KUMULACJA USZKODZEŃ W WARUNKACH ZŁOŻONYCH

KUMULACJA USZKODZEŃ W WARUNKACH ZŁOŻONYCH

MODELOWANIE INŻYNIERSKIE
38, s. 221-228, Gliwice 2009
ISSN 1896-771X
KUMULACJA USZKODZEŃ W WARUNKACH ZŁOŻONYCH
OBCIĄŻEŃ NISKOCYKLOWYCH cz.II. MODEL OBLICZENIOWY
JAROSŁAW SZUSTA, ANDRZEJ SEWERYN
Katedra Mechaniki i Informatyki Stosowanej, Wydział Mechaniczny, Politechnika Białostocka
e-mail:[email protected], a.seweryn@ pb.edu.pl
Streszczenie. W II części niniejszej pracy przedstawiono oryginalny model
kumulacji uszkodzeń zmęczeniowych, umożliwiający wyznaczanie trwałości
zmęczeniowej elementów konstrukcyjnych (wyrażonej liczbą cykli lub czasem
działania obciążenia zmęczeniowego, do momentu inicjacji szczeliny) poddanych
działaniu
złożonych
obciążeń
cyklicznych
(proporcjonalnych
i nieproporcjonalnych) w zakresie małej liczby cykli. W modelu tym bardzo ważne
było odpowiednie sformułowanie prawa kumulacji uszkodzeń oraz prawidłowy
dobór kryterium pękania i zależności konstytutywnych, biorąc pod uwagę to, że
konstrukcja może pracować w warunkach nieproporcjonalnych obciążeń o
złożonej trajektorii oraz w zakresie sprężysto-plastycznym.
1. WSTĘP
Kryteria zmęczeniowe w przypadku obciążeń wieloosiowych często opierają się na
określeniu takiej wielkości równoważnej, która umożliwia porównanie tego obciążenia
z obciążeniem jednoosiowym. Zakłada się wówczas, że kumulacja uszkodzeń zmęczeniowych
będzie taka sama dla wieloosiowego i jednoosiowego obciążenia, jeżeli wielkości równoważne
dla obu tych obciążeń będą jednakowe. Jako wielkości porównawcze przyjmuje się zwykle
maksymalne odkształcenie postaciowe [1], [2], maksymalne naprężenie główne [3],
maksymalne naprężenie styczne [4] lub energię dyssypowaną w materiale [5].
W wielu modelach kumulacji uszkodzeń zmęczeniowych w złożonych stanach obciążenia
nie zwraca się uwagi na zmianę właściwości mechanicznych uszkodzonego materiału,
niezmienne zatem pozostają równania konstytutywne. Modele te wykorzystują jedynie
wielkości makroskopowe, takie jak np. amplitudy, wielkości średnie oraz maksymalne
naprężeń i odkształceń, bez uwzględniania ich zmiany na różnych płaszczyznach fizycznych.
Przykładem tego jest kryterium Mansona oraz Coffina, zmodyfikowane później przez
Morrowa [6]. Kryterium to ma szerokie praktyczne zastosowanie w analizie kumulacji
uszkodzeń w warunkach niskocyklowych obciążeń zmęczeniowych. Stanowi ono podstawę do
formułowania modeli kumulacji uszkodzeń w złożonych stanach obciążenia. Zapisane
z użyciem zakresu równoważnego (w sensie Hubera – von Misesa) odkształcenia Deeq, ma
postać (rys.1):
De eq
2
=
sf
b
c
( 2 N f ) + e f ( 2 Nf ) ,
E
(1)
222
J. SZUSTA, A. SEWERYN
1/ 2
2
gdzie: e eq = æç eij eij ö÷ , eij – składowe dewiatora odkształcenia, Nf - liczba cykli do zniszczenia,
è3
ø
E - moduł Younga, sf, b – odpowiednio współczynnik (naprężenie krytyczne podczas
rozciągania) i wykładnik krzywej wytrzymałości zmęczeniowej, ef, c – współczynnik
(odkształcenie krytyczne) i wykładnik krzywej zmęczeniowej odkształceń plastycznych.
Rys. 1. Krzywa Mansona-Coffina; osie w układzie logarytmicznym
Pomimo dużej liczby kryteriów kumulacji uszkodzeń w złożonych stanach obciążeń
w zakresie małej liczby cykli, żadne z nich nie uzyskało ogólnej akceptacji. Posługiwanie się
tymi kryteriami wymaga dużej ostrożności i powinno być ograniczone do udokumentowanych
doświadczalnie przypadków szczególnych. Istnieje więc uzasadniona potrzeba stworzenia
modelu kumulacji uszkodzeń, za pomocą którego możliwe byłoby prognozowanie trwałości
zmęczeniowej szerszej grupy przypadków obciążeń w zakresie małej liczby cykli.
2. MODEL WZMOCNIENIA MATERIAŁU
Przedstawiony w niniejszej pracy model składa się z dwóch bloków obliczeniowych.
Pierwszy, wiążący historię obciążenia z historią stanu naprężenia i odkształcenia, zawiera
związki konstytutywne (m.in. prawo kinematycznego wzmocnienia materiału, wykorzystujące
model wielopowierzchniowy Mroza [7] z uwzględnieniem modyfikacji Garuda [8]. Umożliwił
on wyznaczenie stanu naprężenia przy zadanym, złożonym stanie odkształcenia (i na odwrót).
Drugi blok algorytmu przeznaczony jest do obliczania przyrostu zmiennej stanu uszkodzenia,
stąd też zawiera prawo kumulacji uszkodzeń oraz kryterium pękania materiału. Te dwa moduły
obliczeniowe łączy historia stanu naprężenia i odkształcenia materiału, która wynika z obliczeń
wykonanych w pierwszym bloku i stanowi podstawowy zbiór danych wejściowych niezbędny
do oceny trwałości obliczonej w drugim bloku.
Niezbędnym warunkiem przeprowadzenia prawidłowych obliczeń jest znajomość pól
naprężeń i odkształceń oraz ich zmienności. W prezentowanym modelu wartości naprężeń
i odkształceń wyznacza się w pierwszym bloku obliczeniowym z wykorzystaniem
przyrostowych związków fizycznych (uogólnionego prawa Hooke’a oraz gradientowego
prawa płynięcia stowarzyszonego z powierzchnią plastyczności):
de ij =
1 +n
n
¶f
ds ij - ds kk d ij + dl
,
E
E
¶s ij
(2)
KUMULACJA USZKODZEŃ W WARUNKACH ZŁOŻONYCH OBCIĄŻEŃ NISKOCYKLOWYCH ... 223
gdzie: deij, dsij – przyrost składowych tensora odkształcenia i naprężenia, dl - współczynnik
proporcjonalności, E - moduł Younga, n - współczynnik Poissona, dij – delta Kroneckera.
Powierzchnie plastyczności określono warunkiem Hubera-von Misesa:
f =
3
( sij - a ij )( sij - a ij ) - R 2 = 0 ,
2
(3)
gdzie: sij - składowe dewiatora naprężenia; aij - składowe tensora określającego translację
powierzchni plastyczności; R – rozmiar powierzchni plastyczności.
Wartości składowych tensorów naprężenia i odkształcenia wyznaczono na podstawie
prawa kinematycznego wzmocnienia, wykorzystującego model wielopowierzchniowy Mroza
[7] z uwzględnieniem modyfikacji Garuda [8].
a)
b)
Rys. 2. Postulaty Mroza: a) Pierwszy postulat i odpowiadająca mu wieloliniowa reprezentacja
krzywej rozciągania oraz ślady przecięcia powierzchni plastyczności płaszczyzną s3 = 0;
b) Prawo translacji powierzchni plastyczności (drugi postulat Mroza zmodyfikowany przez
Garuda)
Mróz sformułował dwa postulaty. Pierwszy postulat (rys. 2a) dotyczy podziału przestrzeni
naprężeń na obszary związane ze stałymi modułami plastycznymi. Są one ograniczone
sąsiednimi powierzchniami plastyczności.
Drugi postulat (rys. 2b) wiąże się z kinematycznym wzmocnieniem materiału i dotyczy
prawa translacji powierzchni plastyczności, traktowanych jako sztywne obiekty geometryczne.
Zmodyfikowany sposób wyznaczania wektora translacji powierzchni plastyczności f(i) = 0
zaproponował Garud [8]. Przyjął on, że punkt opisujący aktualny stan naprężenia sa, leżący na
powierzchni plastyczności f(i) = 0, oraz punkt sf, opisujący fikcyjny stan naprężenia na
powierzchni f(i+1) = 0 są związane kierunkiem przyrostu stanu naprężenia Ds (rys. 2b). Wektor
translacji powierzchni plastyczności f(i) = 0 wyznacza się z warunku styczności powierzchni
f(i) = 0 oraz f(i+1) = 0 w punkcie sf. Powyższe założenie tożsamościowo spełnia warunek
zgodności i jest wystarczające do wyznaczenia kierunku i modułu wektora hipotetycznego
przemieszczenia powierzchni.
Przyrost wektora translacji aktywnej powierzchni plastyczności daij wyznaczono na
podstawie zależności:
da ij = dm (s ij - a ij )
gdzie: dm jest współczynnikiem proporcjonalności.
(4)
224
J. SZUSTA, A. SEWERYN
Szczegółowy opis wyznaczania składowych tensorów naprężenia i odkształcenia
w prezentowanym przypadku znaleźć można np. w pracy [9].
3. MODEL KUMULACJI USZKODZEŃ ZMĘCZENIOWYCH
Większość badaczy za miejsce powstawania defektów w elementach konstrukcyjnych
poddanych działaniu obciążeń niskocyklowych przyjmuje trwałe pasma poślizgów [8],
a inicjacja pęknięcia jest wynikiem kumulacji tych uszkodzeń. Linie poślizgów i składające się
z nich pasma poślizgów są wizualną oznaką odkształceń plastycznych. Pojawiają się one
początkowo w ziarnach najdogodniej zorientowanych względem działającego układu naprężeń.
Wniosek taki wysnuto na podstawie licznych badań, w trakcie których zaobserwowano, że pod
wpływem cyklicznych zmian naprężenia, nawet o wartości mniejszej od trwałej wytrzymałości
zmęczeniowej, na wypolerowanych powierzchniach próbek (wykonanych z metali monoi poliktystalicznych) tworzą się najpierw linie poślizgów, przekształcające się ze wzrostem
liczby cykli obciążenia w zmęczeniowe pasma poślizgów (liczne równoległe uskoki) [10].
W proponowanym modelu przyjęto, że za kumulację uszkodzeń oraz inkubację i rozwój
mikropęknieć w warunkach obciążeń niskocyklowych w materiałach polikrystalicznych
odpowiedzialne są poślizgi w ziarnach, a pośrednio – plastyczne odkształcenia postaciowe.
W związku z tym prawo kumulacji uszkodzeń sformułowano przyrostowo. Przyrost zmiennej
stanu uszkodzenia dwn spowodowanym rozwojem odkształceń plastycznych uzależniono od
naprężeniowej funkcji kumulacji uszkodzeń Yp (sn, wn) oraz przyrostu plastycznych
odkształceń postaciowych dg np na danej płaszczyźnie fizycznej, a mianowicie:
dwn = Ap Ψ p (s n , wn ) dg np ,
(5)
gdzie sn jest naprężeniem normalnym, Ap jest zmienną materiałową opisującą ewolucję
właściwości plastycznych materiału w zależności od aktualnego stanu naprężenia. Można ją
utożsamiać z modułem plastycznym dla kolejnych odcinków krzywej umocnienia (rys. 2a), a
mianowicie:
Ap =
1
3 1
3 é e (i +1) - e ( i ) 1 ù
=
=
- ú.
ê
C (i ) 2 Ep(i ) 2 ë s (i +1) - s ( i ) E û
(6)
Mechanizm kumulacji uszkodzeń opisywany tym prawem przedstawiono na rys. 3.
Rys. 3. Generowanie defektów na płaszczyźnie fizycznej przez pasma poślizgów
Duży wpływ na proces kumulacji uszkodzeń, wywołanych poślizgami na płaszczyźnie
fizycznej, ma składowa normalna wektora naprężenia na tej płaszczyźnie. W przypadku, gdy na
płaszczyźnie fizycznej występuje naprężenie rozciągające, następuje ułatwione generowanie
nowych uszkodzeń i szybszy rozwój już istniejących. Naprężenie ściskające natomiast
spowalnia proces kumulacji uszkodzeń.
KUMULACJA USZKODZEŃ W WARUNKACH ZŁOŻONYCH OBCIĄŻEŃ NISKOCYKLOWYCH ... 225
Fakt ten uwzględniono przy definiowaniu funkcji kumulacji uszkodzeń Yp. Jej wartość
uzależniono od wartości naprężeń normalnych sn oraz zmiennej stanu uszkodzenia wn na
płaszczyźnie fizycznej. Funkcję tę zaproponowano w następującej postaci:
æ 1
ö
Y p (s n , wn ) = ç1 - Rσ (s n , wn ) ÷
è 3
ø
-1/ c
,
(7)
gdzie Rs jest naprężeniową funkcją pękania daną warunkiem maksymalnych naprężeń
s
normalnych: Rσ = n , c jest wykładnikiem krzywej zmęczeniowej odkształceń plastycznych.
sc
Funkcja kumulacji uszkodzeń została dobrana empirycznie, na podstawie badań
w jednoosiowym stanie obciążenia, analogicznie do modelu energetycznego przedstawionego
w pracy Seweryna i innych [9]. Przyjmuje ona w charakterystycznych punktach następujące
wartości: Yp(sn = 0) = 1 oraz Yp(sn →3sc(wp)) → ∞.
Zaprezentowane powyżej prawo kumulacji uszkodzeń jest bezpośrednio powiązane
zarówno z krzywą wzmocnienia, jak i krzywą wytrzymałości zmęczeniowej Mansona-Coffina.
W przedstawionym modelu założono, że inicjacja szczeliny nastąpi, gdy zostanie spełniony
jeden z dwóch warunków pękania. W pierwszym przyjęto, że inicjacja pęknięcia wystąpi
wówczas, gdy naprężeniowy współczynnik pękania na dowolnej płaszczyźnie fizycznej
osiągnie wartość krytyczną, a mianowicie:
æs ö
Rfσ = max Rσ (s n , wn ) = max ç n ÷ = 1 ,
(n)
(n)
è sc ø
(8)
gdzie Rfs jest naprężeniowym współczynnikiem pękania, sc jest aktualną wartością normalnych
naprężeń niszczących dla materiału, zależną od zmiennej stanu uszkodzenia: sc=sc0(1-wn),
gdzie sc0 jest naprężeniem niszczącym dla materiału bez uszkodzeń podczas rozciągania.
W drugim warunku pękania zakłada się, że inicjacja szczeliny nastąpi wówczas, gdy
zmienna stanu uszkodzenia wywołana odkształceniami plastycznymi na dowolnej płaszczyźnie
fizycznej osiągnie wartość krytyczną, a mianowicie:
max wn = 1 .
(n )
(9)
4. WERYFIKACJA MODELU KUMULACJI USZKODZEŃ NA PODSTAWIE WYNIKÓW
WŁASNYCH BADAŃ DOŚWIADCZALNYCH
Zaproponowany model kumulacji uszkodzeń zmęczeniowych zweryfikowano
doświadczalnie. Wykorzystano do tego m.in. wyniki własnych badań doświadczalnych
przeprowadzonych na technicznym stopie aluminium EN AW-2007 w stanie wyżarzonym.
Wartości parametrów materiałowych dla tego stopu aluminium zamieszczono w I części
niniejszej pracy.
226
J. SZUSTA, A. SEWERYN
4
1x10
ea
0,0025
0,0035
0,005
0,008
0,01
0,02
Nf (obliczenia)
1x103
Nf
(eksp.)
7480
2066
699
290
173
75
Nf
(obl.)
7162
1986
741
275
213
89
1x102
1
1x10
1x101
1x102
1x103
Nf (eksperyment)
1x104
Rys. 4. Porównanie wyników obliczeń numerycznych z danymi eksperymentalnymi dla
symetrycznego rozciągania-ściskania próbek ze stopu aluminium EN AW-2007
5
1x10
ga
0,0035
0,0045
0,006
0,0075
0,009
0,0135
0,02
0,029
N f (obliczenia)
1x104
3
1x10
Nf
(eksp.)
9679
5232
2964
1905
1253
455
168
63
Nf
(obl.)
11182
6143
3325
1938
1462
621
207
86
1x102
1
1x10
1
1x10
2
1x10
3
1x10
Nf (eksperyment)
4
1x10
5
1x10
Rys. 5. Porównanie wyników obliczeń numerycznych (odkształceniowy model kumulacji
uszkodzeń) z danymi eksperymentalnymi dla symetrycznego skręcania próbek ze stopu
aluminium EN AW-2007
KUMULACJA USZKODZEŃ W WARUNKACH ZŁOŻONYCH OBCIĄŻEŃ NISKOCYKLOWYCH ... 227
Obliczenia numeryczne wykonano dla dwóch podstawowych typów obciążeń
jednoosiowych (symetryczne rozciąganie-ściskanie oraz symetryczne skręcanie), posługując się
zaproponowanym odkształceniowym modelem kumulacji uszkodzeń zmęczeniowych W obu
przypadkach obciążenie zadawano (zarówno w badaniach doświadczalnych, jak
i w obliczeniach) za pomocą przyrostów składowych tensora odkształcenia.
Parametry cyklicznej krzywej wzmocnienia stopu aluminium EN AW-2007 przedstawiono
w I części pracy.
Na rysunkach 4 oraz 5 przedstawiono w sposób graficzny wyniki analizy numerycznej oraz
badań doświadczalnych dla dwóch podstawowych typów obciążenia (rozciągania-ściskania
i skręcania).
Kolejne obliczenia wykonano dla przypadku obciążeń złożonych. Wykorzystano w tym celu
wyniki własnych badań doświadczalnych stopu aluminium EN AW-2007 w stanie
wyżarzonym. Próbki poddano działaniu cyklicznego obciążenia momentem skręcającym i siłą
rozciągającą lub ściskającą. We wszystkich przypadkach historie obciążenia tworzyły
ukierunkowane wieloodcinkowe pętle. Ich konfiguracje i parametry zamieszczono w I części
pracy. Zestawienie wyników badań doświadczalnych i obliczeń numerycznych zamieszczono
na rys. 6.
5
1x10
4
Nf (obliczenia)
1x10
stop EN AW-2007
RS0
R_S
RS45
RS90
RSB
R1S2
R2S1
R4S1
R2S3
R3S2
RSK
RST1
RST3
1x103
1x102
1x102
1x103
1x104
Nf (eksperyment)
1x105
Rys. 6. Porównanie wyników obliczeń numerycznych z danymi eksperymentalnymi dla stopu
aluminium EN AW-2007 dla złożonych historii obciążeń
5. PODSUMOWANIE
W pracy przedstawiono model kumulacji uszkodzeń, za pomocą którego możliwe jest
obliczanie trwałości zmęczeniowej elementów konstrukcyjnych pracujących w warunkach
złożonych (proporcjonalnych i nieproporcjonalnych) obciążeń niskocyklowych. Proponowany
model, dzięki odpowiednim równaniom konstytutywnym w tym modelowi umocnienia
228
J. SZUSTA, A. SEWERYN
materiału, umożliwiał obliczanie zmienności pól naprężeń i odkształceń dla dowolnej historii
obciążenia. Stałe materiałowe występujące w opracowywanym modelu wyznaczane są
w jednoosiowych testach zmęczeniowych. Przeprowadzona weryfikacja doświadczalna modelu
na przykładzie stopu aluminium EN AW-2007 wykazała dobrą zgodność obliczeń trwałości
zmęczeniowej z danymi eksperymentalnymi i to zarówno w zakresie jednoosiowych
(rozciąganie-ściskanie oraz skręcanie), jak też złożonych obciążeń.
LITERATURA
1. Wang Y., Yao W.: A multiaxial fatigue criterion for various metallic materials under
proportional and nonproportional loading. “Int Jnl of Fatigue” 2006; (28), p. 401–408.
2. Kim K. S., Park J. C.: Shear strain based multiaxial fatigue parameters applied to variable
amplitude loading. “Int Jnl of Fatigue” 1999; (21), p. 475-483.
3. Fatemi A., Socie D.F.: A critical plane approach to multiaxial fatigue including out-ofphase loading. “Fatigue Fract Eng Mater Struct.” 1988; (11), p. 144-165.
4. Harik V.M., Klinger J.R., Bogetti T.A.: Low-cycle fatigue of unidirectional composites:
Bi-linear S–N curves. “Int Jnl of Fatigue” 2002; (24), p. 455–462.
5. Glinka G., Shen G., Plumtree A.: A multiaxial fatigue strain energy density parameter
related to the critical plane. “Fatigue Fract Eng Mater Struc.”t 1995; (18), p. 37-46.
6. Morrow J. D.:, Cyclic plastic stain energy and fatigue of metals, In: Internal Friction,
Damping and Cyclic Plasticity, ASTM STP 1965; 378, Philadelfia, p. 45-84.
7. Mróz Z. An attempt to describe the behaviour of metals under cyclic loads using a more
general workhardening model. “Acta Mech.” 1967; (7), p. 199-212.
8. Garud Y. S.: A new approach to the evaluation of fatigue under multiaxial loadings.
“Trans. ASME, Jnl. Eng. Mater. Technol.” 1981; (103), p. 118-125.
9. Seweryn A., Buczyński A., Szusta J.: Damage accumulation model for low cycle fatigue.
Int Jnl of Fatigue 2008; (30), s. 756-765.
10. Han C., Chen X., Kim S., Eva1uation of multiaxial fatigue criteria under irregular loading.
“Int Jnl of Fatigue” 2002; (24), p. 913-922.
DAMAGE ACCUMULATION UNDER COMPLEX LOWCYCLE FATIGUE
Part II. ANALYTICAL MODEL
Summary. In the second part of this paper, the original model of damage
accumulation was presented. It enables to define the number of cycles or the time
for a safe application of complex low cycle fatigue (proportional and nonproportional) to machine components with arbitrary shape. Formulation of the
damage accumulation law, crack initiation condition and constitutive relations
introduce a very important contribution to the accuracy of the life predictions
estimated in this model, especially, that the construction can work under nonproportional loadings in the elastic-plastic range.
Praca naukowa finansowana ze środków Ministerstwa Nauki i Szkolnictwa Wyższego,
jako projekt badawczy nr W/WM/1/08