Krótka opowieść z życia kapitału - Aktywny w szkole – aktywny w życiu

Krótka opowieść z życia kapitału
Maciej Sablik
Instytut Matematyki
Katowice – Aktywny w szkole – aktywny w życiu – 5 grudnia 2009 r.
Oszczędzamy
Oprocentowanie stałe r = 12% w skali roku. Kapitał K = 1000
złotych po roku daje:
1000 + 12% · 1000 = (1 + 12%) · 1000 = 1120
Wysokość odsetek: 120 złotych.
Oprocentowanie stałe r = 12% w skali roku. Kapitał K = 1000
złotych po roku daje:
1000 + 12% · 1000 = (1 + 12%) · 1000 = 1120
Wysokość odsetek: 120 złotych.
Oprocentowanie stałe r = 12% w skali roku. Kapitał K = 1000
złotych po roku daje:
1000 + 12% · 1000 = (1 + 12%) · 1000 = 1120
Wysokość odsetek: 120 złotych.
Oprocentowanie stałe r = 12% w skali roku. Kapitał K = 1000
złotych po roku daje:
1000 + 12% · 1000 = (1 + 12%) · 1000 = 1120
Wysokość odsetek: 120 złotych.
Oprocentowanie stałe r = 12% w skali roku. Kapitał K = 1000
złotych po 6 miesiącach daje:
1000 +
6
· 12% · 1000 = (1 + 6%) · 1000 = 1060.
12
Kapitał K = 1060 złotych po kolejnych 6 miesiącach daje:
1060 +
6
· 12% · 1060 = (1 + 6%) · 1060 = 1123, 6.
12
Wysokość odsetek: 123, 6 złotych. Odsetki są wyższe o 3, 6 zł!!!
Oprocentowanie stałe r = 12% w skali roku. Kapitał K = 1000
złotych po 6 miesiącach daje:
1000 +
6
· 12% · 1000 = (1 + 6%) · 1000 = 1060.
12
Kapitał K = 1060 złotych po kolejnych 6 miesiącach daje:
1060 +
6
· 12% · 1060 = (1 + 6%) · 1060 = 1123, 6.
12
Wysokość odsetek: 123, 6 złotych. Odsetki są wyższe o 3, 6 zł!!!
Oprocentowanie stałe r = 12% w skali roku. Kapitał K = 1000
złotych po 6 miesiącach daje:
1000 +
6
· 12% · 1000 = (1 + 6%) · 1000 = 1060.
12
Kapitał K = 1060 złotych po kolejnych 6 miesiącach daje:
1060 +
6
· 12% · 1060 = (1 + 6%) · 1060 = 1123, 6.
12
Wysokość odsetek: 123, 6 złotych. Odsetki są wyższe o 3, 6 zł!!!
Oprocentowanie stałe r = 12% w skali roku. Kapitał K = 1000
złotych po 6 miesiącach daje:
1000 +
6
· 12% · 1000 = (1 + 6%) · 1000 = 1060.
12
Kapitał K = 1060 złotych po kolejnych 6 miesiącach daje:
1060 +
6
· 12% · 1060 = (1 + 6%) · 1060 = 1123, 6.
12
Wysokość odsetek: 123, 6 złotych. Odsetki są wyższe o 3, 6 zł!!!
Oprocentowanie stałe r = 12% w skali roku. Kapitał K = 1000
złotych po 6 miesiącach daje:
1000 +
6
· 12% · 1000 = (1 + 6%) · 1000 = 1060.
12
Kapitał K = 1060 złotych po kolejnych 6 miesiącach daje:
1060 +
6
· 12% · 1060 = (1 + 6%) · 1060 = 1123, 6.
12
Wysokość odsetek: 123, 6 złotych. Odsetki są wyższe o 3, 6 zł!!!
Oprocentowanie stałe r = 12% w skali roku. Kapitał K = 1000
złotych po 6 miesiącach daje:
1000 +
6
· 12% · 1000 = (1 + 6%) · 1000 = 1060.
12
Kapitał K = 1060 złotych po kolejnych 6 miesiącach daje:
1060 +
6
· 12% · 1060 = (1 + 6%) · 1060 = 1123, 6.
12
Wysokość odsetek: 123, 6 złotych. Odsetki są wyższe o 3, 6 zł!!!
Oprocentowanie stałe r = 12% w skali roku. Kapitał K = 1000
złotych po 6 miesiącach daje:
1000 +
6
· 12% · 1000 = (1 + 6%) · 1000 = 1060.
12
Kapitał K = 1060 złotych po kolejnych 6 miesiącach daje:
1060 +
6
· 12% · 1060 = (1 + 6%) · 1060 = 1123, 6.
12
Wysokość odsetek: 123, 6 złotych. Odsetki są wyższe o 3, 6 zł!!!
Kapitał K = 1000 złotych po 3 miesiącach wynosi
1000 +
3
· 12% · 1000 = (1 + 3%) · 1000 = 1030.
12
Kapitał K = 1030 złotych po kolejnych 3 miesiącach wynosi
1030 +
3
· 12% · 1030 = (1 + 3%) · 1030 = 1060, 9.
12
Kapitał K = 1060, 9 złotych po kolejnych 3 miesiącach wynosi
1060, 9 +
3
· 12% · 1060, 9 = (1 + 3%) · 1060, 9 = 1092, 727.
12
Kapitał K = 1092, 727 złotych po kolejnych 3 miesiącach wynosi
1092, 727+
3
·12%·1092, 727 = (1+3%)·1092, 727 = 1125, 50881.
12
Wysokość odsetek: 125, 51 złotych!
Kapitał K = 1000 złotych po 3 miesiącach wynosi
1000 +
3
· 12% · 1000 = (1 + 3%) · 1000 = 1030.
12
Kapitał K = 1030 złotych po kolejnych 3 miesiącach wynosi
1030 +
3
· 12% · 1030 = (1 + 3%) · 1030 = 1060, 9.
12
Kapitał K = 1060, 9 złotych po kolejnych 3 miesiącach wynosi
1060, 9 +
3
· 12% · 1060, 9 = (1 + 3%) · 1060, 9 = 1092, 727.
12
Kapitał K = 1092, 727 złotych po kolejnych 3 miesiącach wynosi
1092, 727+
3
·12%·1092, 727 = (1+3%)·1092, 727 = 1125, 50881.
12
Wysokość odsetek: 125, 51 złotych!
Kapitał K = 1000 złotych po 3 miesiącach wynosi
1000 +
3
· 12% · 1000 = (1 + 3%) · 1000 = 1030.
12
Kapitał K = 1030 złotych po kolejnych 3 miesiącach wynosi
1030 +
3
· 12% · 1030 = (1 + 3%) · 1030 = 1060, 9.
12
Kapitał K = 1060, 9 złotych po kolejnych 3 miesiącach wynosi
1060, 9 +
3
· 12% · 1060, 9 = (1 + 3%) · 1060, 9 = 1092, 727.
12
Kapitał K = 1092, 727 złotych po kolejnych 3 miesiącach wynosi
1092, 727+
3
·12%·1092, 727 = (1+3%)·1092, 727 = 1125, 50881.
12
Wysokość odsetek: 125, 51 złotych!
Kapitał K = 1000 złotych po 3 miesiącach wynosi
1000 +
3
· 12% · 1000 = (1 + 3%) · 1000 = 1030.
12
Kapitał K = 1030 złotych po kolejnych 3 miesiącach wynosi
1030 +
3
· 12% · 1030 = (1 + 3%) · 1030 = 1060, 9.
12
Kapitał K = 1060, 9 złotych po kolejnych 3 miesiącach wynosi
1060, 9 +
3
· 12% · 1060, 9 = (1 + 3%) · 1060, 9 = 1092, 727.
12
Kapitał K = 1092, 727 złotych po kolejnych 3 miesiącach wynosi
1092, 727+
3
·12%·1092, 727 = (1+3%)·1092, 727 = 1125, 50881.
12
Wysokość odsetek: 125, 51 złotych!
Kapitał K = 1000 złotych po 3 miesiącach wynosi
1000 +
3
· 12% · 1000 = (1 + 3%) · 1000 = 1030.
12
Kapitał K = 1030 złotych po kolejnych 3 miesiącach wynosi
1030 +
3
· 12% · 1030 = (1 + 3%) · 1030 = 1060, 9.
12
Kapitał K = 1060, 9 złotych po kolejnych 3 miesiącach wynosi
1060, 9 +
3
· 12% · 1060, 9 = (1 + 3%) · 1060, 9 = 1092, 727.
12
Kapitał K = 1092, 727 złotych po kolejnych 3 miesiącach wynosi
1092, 727+
3
·12%·1092, 727 = (1+3%)·1092, 727 = 1125, 50881.
12
Wysokość odsetek: 125, 51 złotych!
Sformalizujmy nasze dotychczasowe rozważania: jeżeli procedurę
powtórzymy n razy w ciągu roku, to nasz kapitał wyniesie
r
K 1+
n
n
.
Okazuje się, że jeżeli n jest bardzo duże, to wartość naszego
kapitału dąży do
r
K 1+
n
n
−→ K · e r ≈ K · (2, 718)r .
Przykładowo, dla stopy procentowej r = 12% i kapitału K = 1000
do którego odsetki dopisywane są przez cały czas, nasz kapitał
wyniesie
1000 · (2, 718)0,12 ≈ 1127, 50.
Sformalizujmy nasze dotychczasowe rozważania: jeżeli procedurę
powtórzymy n razy w ciągu roku, to nasz kapitał wyniesie
r
K 1+
n
n
.
Okazuje się, że jeżeli n jest bardzo duże, to wartość naszego
kapitału dąży do
r
K 1+
n
n
−→ K · e r ≈ K · (2, 718)r .
Przykładowo, dla stopy procentowej r = 12% i kapitału K = 1000
do którego odsetki dopisywane są przez cały czas, nasz kapitał
wyniesie
1000 · (2, 718)0,12 ≈ 1127, 50.
Sformalizujmy nasze dotychczasowe rozważania: jeżeli procedurę
powtórzymy n razy w ciągu roku, to nasz kapitał wyniesie
r
K 1+
n
n
.
Okazuje się, że jeżeli n jest bardzo duże, to wartość naszego
kapitału dąży do
r
K 1+
n
n
−→ K · e r ≈ K · (2, 718)r .
Przykładowo, dla stopy procentowej r = 12% i kapitału K = 1000
do którego odsetki dopisywane są przez cały czas, nasz kapitał
wyniesie
1000 · (2, 718)0,12 ≈ 1127, 50.
Podsumujmy teraz jak urosły nasze pieniądze
Odsetki z kapitału K = 1000 po roku:
kapitalizacja 1 raz w roku: 120, 00
kapitalizacja 2 razy w roku: 123, 60
kapitalizacja 4 razy w roku: 125, 51
kapitalizacja przez cały czas: 127, 50
Odsetki z kapitału K = 1000 po roku:
kapitalizacja 1 raz w roku: 120, 00
kapitalizacja 2 razy w roku: 123, 60
kapitalizacja 4 razy w roku: 125, 51
kapitalizacja przez cały czas: 127, 50
Odsetki z kapitału K = 1000 po roku:
kapitalizacja 1 raz w roku: 120, 00
kapitalizacja 2 razy w roku: 123, 60
kapitalizacja 4 razy w roku: 125, 51
kapitalizacja przez cały czas: 127, 50
Odsetki z kapitału K = 1000 po roku:
kapitalizacja 1 raz w roku: 120, 00
kapitalizacja 2 razy w roku: 123, 60
kapitalizacja 4 razy w roku: 125, 51
kapitalizacja przez cały czas: 127, 50
Odsetki z kapitału K = 1000 po roku:
kapitalizacja 1 raz w roku: 120, 00
kapitalizacja 2 razy w roku: 123, 60
kapitalizacja 4 razy w roku: 125, 51
kapitalizacja przez cały czas: 127, 50
∆+ := {(s, t) ∈ R2+ : s ¬ t}
∆ := {(s, t) ∈ R2 : s ¬ t}
∆+ := {(s, t) ∈ R2+ : s ¬ t}
∆ := {(s, t) ∈ R2 : s ¬ t}
Oprocentowanie złożone
Twierdzenie 1. Jeśli A : R+ × ∆+ 7−→ R spełnia:
(A1)
A(K1 + K2 , s, t) = A(K1 , s, t) + A(K2 , s, t)
(A2)
A(A(K , s, t), t, u) = A(K , s, u)
(A3)
A(K , s, t) ­ K ,
(A4)
t − s = t 0 − s 0 =⇒ A(K , s, t) = A(K , s 0 , t 0 )
to istnieje taka liczba δ ­ 0 (i ­ 0), że
A(K , s, t) = K exp(δ(t − s)) (= K (1 + i)(t−s) ).
Oprocentowanie złożone
Twierdzenie 1. Jeśli A : R+ × ∆+ 7−→ R spełnia:
(A1)
A(K1 + K2 , s, t) = A(K1 , s, t) + A(K2 , s, t)
(A2)
A(A(K , s, t), t, u) = A(K , s, u)
(A3)
A(K , s, t) ­ K ,
(A4)
t − s = t 0 − s 0 =⇒ A(K , s, t) = A(K , s 0 , t 0 )
to istnieje taka liczba δ ­ 0 (i ­ 0), że
A(K , s, t) = K exp(δ(t − s)) (= K (1 + i)(t−s) ).
Oprocentowanie złożone
Twierdzenie 1. Jeśli A : R+ × ∆+ 7−→ R spełnia:
(A1)
A(K1 + K2 , s, t) = A(K1 , s, t) + A(K2 , s, t)
(A2)
A(A(K , s, t), t, u) = A(K , s, u)
(A3)
A(K , s, t) ­ K ,
(A4)
t − s = t 0 − s 0 =⇒ A(K , s, t) = A(K , s 0 , t 0 )
to istnieje taka liczba δ ­ 0 (i ­ 0), że
A(K , s, t) = K exp(δ(t − s)) (= K (1 + i)(t−s) ).
Oprocentowanie złożone
Twierdzenie 1. Jeśli A : R+ × ∆+ 7−→ R spełnia:
(A1)
A(K1 + K2 , s, t) = A(K1 , s, t) + A(K2 , s, t)
(A2)
A(A(K , s, t), t, u) = A(K , s, u)
(A3)
A(K , s, t) ­ K ,
(A4)
t − s = t 0 − s 0 =⇒ A(K , s, t) = A(K , s 0 , t 0 )
to istnieje taka liczba δ ­ 0 (i ­ 0), że
A(K , s, t) = K exp(δ(t − s)) (= K (1 + i)(t−s) ).
Oprocentowanie złożone
Twierdzenie 1. Jeśli A : R+ × ∆+ 7−→ R spełnia:
(A1)
A(K1 + K2 , s, t) = A(K1 , s, t) + A(K2 , s, t)
(A2)
A(A(K , s, t), t, u) = A(K , s, u)
(A3)
A(K , s, t) ­ K ,
(A4)
t − s = t 0 − s 0 =⇒ A(K , s, t) = A(K , s 0 , t 0 )
to istnieje taka liczba δ ­ 0 (i ­ 0), że
A(K , s, t) = K exp(δ(t − s)) (= K (1 + i)(t−s) ).
Oprocentowanie złożone
Twierdzenie 1. Jeśli A : R+ × ∆+ 7−→ R spełnia:
(A1)
A(K1 + K2 , s, t) = A(K1 , s, t) + A(K2 , s, t)
(A2)
A(A(K , s, t), t, u) = A(K , s, u)
(A3)
A(K , s, t) ­ K ,
(A4)
t − s = t 0 − s 0 =⇒ A(K , s, t) = A(K , s 0 , t 0 )
to istnieje taka liczba δ ­ 0 (i ­ 0), że
A(K , s, t) = K exp(δ(t − s)) (= K (1 + i)(t−s) ).
Oprocentowanie złożone
Twierdzenie 1. Jeśli A : R+ × ∆+ 7−→ R spełnia:
(A1)
A(K1 + K2 , s, t) = A(K1 , s, t) + A(K2 , s, t)
(A2)
A(A(K , s, t), t, u) = A(K , s, u)
(A3)
A(K , s, t) ­ K ,
(A4)
t − s = t 0 − s 0 =⇒ A(K , s, t) = A(K , s 0 , t 0 )
to istnieje taka liczba δ ­ 0 (i ­ 0), że
A(K , s, t) = K exp(δ(t − s)) (= K (1 + i)(t−s) ).
Oprocentowanie złożone
Twierdzenie 1. Jeśli A : R+ × ∆+ 7−→ R spełnia:
(A1)
A(K1 + K2 , s, t) = A(K1 , s, t) + A(K2 , s, t)
(A2)
A(A(K , s, t), t, u) = A(K , s, u)
(A3)
A(K , s, t) ­ K ,
(A4)
t − s = t 0 − s 0 =⇒ A(K , s, t) = A(K , s 0 , t 0 )
to istnieje taka liczba δ ­ 0 (i ­ 0), że
A(K , s, t) = K exp(δ(t − s)) (= K (1 + i)(t−s) ).
Oprocentowanie złożone
Twierdzenie 1. Jeśli A : R+ × ∆+ 7−→ R spełnia:
(A1)
A(K1 + K2 , s, t) = A(K1 , s, t) + A(K2 , s, t)
(A2)
A(A(K , s, t), t, u) = A(K , s, u)
(A3)
A(K , s, t) ­ K ,
(A4)
t − s = t 0 − s 0 =⇒ A(K , s, t) = A(K , s 0 , t 0 )
to istnieje taka liczba δ ­ 0 (i ­ 0), że
A(K , s, t) = K exp(δ(t − s)) (= K (1 + i)(t−s) ).
Oprocentowanie proste
Twierdzenie 2. Jeśli P : R+ × ∆+ 7−→ R spełnia:
(P1)
(P2)
P(K1 + K2 , s, t) = P(K1 , s, t) + P(K2 , s, t)
P(K , s, t) − K + P(K , t, u) − K = P(K , s, u) − K
(P3)
P(K , s, t) ­ K ,
(P4)
t − s = t 0 − s 0 =⇒ P(K , s, t) = P(K , s 0 , t 0 )
to istnieje taka liczba i ­ 0, że
P(K , s, t) = K (1 + i(t − s)).
Oprocentowanie proste
Twierdzenie 2. Jeśli P : R+ × ∆+ 7−→ R spełnia:
(P1)
(P2)
P(K1 + K2 , s, t) = P(K1 , s, t) + P(K2 , s, t)
P(K , s, t) − K + P(K , t, u) − K = P(K , s, u) − K
(P3)
P(K , s, t) ­ K ,
(P4)
t − s = t 0 − s 0 =⇒ P(K , s, t) = P(K , s 0 , t 0 )
to istnieje taka liczba i ­ 0, że
P(K , s, t) = K (1 + i(t − s)).
Oprocentowanie proste
Twierdzenie 2. Jeśli P : R+ × ∆+ 7−→ R spełnia:
(P1)
(P2)
P(K1 + K2 , s, t) = P(K1 , s, t) + P(K2 , s, t)
P(K , s, t) − K + P(K , t, u) − K = P(K , s, u) − K
(P3)
P(K , s, t) ­ K ,
(P4)
t − s = t 0 − s 0 =⇒ P(K , s, t) = P(K , s 0 , t 0 )
to istnieje taka liczba i ­ 0, że
P(K , s, t) = K (1 + i(t − s)).
Oprocentowanie proste
Twierdzenie 2. Jeśli P : R+ × ∆+ 7−→ R spełnia:
(P1)
(P2)
P(K1 + K2 , s, t) = P(K1 , s, t) + P(K2 , s, t)
P(K , s, t) − K + P(K , t, u) − K = P(K , s, u) − K
(P3)
P(K , s, t) ­ K ,
(P4)
t − s = t 0 − s 0 =⇒ P(K , s, t) = P(K , s 0 , t 0 )
to istnieje taka liczba i ­ 0, że
P(K , s, t) = K (1 + i(t − s)).
Oprocentowanie proste
Twierdzenie 2. Jeśli P : R+ × ∆+ 7−→ R spełnia:
(P1)
(P2)
P(K1 + K2 , s, t) = P(K1 , s, t) + P(K2 , s, t)
P(K , s, t) − K + P(K , t, u) − K = P(K , s, u) − K
(P3)
P(K , s, t) ­ K ,
(P4)
t − s = t 0 − s 0 =⇒ P(K , s, t) = P(K , s 0 , t 0 )
to istnieje taka liczba i ­ 0, że
P(K , s, t) = K (1 + i(t − s)).
Oprocentowanie proste
Twierdzenie 2. Jeśli P : R+ × ∆+ 7−→ R spełnia:
(P1)
(P2)
P(K1 + K2 , s, t) = P(K1 , s, t) + P(K2 , s, t)
P(K , s, t) − K + P(K , t, u) − K = P(K , s, u) − K
(P3)
P(K , s, t) ­ K ,
(P4)
t − s = t 0 − s 0 =⇒ P(K , s, t) = P(K , s 0 , t 0 )
to istnieje taka liczba i ­ 0, że
P(K , s, t) = K (1 + i(t − s)).
Oprocentowanie proste
Twierdzenie 2. Jeśli P : R+ × ∆+ 7−→ R spełnia:
(P1)
(P2)
P(K1 + K2 , s, t) = P(K1 , s, t) + P(K2 , s, t)
P(K , s, t) − K + P(K , t, u) − K = P(K , s, u) − K
(P3)
P(K , s, t) ­ K ,
(P4)
t − s = t 0 − s 0 =⇒ P(K , s, t) = P(K , s 0 , t 0 )
to istnieje taka liczba i ­ 0, że
P(K , s, t) = K (1 + i(t − s)).
Oprocentowanie proste
Twierdzenie 2. Jeśli P : R+ × ∆+ 7−→ R spełnia:
(P1)
(P2)
P(K1 + K2 , s, t) = P(K1 , s, t) + P(K2 , s, t)
P(K , s, t) − K + P(K , t, u) − K = P(K , s, u) − K
(P3)
P(K , s, t) ­ K ,
(P4)
t − s = t 0 − s 0 =⇒ P(K , s, t) = P(K , s 0 , t 0 )
to istnieje taka liczba i ­ 0, że
P(K , s, t) = K (1 + i(t − s)).
Procent prosty a procent składany
A teraz zobaczmy jak praktycznie liczymy odsetki...
Praktyczna zasada obliczania odsetek
dse := min{z ∈ Z : z ­ s}
bsc := max{z ∈ Z : z ¬ s}
s ∈ Z ⇐⇒ dse = bsc = s.
Odsetki są liczone w bankach następująco (K ­ 0, (s, t) ∈ ∆):
B(K , s, t) =
K (1 + i(t − s)),
K (1 + i(dse − s))(1 + i)btc−dse (1 + i(t − btc)),
jeśli dse = dte,
jeśli dse < dte.
Praktyczna zasada obliczania odsetek
dse := min{z ∈ Z : z ­ s}
bsc := max{z ∈ Z : z ¬ s}
s ∈ Z ⇐⇒ dse = bsc = s.
Odsetki są liczone w bankach następująco (K ­ 0, (s, t) ∈ ∆):
B(K , s, t) =
K (1 + i(t − s)),
K (1 + i(dse − s))(1 + i)btc−dse (1 + i(t − btc)),
jeśli dse = dte,
jeśli dse < dte.
Praktyczna zasada obliczania odsetek
dse := min{z ∈ Z : z ­ s}
bsc := max{z ∈ Z : z ¬ s}
s ∈ Z ⇐⇒ dse = bsc = s.
Odsetki są liczone w bankach następująco (K ­ 0, (s, t) ∈ ∆):
B(K , s, t) =
K (1 + i(t − s)),
K (1 + i(dse − s))(1 + i)btc−dse (1 + i(t − btc)),
jeśli dse = dte,
jeśli dse < dte.
Praktyczna zasada obliczania odsetek
dse := min{z ∈ Z : z ­ s}
bsc := max{z ∈ Z : z ¬ s}
s ∈ Z ⇐⇒ dse = bsc = s.
Odsetki są liczone w bankach następująco (K ­ 0, (s, t) ∈ ∆):
B(K , s, t) =
K (1 + i(t − s)),
K (1 + i(dse − s))(1 + i)btc−dse (1 + i(t − btc)),
jeśli dse = dte,
jeśli dse < dte.
Praktyczna zasada obliczania odsetek
dse := min{z ∈ Z : z ­ s}
bsc := max{z ∈ Z : z ¬ s}
s ∈ Z ⇐⇒ dse = bsc = s.
Odsetki są liczone w bankach następująco (K ­ 0, (s, t) ∈ ∆):
B(K , s, t) =
K (1 + i(t − s)),
K (1 + i(dse − s))(1 + i)btc−dse (1 + i(t − btc)),
jeśli dse = dte,
jeśli dse < dte.
System ten ma następujące wady:
B(K , 0, 1) = K (1 + i) <
i 2
1
1
K 1+
= B B K , 0,
, ,1
2
2
2
(warto reinwestować!) oraz
B(K , 0, 1) = K (1 + i) <
i 2
1 3
K 1+
,
= B K, ,
2
2 2
(a więc wartość zależy od momentu złożenia depozytu, a nie od
czasu trwania lokaty!)
System ten ma następujące wady:
B(K , 0, 1) = K (1 + i) <
i 2
1
1
K 1+
= B B K , 0,
, ,1
2
2
2
(warto reinwestować!) oraz
B(K , 0, 1) = K (1 + i) <
i 2
1 3
K 1+
,
= B K, ,
2
2 2
(a więc wartość zależy od momentu złożenia depozytu, a nie od
czasu trwania lokaty!)
System ten ma następujące wady:
B(K , 0, 1) = K (1 + i) <
i 2
1
1
K 1+
= B B K , 0,
, ,1
2
2
2
(warto reinwestować!) oraz
B(K , 0, 1) = K (1 + i) <
i 2
1 3
K 1+
,
= B K, ,
2
2 2
(a więc wartość zależy od momentu złożenia depozytu, a nie od
czasu trwania lokaty!)
System ten ma następujące wady:
B(K , 0, 1) = K (1 + i) <
i 2
1
1
K 1+
= B B K , 0,
, ,1
2
2
2
(warto reinwestować!) oraz
B(K , 0, 1) = K (1 + i) <
i 2
1 3
K 1+
,
= B K, ,
2
2 2
(a więc wartość zależy od momentu złożenia depozytu, a nie od
czasu trwania lokaty!)
System ten ma następujące wady:
B(K , 0, 1) = K (1 + i) <
i 2
1
1
K 1+
= B B K , 0,
, ,1
2
2
2
(warto reinwestować!) oraz
B(K , 0, 1) = K (1 + i) <
i 2
1 3
K 1+
,
= B K, ,
2
2 2
(a więc wartość zależy od momentu złożenia depozytu, a nie od
czasu trwania lokaty!)
Twierdzenie 3. (J. Schwaiger [4]) Jeśli C : R+ × ∆ 7−→ R spełnia:
(C 1)
C (K1 + K2 , s, t) = C (K1 , s, t) + C (K2 , s, t)
(C 2)
C (C (K , s, t), t, u) = C (K , s, u)
(C 3)
C (K , s, t) ­ K ,
(C 4)
C (K , s + 1, t + 1) = C (K , s, t)
Twierdzenie 3. (J. Schwaiger [4]) Jeśli C : R+ × ∆ 7−→ R spełnia:
(C 1)
C (K1 + K2 , s, t) = C (K1 , s, t) + C (K2 , s, t)
(C 2)
C (C (K , s, t), t, u) = C (K , s, u)
(C 3)
C (K , s, t) ­ K ,
(C 4)
C (K , s + 1, t + 1) = C (K , s, t)
Twierdzenie 3. (J. Schwaiger [4]) Jeśli C : R+ × ∆ 7−→ R spełnia:
(C 1)
C (K1 + K2 , s, t) = C (K1 , s, t) + C (K2 , s, t)
(C 2)
C (C (K , s, t), t, u) = C (K , s, u)
(C 3)
C (K , s, t) ­ K ,
(C 4)
C (K , s + 1, t + 1) = C (K , s, t)
Twierdzenie 3. (J. Schwaiger [4]) Jeśli C : R+ × ∆ 7−→ R spełnia:
(C 1)
C (K1 + K2 , s, t) = C (K1 , s, t) + C (K2 , s, t)
(C 2)
C (C (K , s, t), t, u) = C (K , s, u)
(C 3)
C (K , s, t) ­ K ,
(C 4)
C (K , s + 1, t + 1) = C (K , s, t)
Twierdzenie 3. (J. Schwaiger [4]) Jeśli C : R+ × ∆ 7−→ R spełnia:
(C 1)
C (K1 + K2 , s, t) = C (K1 , s, t) + C (K2 , s, t)
(C 2)
C (C (K , s, t), t, u) = C (K , s, u)
(C 3)
C (K , s, t) ­ K ,
(C 4)
C (K , s + 1, t + 1) = C (K , s, t)
Twierdzenie 3. (J. Schwaiger [4]) Jeśli C : R+ × ∆ 7−→ R spełnia:
(C 1)
C (K1 + K2 , s, t) = C (K1 , s, t) + C (K2 , s, t)
(C 2)
C (C (K , s, t), t, u) = C (K , s, u)
(C 3)
C (K , s, t) ­ K ,
(C 4)
C (K , s + 1, t + 1) = C (K , s, t)
(C 5) dla wszystkich −1 ¬ s ¬ t ¬ 0, −1 ¬ s 0 ¬ t 0 ¬ 0, jeśli
t − s = t 0 − s 0 , to
C (C (K , s, t) − K , s, 0) = C (C (K , s 0 , t 0 ) − K , s 0 , 0),
to istnieje taka liczba i ­ 0, że
C (K , s, t) =
  K 1 + i t−s
1+i (dte−t)
jeśli dse = dte,
btc−dse
 K (1 + i(dse − s)) (1 + i)
1+i
t−btc
1+i (dte−t)
,
jeśli dse < dte.
(C 5) dla wszystkich −1 ¬ s ¬ t ¬ 0, −1 ¬ s 0 ¬ t 0 ¬ 0, jeśli
t − s = t 0 − s 0 , to
C (C (K , s, t) − K , s, 0) = C (C (K , s 0 , t 0 ) − K , s 0 , 0),
to istnieje taka liczba i ­ 0, że
C (K , s, t) =
  K 1 + i t−s
1+i (dte−t)
jeśli dse = dte,
btc−dse
 K (1 + i(dse − s)) (1 + i)
1+i
t−btc
1+i (dte−t)
,
jeśli dse < dte.
(C 5) dla wszystkich −1 ¬ s ¬ t ¬ 0, −1 ¬ s 0 ¬ t 0 ¬ 0, jeśli
t − s = t 0 − s 0 , to
C (C (K , s, t) − K , s, 0) = C (C (K , s 0 , t 0 ) − K , s 0 , 0),
to istnieje taka liczba i ­ 0, że
C (K , s, t) =
  K 1 + i t−s
1+i (dte−t)
jeśli dse = dte,
btc−dse
 K (1 + i(dse − s)) (1 + i)
1+i
t−btc
1+i (dte−t)
,
jeśli dse < dte.
(C 5) dla wszystkich −1 ¬ s ¬ t ¬ 0, −1 ¬ s 0 ¬ t 0 ¬ 0, jeśli
t − s = t 0 − s 0 , to
C (C (K , s, t) − K , s, 0) = C (C (K , s 0 , t 0 ) − K , s 0 , 0),
to istnieje taka liczba i ­ 0, że
C (K , s, t) =
  K 1 + i t−s
1+i (dte−t)
jeśli dse = dte,
btc−dse
 K (1 + i(dse − s)) (1 + i)
1+i
t−btc
1+i (dte−t)
,
jeśli dse < dte.
Zadanie
Zwycięzca telewizyjnego konkursu ma do wyboru jedną z nagród:
a) 1000 zł obecnie i 1400 zł za rok;
b) 1500 zł obecnie i 850 zł za rok;
c) 1000 zł obecnie i po 700 zł za rok oraz za dwa lata.
Którą nagrodę powinien wybrać zwycięzca, jeśli oprocentowanie
lokat rocznych wynosi 5% i można przewidywać, że nie zmieni się
w ciągu najbliższych lat? Za jaką kwotę opłaca mu się zrzec
prawa do tej nagrody? (M. Podgórska, J. Klimkowska, [3])
Referencje
[1] J. Aczél, Lectures on functional equations and their
applications, Academic Press, New York 1966.
[2] W. Eichhorn, Functional equations in economics,
Addison-Wesley, Reading, Mass. 1978.
[3] M. Podgórska, J. Klimkowska, Matematyka finansowa,
Wydawnictwo Naukowe PWN, Warszawa 2005.
[4] J. Schwaiger, Theoretical arguments concerning the practical
rule of interest compounding. Ber. Math.-Statist. Sekt.
Forschungsgesellsch. Joanneum (1988), 285-296.