo N
y 0 (k )
> y (k 1 | k )
0
! y 0 (k N | k )
@
(12)
T
(13)
Dziki zastosowaniu suboptymalnej predykcji (11), nieliniowy problem optymalizacji rozwizywany w kadej iteracji algorytmu regulacji predykcyjnej (7) jest w istocie nastpujcym
zadaniem programowania kwadratowego
510
automation 2009
Pomiary Automatyka Robotyka 2/2009
min{J (k )
'u ( k )
y zad (k ) G (k )'u(k ) y 0 (k )
2
M
2
'u(k ) / }
(14)
przy ograniczeniach :
u min d J'u(k ) u k 1 d u max
'u max d 'u(k ) d 'u max
Klasyczny algorytm NPL uwzgldnia ograniczenia w sposób cisy, s one integraln czci
zadania optymalizacji (14). Algorytm taki jest nazywany algorytmem numerycznym. W bdcym tematem pracy algorytmie analitycznym wektor zmiennych decyzyjnych 'u(k) oblicza
si w sposób analityczny, unikajc jakiejkolwiek optymalizacji. Jest to moliwe wówczas,
gdy rozwie si zadanie optymalizacji funkcji kryterialnej bez jakichkolwiek ogranicze, a
nastpnie rzutuje uzyskane rozwizanie na zbiór ogranicze.
Zadanie optymalizacji analitycznego algorytmu NPL ma posta
min{J (k )
'u ( k )
y zad (k ) G (k )'u(k ) y 0 (k )
2
M
2
'u(k ) / }
(15)
Poniewa minimalizowana funkcja celu jest kwadratowa, aby uzyska rozwizanie wystarczy
gradient tej funkcji
wJ (k )
w'u(k )
2G T (k ) M ( y zad (k ) G (k )'u(k ) y 0 (k )) 2/'u(k )
(16)
przyrówna do zera (wektorowo). Wektor optymalnych przyrostów sygnaów sterujcego
obliczany jest ze wzoru
'u(k )
K (k )( y zad (k ) y 0 (k ))
(17)
(k ) MG (k ) / G T (k ) M
(18)
gdzie
K (k )
G
T
1
jest macierz o wymiarowoci NuuN. Jest ona zalena od macierzy dynamicznej G(k), obliczanej w kadej iteracji algorytmu NPL na podstawie linearyzacji modelu neuronowego.
Oznacza to, e równie macierz K(k) musi by obliczana w kadej iteracji algorytmu. atwo
pokaza, e uzyskane rozwizanie jest minimum globalnym zadania (15), poniewa macierz
2
drugich pochodnych (hesjan) funkcji kryterialnej ww'uJ2((kk)) 2(G T (k ) MG (k ) / ) jest dodatnio
okrelona dla wspóczynników wagowych P p t 0 i O p ! 0 .
Do obliczania odwrotnoci macierzy G T (k ) MG (k ) / stosuje si rozkad (dekompozycj)
LU [2] tej macierzy, a nastpnie rozwizuje si równania liniowe. Wyznacza si macierze
P(k), L(k) oraz U(k), dla których
L(k )U (k )
P (k )G T (k ) MG (k ) / (19)
przy czym L(k) jest macierz trójktn doln (z jedynkami na przektnej), U(k) jest macierz
trójktn górn
(20)
automation 2009
511
Pomiary Automatyka Robotyka 2/2009
/
(20)
! 0º
ªu1,1 ( k ) u1, 2 ( k ) u1,3 ( k ) ! u1, N u (k ) º
« 0
»
! 0»
u 2, 2 ( k ) u 2 ,3 ( k ) ! u 2, Nu ( k ) »»
«
! 0» , U ( k ) « 0
u 3, 3 ( k ) ! u 3, N u ( k ) »
0
L( k )
»
«
»
% #»
#
#
%
#
»
« #
»
« 0
! 1»¼
!
u
k
0
0
(
)
Nu , Nu
¼
¬
Natomiast P(k) jest macierz przestawie w eliminacji Gaussa, w kadym wierszu i kolumnie
zawiera ona tylko jeden element równy 1, pozostae elementy s zerowe.
Prawdziwa jest zaleno
0
0
ª 1
« l (k )
1
0
« 2,1
« l 3,1 ( k ) l 3, 2 ( k )
1
«
#
#
« #
«l N ,1 ( k ) l N , 2 ( k ) l N ,3 ( k )
u
u
¬ u
P (k )G T (k ) MG (k ) / G T (k ) MG (k ) / 1
P (k ) I
(21)
Czyli, korzystajc z (19), otrzymuje si
L(k )U (k )G T (k ) MG (k ) / 1
P (k ) I
(22)
Niech szukana macierz odwrotna ma posta
H (k )
G
T
(k ) MG (k ) /
ª h1,1 (k ) h1, 2 (k )
« h (k ) h (k )
2, 2
« 2,1
« #
#
«
¬«hN u ,1 (k ) hN u ,1 (k )
1
!
h1, N u (k ) º
! h2, N u (k ) »»
»
%
#
»
! hN u , N u (k )¼»
(23)
0 ! 0º
1 ! 0»»
# % #»
»
0 ! 1¼
(24)
Otrzymuje si zatem
ª h1,1 (k ) h1, 2 (k )
« h (k ) h (k )
2 ,1
2, 2
L(k )U (k ) «
« #
#
«
¬«hN u ,1 (k ) hN u ,1 (k )
! h1, Nu (k ) º
! h2, Nu (k ) »»
»
%
#
»
! hN u , N u (k )¼»
ª1
«0
P (k ) «
«#
«
¬0
~
~
Niech wektory h1 (k ),!, hN u (k ) bd kolejnymi kolumnami macierzy odwrotnej, natomiast
wektory v1 (k ),!, v Nu (k ) bd kolejnymi kolumnami iloczynu macierzy P(k)I. Powysze
równanie macierzowe odpowiada Nu ukadom równa liniowych
~
~
L(k )U (k )h1 (k ) v1 (k ), " L(k )U (k )hN u (k )
v Nu (k )
(25)
Rozwizanie powyszych równa odbywa si dwuetapowo. Dziki zastosowaniu rozkadu
LU najpierw naley rozwiza ukady równa L(k )q p (k ) v p (k ) , a nastpnie
T
~
U (k )h p (k ) q p (k ) dla p=1,…,Nu, przy czym q p (k ) q p ,1 (k ) ! q p , N u ( k )
jest
>
@
wektorem rozwiza pierwszych równa podstawianym do drugich. Dziki rozkadowi LU
macierze L(k) oraz U(k) s trójktne, rozwizania obu ukadów równa s bardzo proste
i 1
q p ,i ( k )
v p ,i (k ) ¦ li , j (k )q p , j (k ) i 1, !, N u
j 1
h p ,i ( k )
512
1 §
¨ q p ,i ( k ) u i ,i (k ) ¨©
·
u i , j (k )h p , j (k ) ¸¸ i
¦
j i 1
¹
Nu
(26)
N u , !,1
automation 2009
Pomiary Automatyka Robotyka 2/2009
Obliczone rozwizanie moe nie spenia istniejcych ogranicze minimalnej (umin) lub maksymalnej wartoci (umax) oraz maksymalnej szybkoci zmian sygnau sterujcego ('umax).
Dlatego te obliczony przyrost 'u (k | k ) zostaje rzutowany na zbiór ogranicze. Innymi
sowy, uzyskane rozwizanie zostaje przycite w taki sposób, aby speniao istniejce
ograniczenia. Procedura rzutowania ogranicze jest nastpujca
jeeli 'u (k | k ) 'u max
przyjmij 'u (k | k )
jeeli 'u (k | k ) ! 'u max
przyjmij 'u (k | k )
'u max
u (k | k ) 'u (k | k ) u (k 1)
jeeli u (k | k ) u min przyjmij u (k | k )
u min
jeeli u (k | k ) ! u max
u max
u (k )
'u max
przyjmij u (k | k )
(27)
u (k | k )
Warto zauway, e w analitycznym algorytmie NPL nie ma potrzeby obliczania caego wektora przyszych przyrostów sygnau sterujcego 'u(k), a tylko pierwszy jego element
'u (k | k ) . Wzory (17) i (18) pozostaj w mocy, oblicza si tylko pierwszy wiersz macierzy
K (k ) . Aby byo to moliwe dekompozycji LU poddaje si macierz
L(k )U (k )
P (k )G T (k ) MG (k ) / T
(28)
W rezultacie, oblicza si tylko pierwsz kolumn macierzy odwrotnej H (k ) . Rozwizuje si
tylko pierwsze z równa (25). Równania (26) pozostaj w mocy, ale tylko dla p=1.
Ogólna struktura algorytmu analitycznego z Nieliniow Predykcj i Linearyzacj (NPL) zostaa przedstawiona na rys. 2. W kadej iteracji wykonane s nastpujce kroki:
1. Linearyzacja modelu neuronowego: wyznaczenie macierzy dynamicznej G (k ) .
2. Obliczenie nieliniowej trajektorii swobodnej y 0 (k ) na podstawie modelu
neuronowego.
3. Wyznaczenie rozkadu LU macierzy G T (k ) MG (k ) /
T
– wzór (28).
T
4. Wyznaczenie pierwszej kolumny odwrotnoci macierzy G T (k ) MG (k ) / przez
~
rozwizanie równania liniowego L(k )U (k )h1 (k ) v1 (k ) , pierwszego z ukadu (25).
5. Obliczenie pierwszego elementu 'u (k | k ) optymalnego wektora zmiennych decyzyjnych 'u(k ) – wzór (17).
6. Rzutowanie wielkoci 'u (k | k ) na zbiór ogranicze – wzory (27).
7. Zastosowanie do sterowania obliczonego sterowania.
8. Podstawienie k : k 1 , przejcie do kroku 1.
Szczegóy dotyczce linearyzacji modelu neuronowego, obliczenia macierzy dynamicznej
i wyznaczania trajektorii swobodnej podano w pracach [8, 19, 20].
automation 2009
513
Pomiary Automatyka Robotyka 2/2009
Analityczny algorytm NPL
y zad (k )
rozkad LU,
rozwizanie ukadu
równa liniowych,
rzutowanie rozwizania na
zbiór ogranicze
G (k )
u (k )
y (k )
Proces
z 1
y 0 (k )
linearyzacja,
wyznaczenie nieliniowej
trajektorii swobodnej
model neuronowy
Rys. 2. Struktura analitycznego algorytmu z Nieliniow Predykcj i Linearyzacj (NPL)
4. EKSPERYMENTY
4.1. Reaktor polimeryzacji
Rozwaanym procesem jest reaktor polimeryzacji [11]. Jego wejciem (zmienn manipulowan) jest natenie dopywu inicjatora FI [m3/h], wyjciem (zmienn regulowan) jest rednia masa czsteczkowa NAMW (ang. Number Average Molecular Weight). Reaktor ten jest
czsto stosowany w celu porównania nieliniowych algorytmów regulacji [8, 9, 19, 20].
4.2. Modelowanie procesu polimeryzacji
Model fizykochemiczny [11] jest traktowany podczas symulacji jako rzeczywisty proces. Zostay wygenerowane dwa zbiory danych liczce 2000 próbek, a mianowicie zbiór danych
uczcych oraz danych testowych. Pierwszy z nich suy do identyfikacji (uczenia) modeli,
drugi – wycznie do oceny jakoci otrzymanych modeli. Aby odda warunki panujce w
przemyle do wyjcia procesu dodano niewielki szum. Przygotowano dwa modele, a mianowicie model liniowy
y (k )
b2 u (k 2) a1 y (k 1) a 2 y(k 2)
(29)
f (u (k 2), y (k 1), y (k 2))
(30)
oraz model neuronowy
y (k )
Oba modele maj te same argumenty. Oczywicie, wykonano szereg eksperymentów majcych na celu okrelenie rzdu dynamiki modeli, w pracy przedstawiono tylko modele bdce
efektem tych poszukiwa. Na rys. 3 pokazano wyjcie modelu liniowego na tle obu zbiorów
danych, natomiast na rys. 4 pokazano wyjcie modelu neuronowego na tle danych. Niedokadno modelu liniowego jest bardzo dua, natomiast model neuronowy prawidowo oddaje
waciwoci procesu.
514
automation 2009
Pomiary Automatyka Robotyka 2/2009
5CZENIE
Uczenie
4
W
M
A
N
xX
10
4.5
4.5
4
4
3.5
3.5
3
W
M
A
N
2.5
2
3
2.5
2
1.5
1.5
1
1
0.5
1
500
1000
4ESTOWANIE
Testowanie
X4
x 10
5
/".8
/".8
5
1500
0.5 1
2000
500
1000
kK
1500
2000
Kk
Rys. 3. Dane oraz wyjcie modelu liniowego dla zbioru uczcego i testowego
5CZENIE
Uczenie
W
M
A
N
4.5
4.5
4
4
3.5
3.5
3
W
M
A
N
2.5
3
2.5
2
2
1.5
1.5
1
1
500
1000
Kk
4ESTOWANIE
Testowanie
X 4
x 10
5
/".8
/".8
X 4
x 10
5
1500
2000
1
1
500
1000
Kk
1500
2000
Rys. 4. Dane oraz wyjcie modelu neuronowego dla zbioru uczcego i testowego
4.3. Regulacja predykcyjna procesu polimeryzacji
Porównano cztery rodzaje algorytmów regulacji predykcyjnej, a mianowicie:
a) Algorytm liniowy z modelem liniowym (29).
b) Analityczny algorytm NPL (bez optymalizacji) z modelem neuronowym (30).
c) Numeryczny algorytm NPL (z optymalizacj kwadratow) z modelem neuronowym
(30).
d) Numeryczny algorytm z nieliniow optymalizacj z modelem neuronowym (30).
We wszystkich badanych algorytmach przyjto te same parametry: N=10, Nu=3, Pp=1, Op=0.2,
FImin=0,003 m3/h, FImax=0,06 m3/h, 'FImax=0,005 m3/h. Czas próbkowania wynosi 1.8 min.
automation 2009
515
Pomiary Automatyka Robotyka 2/2009
Xx 104
0.06
4
0.05
W
M
A
N
,
'*
0.04
F
I
0.03
3.5
3
d
a
z
W M 2.5
A
N
0.02
0.01
0
1
20
40
60
2
80
20
1
40
60
80
60
80
60
80
K k
K k
Rys. 5. Wyniki symulacji algorytmu liniowego
4
Xx 10
0.06
4
0.05
W
M
A
N
,
'*
0.04
F
I 0.03
3.5
d
a
z
3
W
M 2.5
A
N
0.02
0.01
2
0
1
20
40
60
80
1
20
K k
40
K k
Rys. 6. Wyniki symulacji algorytmu
z nieliniow optymalizacj oraz NPL w wersji analitycznej
4
Xx 10
0.06
4
0.05
W
M
A
N
,
'*
0.04
F
I
0.03
d
a
z
3.5
3
W
M 2.5
A
N
0.02
0.01
2
0
1
20
40
Kk
60
80
1
20
40
Kk
Rys. 7. Wyniki symulacji algorytmu
NPL w wersji numerycznej oraz NPL w wersji analitycznej
516
automation 2009
Pomiary Automatyka Robotyka 2/2009
Poniewa jako modelu liniowego jest za (rys. 3), algorytm wykorzystujcy ten model pracuje le, jest on niestabilny co pokazano na rys. 5. Wyniki symulacji algorytmu z nieliniow
optymalizacj oraz NPL w wersji analitycznej przedstawiono na rys. 6. Oba porównywane
algorytmy pracuj bardzo podobnie. Algorytm suboptymalny z cykliczn linearyzacj, rozkadem LU i rzutowaniem ogranicze pozwoli w badanym przypadku na osignicie jakoci
regulacji praktycznie takiej samej jak w algorytmie z nieliniow optymalizacj powtarzan w
kadej iteracji. Rys. 7 przedstawia porównanie algorytmu NPL w wersji analitycznej i numerycznej z optymalizacj kwadratow powtarzan w kadej iteracji. Rónice midzy algorytmem analitycznym i numerycznym s praktycznie niedostrzegalne.
2
10
1
.'-014
10
S
P
O
L
F
M
algorytmNO
NO
algorytm
numeryczny
numeryczny
algorytmNPL
NPL
algorytm
0
10
analityczny
analityczny
algorytmNPL
NPL
algorytm
-1
10
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
.N
Uu
Rys. 8. Zoono obliczeniowa badanych algorytmów w zalenoci od horyzontu sterowania
Na rys. 8 porównano zoono obliczeniow badanych nieliniowych algorytmów regulacji
predykcyjnej w zalenoci od horyzontu sterowania, we wszystkich przypadkach horyzont
predykcji jest stay (N=10). Mona zaobserwowa, e przedstawiony w pracy analityczny
algorytm NPL jest nie tylko duo bardziej efektywny obliczeniowo ni algorytm z nieliniow
optymalizacj, ale równie mniej zoony ni numeryczny algorytm NPL, w którym w kadej
iteracji naley rozwiza zadanie optymalizacji kwadratowej.
5. PODSUMOWANIE
Opisany w pracy analityczny algorytm regulacji predykcyjnej cechuje si du jakoci
regulacji. Jest ona porównywalna nie tylko z dokadnoci algorytmu numerycznego
z optymalizacj kwadratow, jest ona niewiele gorsza ni w algorytmie z nieliniow
optymalizacj. Algorytm jest przy tym bardzo efektywny obliczeniowo, nie ma potrzeby
optymalizacji. Algorytm wymaga rozkadu LU oraz rozwizania dwóch prostych równa
liniowych.
LITERATURA
[1]
B. M. Åkesson, H. T. Toivonen (2006): A neural network model predictive controller.
Journal of Process Control, tom 16, nr 3, str. 937-946.
[2]
G. H. Golub, C. F. Van Loan (1989): Matrix computations. The Johns Hopkins University Press, Baltimore and London.
[3]
S. Haykin (1999): Neural networks – a comprehensive foundation. Prentice Hall, Upper Saddle River.
automation 2009
517
Pomiary Automatyka Robotyka 2/2009
[4]
M. A. Henson (1998): Nonlinear model predictive control: current status and future
directions. Computers and Chemical Engineering, tom 23, nr 2, str. 187-202.
[5]
K. Hornik, M. Stinchcombe, H. White (1989): Multilayer feedforward networks are
universal approximators. Neural networks, tom 2, nr 5, str. 359-366.
[6]
M. A. Hussain (1999): Review of the applications of neural networks in chemical
process control – simulation and online implementation. Artificial Intelligence in
Engineering, tom 13, nr 1, str. 55-68.
[7]
G. P. Liu, V. Kadirkamanathan, S. A. Billings (1998): Predictive control of nonlinear
systems using neural networks. International Journal of Control, tom 71, nr 6, str.
1119-1132.
[8]
M. awryczuk (2007): A family of model predictive control algorithms with artificial
neural networks. International Journal of Applied Mathematics and Computer
Science, tom 17, nr 2, str. 217-232.
[9]
M. awryczuk, P. Tatjewski (2007): A computationally efficient nonlinear predictive
control algorithm with RBF neural models and its application. Lecture Notes in Artificial Intelligence, tom 4585, Springer: The International Conference Rough Sets and
Emerging Intelligent Systems Paradigms, RSEISP 2007, Warszawa, str. 603-612.
[10] J. M. Maciejowski (2002): Predictive control with constraints. Prentice Hall, Harlow.
[11] B. R. Maner, F. J. Doyle, B. A. Ogunnaike, R. K. Pearson (1996): Nonlinear model
predictive control of a simulated multivariable polymerization reactor using secondorder Volterra models. Automatica, tom 32, nr 9, str. 1285-1301.
[12] M. Morari, J. Lee (1999): Model predictive control: past, present and future. Computers and Chemical Engineering, tom 23, nr 4/5, str. 667-682.
[13] M. Nørgaard, O. Ravn, N. K. Poulsen, L. K. Hansen (2000): Neural networks for
modelling and control of dynamic systems. Springer, London.
[14] S. Osowski (1996): Sieci neuronowe w ujciu algorytmicznym. WNT, Warszawa.
[15] S. Piche, B. Sayyar-Rodsari, D. Johnson, M. Gerules (2000): Nonlinear model predictive control using neural networks. IEEE Control Systems Magazine, tom 20, nr 3, str.
56-62.
[16] M. Pottmann, D. E. Seborg (1997): A nonlinear predictive control strategy based on
radial basis function networks. Computers and Chemical Engineering, tom 21, nr 9,
str. 965-980.
[17] S. J. Qin, T. Badgwell (2003): A survey of industrial model predictive control technology. Control Engineering Practice, tom 11, nr 7, str. 733-764.
[18] J. A. Rossiter (2003): Model-based predictive control. CRC Press, Boca Raton.
[19] P. Tatjewski (2007): Advanced control of industrial processes, structures and algorithms. Springer, London.
[20] P. Tatjewski, M. awryczuk (2006): Soft computing in model-based predictive control. International Journal of Applied Mathematics and Computer Science, tom 16,
nr 1, str. 101-120.
[21] D. L. Yu, J. B. Gomm (2003): Implementation of neural network predictive control to
a multivariable chemical reactor. Control Engineering Practice, tom 11, nr 11,
str. 1315-1323.
518
automation 2009