Równania Lagrange`a II rodzaju

Równania Lagrange’a II rodzaju
1. Kolejne wahadło Jednorodny krążek o promieniu R i masie M może obracać się dookoła swojej osi
(patrz rys. 1). Do krążka przymocowano punkt materialny o masie m na nieważkim pręcie o długości l.
Napisz różniczkowe równania ruchu.
————–♠————–
2. Swobodny punkt zawieszenia Dla układu przedstawionego na rysunku 2 wyznacz równania różniczkowe ruchu. Przyjmij, że powierzchnia po której przesuwa się wózek M jest gładka, a pręt łączący
masy M i m - nieważki
————–♠————–
3. Wahadło podwójne Znaleźć przy pomocy równań Lagrange’a II rodzaju ruch pionowy dwóch punktów materialnych o masach m1 i m2 zawieszonych na sprężynach jeden nad drugim (rys. 3). Problem
można zbadać z i bez pola grawitacyjnego.
Rysunek 1: Zadanie ”‘Kolejne Rysunek 2: Zadanie ”Swobodny
punkt zawieszenia”
wahadło”’
Rysunek 3: Wahadło podwójne
————–♠————–
4. Mechanika w elektrostatyce Zbudować funkcję Lagrange’a dla dwóch naładowanych Coulombowsko
cząstek. Wyrazić L przez współrzędne środka masy i odległość względną cząstek. Wyprowadź równania
ruchu w tych współrzędnych
————–♠————–
5. Wahadła sympatyczne Znaleźć przy pomocy równań Lagrange’a II rodzaju i przedyskutować ruch
dwu płaskich wahadeł matematycznych o długości l (punktów materialnych o masie m zawieszonych
na nieważkich prętach o długości l), połączonych ze sobą sprężyną, która nie jest napięta, gdy wahadła
zwisają pionowo. Patrz też rys. 4. Można przyjąć przybliżenie małych kątów
Rysunek 4: Zadanie ”Wahadła sympatyczne”
————–♠————–
6. Mechanika leja po bombie Wyznaczyć ruch punktu materialnego po gładkiej powierzchni obrotowej pod wpływem siły ciężkości. Założyć, że linia tworząca powierzchnię obrotową jest monotonicznie
rosnącą funkcją we współrzędnych (z, r)
————–♠————–
7. Mechanika leja po bombie 2 Wyznaczyć ruch punktu materialnego po gładkiej powierzchni stożkowej o kącie rozwarcia α pod wpływem siły ciężkości.
————–♠————–
8. Wahadło potrójne Znaleźć przy pomocy równań Lagrange’a II rodzaju ruch dwóch płaskich wahadeł matematycznych o jednakowych długościach i masach (l, m), zawieszonych na pręcie poziomym
prostopadłym do ich płaszczyzny wahań, któy z kolei jest zawieszony w ten sposób, iż może wahać się
jak wahadło matematyczne w kierunku równoległym do płaszczyzny obu poprzednich wahadeł (patrz
rysunek 5). Należy przyjąć przybliżenie małych kątów.
Rysunek 5: Zadanie ”Wahadło potrojne”
————–♠————–
9. Wahadło skomplikowane Dany jest układ trzech sztywnych prętów o długości l i masie m każdy,
połączonych w sposób podany na rysunku poniżej (rys. 6). Układ znajduje się w polu siły ciężkości.
Wyznaczyć pełne równania ruchu.
Rysunek 6: Zadanie ”Wahadło skomplikowane”
————–♠————–
10. Wahadło cylindryczne Pusty w środku cylinder o masie M i promieniu R zawieszono u góry za jego
zewnętrzną płaszczyznę, tak, aby mógł swobodnie wahać się w płaszczyźnie kołowego przekroju (patrz
rysunek 7). Wewnątrz cylindra umieszczono walec o masie m i promieniu r < R/2, który swobodnie
może toczyć się po jego wewnętrznej krawędzi. Wyznacz równania ruchu dla tego układu. Można przyjąć
przybliżenie małych kątów.
Rysunek 7: Zadanie ”Wahadło cylindryczne”