( )N

0DWHPDW\ND XEH]SLHF]H PDM WNRZ\FK
8.04.2000 r.
___________________________________________________________________________
Zadanie 1.
Liczba szkód N Z SHZQ\P SRUWIHOX U\]\N PD UR]NáDG GZXPLDQRZ\ R SDUDPHWUDFK
(n, q N ) , (tzn. model n QLH]DOH*Q\FK SUyE ] S-stwem szkody w jednej próbie równym
q N ). Przyjmujemy n > 1 .
5R]NáDG ZDUWRFL SRMHG\QF]HM V]NRG\ Y jest dwupunktowy:
Pr(Y = 1) = 1 − Pr (Y = 2) = pY ,
pY ∈ (0, 1)
+Y
à F]QD ZDUWR ü V]NyG ] SRUWIHOD MHVW UyZQD
S = Y1 +
N
(w przypadku gdy N = 0 przyjmujemy S = 0 ).
PrzyjmXMHP\ VWDQGDUGRZH ]DáR*HQLD R Z]DMHPQHM QLH]DOH*QRFL ]PLHQQ\FK ORVRZ\FK
N oraz Y1 , Y2 , , Yn .
q N = 0.36 WR MDNLH PXVL E\ü pY DE\ UR]NáDG ]PLHQQHM S E\á WDN*H UR]NáDGHP
dwumianowym?
-HOL
8
9
(A)
pY
(B)
pY PXVL E\ü UyZQH
(C)
pY
(D)
nie istnieje takie pY ∈ (0, 1)
(E)
S E
G]LH PLDáD UR]NáDG GZXPLDQRZ\ GOD GRZROQHJR pY ∈ (0, 1)
PXVL E\ü UyZQH
PXVL E\ü UyZQH
4
9
1
9
1
0DWHPDW\ND XEH]SLHF]H PDM WNRZ\FK
8.04.2000 r.
___________________________________________________________________________
Zadanie 2.
: SHZQ\P URG]DMX XEH]SLHF]HQLD ND*
GH U\]\NR JHQHUXMH V]NRG
FR QDMZ\*HM MHGQ ]
WDNLP VDP\P SUDZGRSRGRELH VWZHP 5\]\ND JHQHUXM
V]NRG\ R ZDUWRFLDFK
E
GF\FK GRGDWQLPL ]PLHQQ\PL ORVRZ\PL R J
VWRFLDFK Z\NáDGQLF]\FK
f Y B=β (y ) = β ⋅ e − β ⋅ y ,
3RSXODFMD U\]\N FKDUDNWHU\]XMH VL
MHGQDN GX*\P ]Uy*QLFRZDQLHP VNDOL W\FK U\]\N
reprezentowanej przez parametr β
J
VWRü
UR]NáDGX
* UR]NáDG SDUDPHWUX VNDOL Z SRSXODFML U\]\N PD QD SyáRVL GRGDWQLHM
-H OL SU]\MPLHP\ L
g B (β ) = e − β ,
WR GOD ORVRZR GREUDQHJR U\]\ND ] SRSXODFML ZDUXQNRZD ZDUWRü
SRG ZDUXQNLHP *H GR QLHM GRMG]LH Z\QLHVLH
(A)
1
(B)
3
2
(C)
2
(D)
3
(E)
∞
2
RF]HNLZDQD V]NRG\
0DWHPDW\ND XEH]SLHF]H PDM WNRZ\FK
8.04.2000 r.
___________________________________________________________________________
Zadanie 3.
*
.OLHQW MHVW QDUD RQ\ QD V]NRG NWyUHM SUDZGRSRGRELH VWZR ]DM FLD Z\QRVL D
UR]NáDG ZDUWR FL V]NRG\ PD J VWR ü GDQ
 2 ⋅ (1000 − x )

dla
f (x ) =  1000000

0
dla
Z]RUHP
x ∈ (0, 1000 )
x ∉ (0, 1000 )
8EH]SLHF]\FLHO RIHUXMH NOLHQWRZL XEH]SLHF]HQLH ] XG]LDáHP ZáDVQ\P Z NZRFLH d,
SR]RVWDZLDMF GR Z\ERUX NOLHQWD Z\VRNR
Z
ü WHM NZRW\ &HQD XEH]SLHF]HQLD VNáDGD VL
10-FLX
SURFHQWDFK ] QDU]XWX UHV]WD SRNU\ZD RF]HNLZDQ
(A)
]á
(B)
]á
(C)
]á
(D)
]á
(E)
]á
ZDUWR ü RGSRZLHG]LDOQR FL
d SRZLQLHQ Z\EUDü NOLHQW MH*HOL FKFH
prze]QDF]\ü QD ]DNXS XEH]SLHF]HQLD NZRW
]á JU"
XEH]SLHF]\FLHOD -DN
Z\VRNR ü XG]LDáX ZáDVQHJR
3
0DWHPDW\ND XEH]SLHF]H
PDMWNRZ\FK
8.04.2000 r.
___________________________________________________________________________
Zadanie 4.
5R]NáDG áF]QHM ZDUWRFL V]NyG S Z QDGFKRG]F\P URNX DSURNV\PXMHP\ ]D SRPRF
~
zmiennej losowej S R SU]HVXQL
W\P UR]NáDG]LH ORJDU\WPLF]QR-normalnym z
~
parametrami x0 , µ , σ 2 - tzn. zmienna ln S − x 0 PD UR]NáDG QRUPDOQ\ R
~
parametrach µ , σ 2 . Zmienna S PD ] ]DáR*HQLD PLHü WH VDPH PRPHQW\ SLHUZV]\FK
WU]HFK U]
dów, co zmienna S.
-HOL R PRPHQWDFK ]PLHQQHM S ]DáR*\P\ L*
E (S ) = 100,16
E S 2 = exp (839 )
(
(
)
(
)
( )
E (S ) = exp (14)
3
~
S
WR SDUDPHWU\ UR]NáDGX ]PLHQQHM
(A)
(x , µ , σ ) = (7.61,
(B)
(x , µ , σ ) = (7.61,
25
6
(C)
(x , µ , σ ) = (5.00,
9
2
(D)
(x , µ , σ ) = (5.00,
25
6
(E)
(x , µ , σ ) = (5.00,
9
2
2
0
2
0
2
0
2
0
2
0
Z\QLRV
, 181 )
9
2
,
)
7
9
, 181 )
,
,
7
9
1
9
)
)
4
)
0DWHPDW\ND XEH]SLHF]H PDM WNRZ\FK
8.04.2000 r.
___________________________________________________________________________
Zadanie 5.
8EH]SLHF]\FLHO RGQRWRZDá QDVW SXM
FH Z\QLNL XEH]SLHF]HQLD WUZDá\FK XV]F]HUENyZ
]GURZLD Z QDVW
SVWZLH QLHV]F]
OLZ\FK Z\SDGNyZ Z SHZQ\P ]DNáDG]LH SUDF\
1 rok
1200
2 rok
1200
3 rok
1200
4 rok
1200
W\V ]á
W\V ]á
W\V ]á
W\V ]á
W\V ]á
W\V ]á
W\V ]á
W\V ]á
,ORü XEH]SLHF]RQ\FK
Suma ubezpieczenia
Odszkodowania + przyrost rezerw
szkodowych
W\P URNX XEH]SLHF]HQLHP E
G]LH REM
W\FK RVyE D VXPD XEH]SLHF]HQLD
Z\QLHVLH W\V ]á ,OH SRZLQQD Z\QLHü áF]QD VNáDGND ]D SLW\ URN XEH]SLHF]HQLD
DE\ ] SUDZGRSRGRELHVWZHP E\áD RQD ZL
NV]D RG áF]QHM ZDUWRFL V]NyG L
: SL
przyrostu rezerw szkodowych?
8ZDJD SU]\MPXMHP\ QDVW
SXMFH ]DáR*HQLD XSUDV]F]DMFH:
•
•
•
•
•
ND*G\ XEH]SLHF]RQ\ ]D URN F]DVX VWDQRZL SRMHG\QF]H U\]\NR
U\]\ND WH V QLH]DOH*QH WDN Z SU]HNURMX MDN L Z F]DVLH
UR]NáDG LORFL V]NyG QD U\]\NR RUD] UR]NáDG ZDUWRFL V]NRG\ Z\UD*RQ\ Z
procentach sumy ubezpieczenia) nie ulHJDM ]PLDQRP Z ODWDFK OLF]ED U\]\N MHVW Z\VWDUF]DMFD DE\ UR]NáDG áF]QHM ZDUWRFL V]NyG
SU]\EOL*Dü UR]NáDGHP QRUPDOQ\P
ZDUWRü RF]HNLZDQ L ZDULDQFM
V]DFXMHP\ ]D SRPRF W\SRZ\FK GOD SUyENL ]
UR]NáDGX QRUPDOQHJR HVW\PDWRUyZ XZ]JO
GQLDMF RGSRZLHGQLR ]PLDQ\ VNDOL L
liczby ryzyk w kolejnych latach)
•
ZDULDQFM
SUHG\NFML OLF]\P\ ] SRPLQL
FLHP HIHNWX Eá
GX HVW\PDFML REX
parametrów
(A)
W\V ]á
(B)
W\V ]á
(C)
W\V ]á
(D)
W\V ]á
(E)
W\V ]á
5
0DWHPDW\ND XEH]SLHF]H PDM WNRZ\FK
8.04.2000 r.
___________________________________________________________________________
Zadanie 6.
Przy ident\F]Q\FK GDQ\FK MDN Z ]DGDQLX RGSRZLHG] QD WDN VDPR EU]PLFH S\WDQLH
tzn.:
Ä,OH SRZLQQD Z\QLH ü á F]QD VNáDGND ]D SL W\ URN XEH]SLHF]HQLD DE\ ]
SUDZGRSRGRELH VWZHP E\áD RQD ZL NV]D RG á F]QHM ZDUWR FL V]NyG L SU]\URVWX
rezerw szkodowych?”
przy pU]\M
FLX MHGQDN ]PRG\ILNRZDQHM ZHUVML RVWDWQLHJR ] ]DáR*H XSUDV]F]DMF\FK:
• W\P UD]HP XZ]JO
GQLDP\ WDN*H WHQ VNáDGQLN Eá
GX SUHG\NFML NWyU\ MHVW HIHNWHP
Eá
GX HVW\PDFML ] SUyENL ZDUWRFL RF]HNLZDQHM UR]NáDGX QDGDO GOD
XSURV]F]HQLD SRPLMDMF
(A)
W\V ]á
(B)
W\V ]á
(C)
W\V ]á
(D)
W\V ]á
(E)
W\V ]á
HIHNW Eá
GX HVW\PDFML ZDULDQFML UR]NáDGX
6
0DWHPDW\ND XEH]SLHF]H PDM WNRZ\FK
8.04.2000 r.
___________________________________________________________________________
Zadanie 7.
*
*
θ to
L to maksymalna
3URFHV QDGZ\ NL XEH]SLHF]\FLHOD MHVW ]áR RQ\P SURFHVHP 3RLVVRQD Z NWyU\P
VWRVXQNRZ\
FDáNRZLWD
QDU]XW
VWUDWD
Z\MFLRZHJR
D
EH]SLHF]H VWZD
L1
WR
QD
ZDUWRü
R
VNáDGN
1
6
VSDGD
dla 0 ≤ x < 2
dla 2 ≤ x < 4
1
GOD SR]RVWDá\FK x
WR IXQNFMD JHQHUXMFD PRPHQW\ 0 (r) dla r nierównego zeru wynosi:
0
L
(A)
3 ⋅θ ⋅ r
1 + 3r (1 + θ ) − 12 e 2 (e 2 + 1)
(B)
θ ⋅r
1 + r (1 + θ ) − 16 e 2r (e 2 r + 1)
(C)
3 ⋅θ ⋅ r
1 + 3r (1 + θ ) − 12 e 2 r (e 2 r − 1)
(D)
θ ⋅r
1 + r (1 + θ ) − 16 e 2r (e 2 r − 1)
(E)
3 ⋅θ ⋅ r
1 + 3r (1 + θ ) − 12 e 2 r (e 2 r + 1)
SRQL*HM
SR]LRPX
HOL L PD UR]NáDG R J VWR FL
R LOH GR WDNLHJR VSDGNX GRFKRG]L -H*
równej:
1
3
QHWWR GRGDWQL
NWyU QDGZ\*ND
7
0DWHPDW\ND XEH]SLHF]H PDM WNRZ\FK
8.04.2000 r.
___________________________________________________________________________
Zadanie 8.
Niech N 1 , N 2 ,
R]QDF]DM
Z NROHMQ\FK ODWDFK SRF]ZV]\
OLF]E\ V]NyG NWyUH ]GDU]\á\ VL
RG URNX QU SU]HGWHP V]NyG QLH E\áR =DNáDGDP\
MHGQDNRZ\P UR]NáDG]LH 3RLVVRQD R ZDUWRFL
*H V WR QLH]DOH*QH ]PLHQQH ORVRZH R
oczekiwanej λ .D*GD ]H V]NyG NWyUD ]GDU]\áD VL
w roku i-W\P ]RVWDMH ]JáRV]RQD Z URNX i + D JG]LH RSy(QLHQLH D
MHVW ]PLHQQ ORVRZ R
ZDUWRFLDFK *H ]PLHQQH ORVRZH RSLVXMFH RSy(QLHQLH V GOD ZV]\VWNLFK V]NyG QLH]DOH*QH L PDM
*H
Pr(D > n ) > 0 dla dowolnego n QLH LVWQLHMH ÄPDNV\PDOQH PR*OLZH RSy(QLHQLH´
=DNáDGDP\
MHGQDNRZ\ UR]NáDG SUDZGRSRGRELHVWZD R NWyU\P ZLHP\
•
•
lim Pr (D > n ) = 0 ND*GD V]NRGD Z NRFX NLHG\ ]RVWDQLH ]JáRV]RQD
n →∞
Niech Z 1 , Z 2 ,
R]QDF]DM
,
,
OLF]E\ V]NyG ]JáRV]RQ\FK Z NROHMQ\FK ODWDFK
Dla dowolnych Z i , Z j , gdzie i = 1, 2,
j = 1, 2,
(A)
E (Z i ) = VAR(Z i ) < λ
i
COV (Z i , Z j ) = 0
(B)
VAR(Z i ) < E (Z i ) < λ
i
COV (Z i , Z j ) = 0
(C)
E (Z i ) = VAR(Z i ) < λ
i
COV (Z i , Z j ) > 0
(D)
E (Z i ) < VAR(Z i ) < λ
i
COV (Z i , Z j ) < 0
(E)
E (Z i ) < VAR(Z i ) = λ
i
COV (Z i , Z j ) = 0
8
i≠ j
MHVW *H
SUDZG
0DWHPDW\ND XEH]SLHF]H PDMWNRZ\FK
8.04.2000 r.
___________________________________________________________________________
Zadanie 9.
*
*NL XEH]SLHF]\FLHOD U n na koniec roku n
5R]ZD DP\ PRGHO Z NWyU\P VWDQ QDGZ\
równy jest:
U n = U n −1 ⋅ (1 + i ) − i ⋅ u + c − Wn ,
gdzie:
• i UHSUH]HQWXMH VWRS
SU]\FKRGyZ ] LQZHVW\FML QDGZ\*NL LQZHVWXMHP\ QD
SRF]WNX URNX n-WHJR FDá ELH*F QDGZ\*N
L UyZQRF]HQLH Z\UD*D VWRS
G\ZLGHQG\ Z\SáDFDQHM DNFMRQDULXV]RP Z\UD*RQ Z VWRVXQNX GR QDGZ\*NL
SRF]WNRZHM
u)
(
• Wn WR áF]QD ZDUWRü V]NyG Z URNX n-W\P R UR]NáDG]LH QRUPDOQ\P N µ , σ 2
• Wn , Wm V QLH]DOH*Q\PL ]PLHQQ\PL ORVRZ\PL
• c WR VNáDGND ]D URN
Oznaczmy przez Bn ZDUWRü SRF]WNRZ QDGZ\*NL ] NRFa roku n:
Bn =
Un
(1 + i )n
*\WR WHM VDPHM VWRS\ SURFHQWRZHM i,
JG]LH GR FHOyZ G\VNRQWRZDQLD X
a przez B MHM JUDQLF]Q
B = lim Bn .
ZDUWRü B :
n
n →∞
-HOL VWRSD SURFHQWRZD i Z\QRVL WR VNáDGND c NWyUD ]DSHZQLD L*
Pr(B > 0 ) = 0,95 ,
Z\QRVL Z SU]\EOL*HQLX
(A)
c ≈ µ + 0.200 ⋅ σ
(B)
c ≈ µ + 0.230 ⋅ σ
(C)
c ≈ µ + 0.257 ⋅ σ
(D)
c ≈ µ + 0.281 ⋅ σ
(E)
c ≈ µ + 0.303 ⋅ σ
9
)
0DWHPDW\ND XEH]SLHF]H PDM WNRZ\FK
8.04.2000 r.
___________________________________________________________________________
Zadanie 10.
: SRQL*V]HM WDEHOL ]DZDUWH V
Z\QLNL
XEH]SLHF]\FLHOD PDMWNRZHJR W\V (852
SLHUZV]\FK
1 rok
4 000
0
950
0
600
0
700
0
3U]\SLV VNáDGNL
XG]LDá UHDVHNXUDWRUD
Odszkodowania
XG]LDá UHDVHNXUDWRUD
5H]HUZD VNáDGHN
XG]LDá UHDVHNXUDWRUD
Rezerwa szkodowa
XG]LDá UHDVHNXUDWRUD
W ostatnich dniach 2-JR
GZyFK
ODW
G]LDáDOQRFL
2 rok
27 200
2 000
10 000
0
4 000
500
12 000
0
*
URNX GRV]áR GR GX HM V]NRG\ 3R ]DNR
F]HQLX
QDGHV]áD LQIRUPDFMD R ZZ V]NRG]LH REOLF]RQR PDUJLQHV Z\SáDFDOQRFL
URNX ]DQLP
7HUD] QDOH*\
VNRU\JRZDü WR Z\OLF]HQLH
5\]\NR ] NWyUHJR GRV]áR GR V]NRG\ E\áR FKURQLRQH XPRZ
UHDVHNXUDF\MQ
([FHVV RI
/RVV ] ]DFKRZNLHP W\V (852 L SRNU\FLHP GR POQ (852 SRQDG NZRW
]DFKRZNX :LHONRü
V]NRG\
MHVW
V]DFRZDQD
QD
POQ
(852
-DN
]PLHQL
VL
PDUJLQHV Z\SáDFDOQRFL QD NRQLHF GUXJLHJR URNX G]LDáDOQRFL w wyniku dokonania
korekty?
(A)
Z]URQLH R RN POQ (852
(B)
Z]URQLH R RN POQ (852
(C)
QLH ]PLHQL VL
(D)
spadnie o ok. 1,1 mln EURO
(E)
spadnie o ok. 0,6 mln EURO
10
0DWHPDW\ND XEH]SLHF]H PDM WNRZ\FK
8.04.2000 r.
___________________________________________________________________________
Egzamin dla Aktuariuszy z 8 kwietnia 2000 r.
0DWHPDW\ND XEH]SLHF]H PDMWNRZ\FK
Arkusz odpowiedzi*
,PL
L QD]ZLVNR . / 8 & =
2 ' 3 2 : , ( ' = , Pesel ...........................................
Zadanie nr
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
*
♦
2FHQLDQH V
2GSRZLHG(
Punktacja♦
A
E
A
E
B
C
E
A
C
E
Z\á F]QLH RGSRZLHG]L XPLHV]F]RQH Z
:\SHáQLD .RPLVMD (J]DPLQDF\MQD
11
Arkuszu odpowiedzi.