d - UAM

M. Misiorny
“Efekt Kondo na kropce kwantowej”
Efekt Kondo na kropce kwantowej
Y. Meir, N. Wingreen, P. Lee 'Low-temperature transport through a quantum dot: the Anderson
model out of equilibrium', PRL 70, 2601 (1993)
Maciej Misiorny
Seminarium do przedmiotu “Stany elektronowe i zjawiska transportu w układach mezoskopowych”.
Wydział Fizyki UAM
Zakład Fizyki Mezoskopowej
Poznań, 22.05.2005
Celem tego seminarium jest zbadanie nierównowagowego transportu przez magnetyczną kropkę
kwantową zawierającą jeden poziom energetyczny (dwukrotnie zdegenerowany ze względu na
spin).
Wykorzystamy do tego celu model Andersona dla domieszki magnetycznej oraz metodę równań
ruchu (EOM) dla funkcji Greena.
Rozważania doprowadzą nas do następujących wniosków:
• Przyłożenie napięcia między elektrodami powoduje rozszczepienie pików Kondo w
równowagowej DOS
• Pole magnetyczne powoduje przemieszczenie pików Kondo względem potencjałów
chemicznych → piki w różniczkowej konduktancji
1. Wstęp
a) Efekt Kondo w metalach
Efekt Kondo został odkryty w latach 30-tych XX wieku, natomiast istotę jego wytłumaczył
dopiero Jun Kondo w 1964.
Omawiany efekt jest wynikiem oddziaływań między pojedynczymi magnetycznymi
atomami, jak np. kobalt, a wieloma innymi elektronami z morza Fermiego innego
niemagnetycznego metalu. Efekt Kondo jest zatem zagadnieniem wielociałowym.
Opór czystego metalu maleje, kiedy obniżamy temperaturę, co jest spowodowane tym, że
elektrony ulegają wówczas mniejszemu rozpraszaniu na fononach. Zauważmy przy tym, że poniżej
10K następuje nasycenie oporu (rys. 1), za które odpowiedzialne są statyczne defekty sieci.
Skończona wartość niskotemperaturowego oporu zależy od liczby defektów w metalu i jeżeli
—1—
M. Misiorny
“Efekt Kondo na kropce kwantowej”
dodamy do układu dodatkowe defekty to nastąpi podwyższenie wartości nasycenia oporu, ale nie
zmieni się ogólna zależność oporu od temperatury.
Z drugiej strony istnieje grupa mestali jak Pb, Al, Zn, Sn, które w pewnej charakterystycznej
temperaturze Tc tracą swój opór i stają się nadprzewodzące. Mamy do czynienia z przejściem
fazowym między fazą normalną, wykazującą opór elektryczny, a nadprzewodzącą, bez oporu.
Rys. 1 Zachowanie oporu w metalu (ciągła linia),
nadprzewodniku (przerywana linia). Metale zawierające
małą ilość domieszek magnetycznych mogą wykazywać
wzrost oporu w niskich temperaturach w wyniku
wystąpienia ekektu Kondo (kropkowana linia).
Zależność oporu od temperatury zmienia się znacząco, jeżeli do rozpatrywanego układu
wprowadzimy atomy magnetyczne. Wówczas zamiast wysycenia oporu będziemy obserwowali jego
gwałtowny wzrost przy obniżaniu temperatury. Podkreślenia wymaga fakt, że rozważane zjawisko
nie ma charakteru przejścia fazowego.
Niskotemperaturowe własności rozważanego metalu można w pełni scharakteryzować przez
tzw. temperaturę Kondo, czyli temperaturę poniżej której opór zaczyna ponownie rosnąć.
W 1964 roku Kondo, rozważając rozpraszanie na jonach magnetycznych, które odziałują ze
spinami elektronów przewodnictwa, odkrył, że drugi wyraz w rachunku zaburzeń może być
znacznie większy niż pierwszy. Skutek tego rezultatu jest taki, że oporność metalu wzrasta
logarytmicznie, kiedy obniżamy temperaturę. Teoria Kondo daje zatem niefizyczny wniosek, że
oporność będzie nieskończona w temperaturach zmierzających do zera bezwzględnego, stąd wynik
Kondo jest poprawny tylko powyżej pewnej temperatury, wprowadzonej powyżej temperatury
Kondo TK.
●
●
●
Podsumujmy zatem jakie warunki muszą być spełnione, aby wystąpił efekt Kondo:
niskie temperatury
metal domieszkowany atomami o niezerowym spinie całkowitym np. Mn, Pt, Co
oddziaływanie momentu zlokalizowanego (3d, 4f, 5f) z elektronami “s” z morza Fermiego
Najprostszy model domieszki magnatycznej wprowadził w 1961 Anderson. Załozył on, iż
domieszka posiada tylko jeden poziom energetyczny o energii E0 ponizej poziomu Fermiego (rys.
2). Poziom domieszki obsadzony jest przez jeden elektron o spinie w górę. Dodanie drugiego
elektronu jest niemożliwe wskutek wystepującego odpychającego oddziaływania kulombowskiego
między elektronami domieszki.
—2—
M. Misiorny
“Efekt Kondo na kropce kwantowej”
Rys. 2 Model Andersona dla domieszki magnetycznej.
Rozważmy co się dzieje kiedy elektron jest zabrany ze zlokalizowanej magnetycznej
domieszki i położony w nieobsadzonym stanie energetycznym na powierzchni morza Fermiego.
Energia potrzebna do przeprowadzenia takiego procesu jest duża i wynosi około 1-10eV.
Zauważmy, że z klasycznego punktu widzenia jeżeli nie dostarczymy do układu odpowiedniej
energii to nie będziemy mogli wyrawać elektronu z domieszki. Jednakże elektron jest cząstką
kwantową, dla której obowiązuje zasada nieoznaczoności Heisenberga. Dopuszcza ona mozliwość
zajścia takiego zjawiska w czasie ℏ / E 0 . Zatem elektron domieszki o spinie np. w górę może
“przetunelować” ze stanu zlokalizowanego i obsadzić klasycznie zabroniony stan wirtualny na
zewnątrz domieszki. Następnie elektron zlokalizowany jest zastępowany przez elektron z metalu,
który może mieć spin zwrócony w przeciwnym kierunku. Opisany proces może zatem spowodować
odwrócenie spinu domieszki.
Wymiana kierunku spinu na domieszce zmienia jakościowo widmo energii. Wystapienie
wielu takich procesów prowadzi do efektu Kondo, który z kolei objawia się poprzez pojawienie się
dodatkowego rezonansu na poziomie Fermiego w gęstości stnów (rys. 2).
Poniwważ własności transportowe jak np. opór czy przewodność są określone przez
zachowanie elektronów o energiach bliskich poziomowi Fermiego, stąd dodatkowy rezonans
zmienia znacząco te właśności.
Układ opisany jest przez hamiltonian
H=
∑
 , k ∈R , L
E k  c †k  c k  ∑ E  d † d  Un n

∑
 ,k ∈R , L
V k  c †k  d  h.c.
gdzie poszczególne człony opisują:
∑
●
 , k ∈R , L
●
†
E k  c k  c k  ekektrony swobodne (z morza Fermiego) w metalu
∑ E  d † d 
domieszkę

●
Un n oddziaływanie między elektronami domieszki (oddziaływanie kulombowskie)
—3—
(1)
M. Misiorny
●
“Efekt Kondo na kropce kwantowej”
V k  c †k  d  h.c. przeskok elektronu między domieszką a morzem
Fermiego, tzw. człon hybrydyzacyjny (s-d)
 , k ∈R , L
∑
b) Efekt Kondo na kropce kwantowej
W przypadku kropki kwantowej obserwujemy w niskich temperaturach zamiast wzrostu
oporu, wzrost przwodnictwa (rys. 3).
Rys. 3
Zachowanie przewodności dla kropki
kwantowej umieszczonej między metalicznymi
elektrodami. Jeżeli liczba elektronów na kropce jest
nieparzysta to wówczas przewodność rośnie w
niskich temperaturach w wyniku wystąpienia efektu
Kondo (ciągła linia), jeżeli natomiast liczba
ektronów jest parzysta (brak wypadkowego spinu),
efekt Kondo nie występuje i przewodność maleje do
zera wraz z obniżeniem temperatury (linia
przerywana).
Róznice w zachowaniu oporu i przewodności w zjawisku Kondo dla kropki kwantowej i próbki
objętościowej metalu:
● W metalu stany elektronowe są falami płaskimi, które rozpraszając się na domieszkach mieszają
się ze stanami elektronowymi o innym pędzie i własnie to przekazywanie pędu prowadzi do
wzrostu oporu.
● W przypadku kropki kwantowej, wszystkie elektrony jeżeli mają przepłynąć z jednej do drugiej
elektrony to muszą przejść przez kropkę ponieważ nie ma żadnej alternatywnej drogi wokół
kropki. Rezonans Kondo ułatwia wówczas mieszanie się stanów należących do przeciwnych
elektrod, które w konsekwencji powoduje obniżenie oporu, co odpowiada wzrostowi
przewodności.
Efekt Kondo sprawia, że kropka kwantowa staje się “przezroczysta”, tzn. Mamy do
czynienia z rezonasowym transportem przez kropkę.
—4—
M. Misiorny
“Efekt Kondo na kropce kwantowej”
2. Opis dyskutowanego układu
Lewa elektroda (μL)
ckσ†, ckσ
Kropka kwantowa
dσ†, dσ
Prawa elektroda (μR)
ckσ†, ckσ
Sprzężenia kropki z elektrodami Γ
Gdzie:
 L R =2 
∑
k ∈ L R
∣V k ∣2 −E k  
(2)
jest szerokością połówkową poziomu kropki i odpowiada prawdopodobieństwu przetunelowania
elektronu między kropką a elektrodą.
Założenia:
● kropka kwantowa zawiera jeden poziom energetyczny, 2-krotnie zdegenerowany ze względu na
spin → poziom ten jest słabo sprzężony z elektrodami (domieszka Andersona)
● rozszczepienie poziomu w polu magnetycznym
E
E =E 0 
2
E
E =E 0 −
2
●
●
●
U→∞ (zabronione podwójne obsadzenie kropki)
rozważane temperatury mniejsze niż odległości między poziomami kropki
rozważane energie ( ΔE, Δμ) są mniejsze niż sprzężenia Γ z elektrodami oraz mniejsze niż
głębokości poziomów kropki, μL,R – Eσ
Zastosujemy zatem model Andersona do badania nierównowagowego transportu przez
kropkę kwantową w przypadku kiedy kropka posiada jeden poziom energetyczny, który jest słabo
sprzężony z elektrodami. Rozważany układ opisany jest wówczas przez hamiltonian Andersona (1).
Naszym celem jest obliczenie prądu J płynącego przez kropkę w przypadku
nierównowagowym, tzn. kiedy  L≠ R . Skorzystamy z wyrażenia Landauera na prąd [1], które w
przypadku kiedy sprzężenia kropki z prawą i lewą elektrodą są proporcjonalne:
L
R
  =   
(3)
przyjmuje postać:
 L   R 
e
1
L
R
J = ∑ ∫ d [ f FD − f FD ] L
[− ℑ G r ]
R
ℏ 
     
—5—
(4)
M. Misiorny
“Efekt Kondo na kropce kwantowej”
Zauważmy ponadto, że:
DOS =−
gdzie ℑ oznacza część urojoną wyrażenia, a
funkcji Greena.
1
ℑG r 

(5)
r
G   jest transformatą Fouriera opóźnionej
W oparciu o wyrażenie (4) na prąd J obliczymy także przewodność różniczkową w zakresie małych
napięć V.
r
Aby obliczyc prąd musimy wyznaczyć opóxnioną funkcję Greena G  
3. Wyznaczenie opóźnionej funkcji Greena
Opóźniona funkcja Greena zdefinowana jest nastepująco:
G r t =−i t 〈{d  t  , d † 0}〉=〈〈 d  t ∣d † 0〉〉
(6)
Powyższą funkcję wyznaczymy korzystając z metody równań ruchu dla funkcji Greena. Polega ona
na różniczkowaniu funkcji (6) względem czasu w wyniku czego następuje generowanie nowych
funkcji Greena wyższego rzędu, które w pewnym momencie należy odpowiednio przybliżyć tak aby
otrzymać zamknięty układ równań, którego rozwiązanie da nam w konsekwencji analityczne
wyrażenie na szukaną funkcję Greena.
Różniczkując wyrażenie (6) otrzymujemy:
i
d
〈〈 d  t ∣d † 0〉〉=t 〈{d  t  , d † 0}〉〈〈[d  t  , H ]∣d † 0〉〉
dt
(7)
Dokonujemy następnie transformacji Fouriera:
 〈〈 d ∣d † 〉〉=1 〈〈[d  , H ]∣d † 〉〉
Należy zatem obliczyć komutator
fermionów:
(8)
[ d  , H ] korzytając z reguł antykomutatorowych dla
{d  , d † ' }=  '
{d  , d  ' }=0
†
{c k  , c k '  ' }=  '  k k '
{c k  , c k '  ' }=0
†
{c k  , d  ' }=0 etc
—6—
(9)
M. Misiorny
“Efekt Kondo na kropce kwantowej”
Dla przejrzystości w dalszych rachunkach będę pomijał indeksy wskazujace na to, ze mamy do
czynienia z transformatami Fouriera.
W pierwszym kroku obliczeń dostajemy:
 〈〈 d ∣d † 〉〉=1E  〈〈 d ∣d † 〉〉U 〈〈 d † d  d ∣d † 〉〉
∑
k ∈R , L
V ✴k  〈〈c k ∣d † 〉〉 (10)
†
†
†
Widzimy, iż wygenerowane zostały dwie nowe funkcje Greena: 〈〈 d  d  d ∣d  〉〉 i 〈〈c k ∣d  〉〉 ,
gdzie kreska pozioma nad indeksem spinowym oznacza spin o przeciwnym kierunku.
W drugim kroku obliczeń wyznaczamy równania ruchu dla nowo wygenerowanych funkcji
otrzymując:
 〈〈 c k ∣d † 〉〉=E k  〈〈c k ∣d † 〉〉V k  〈〈 d ∣d † 〉〉
(11)
Widzimy, że równanie (11) nie zawiera żadnych nowych funkcji Greena.
 〈〈 d † d  d ∣d † 〉〉=E  〈〈 d † d  d ∣d † 〉〉U 〈〈d † d  d ∣d † 〉〉

∑
k ' ∈R , L
V k  〈〈 d † c †k '  d ∣d † 〉〉
−
∑
k ' ∈R , L
∑
k ' ∈R , L
V ✴k '  〈〈 d † d  c k ' ∣d † 〉〉
(12)
V k✴ '  〈〈d † d  c k ' ∣d † 〉〉〈 d † 0 d  0〉
〈〈 d † c †k '  d ∣d † 〉〉 ,
W równaniu (12) pojawiaja się 3 nowe funkcje Greena:
†
†
oraz 〈〈d  d  c k ' ∣d  〉〉 .
〈〈 d † d  c k ' ∣d † 〉〉
W trzecim kroku obliczeń wyznaczamy równania ruchu dla funkcji wygenerowanych w równwiu
(12):
 〈〈 d  c †k '  d ∣d † 〉〉=−〈c †k '  0 d  0〉−E k '  〈〈 d  c †k '  d ∣d † 〉〉
†
†
†
†
✴
†
 E  −E  〈〈 d  c k '  d ∣d  〉〉U 〈〈d  c k '  d ∣d  〉〉V k '  〈〈 d ∣d  〉〉
−
∑
k ' ' ∈R , L
V ✴k ' '  〈〈c †k '  d  c k ' ' ∣d † 〉〉−
∑
k ' ' ∈R , L
(13)
V ✴k ' '  〈〈c †k '  c k ' '  d ∣d † 〉〉
 〈〈 d † d  c k ' ∣d † 〉〉=E k '  〈〈 d † d  c k ' ∣d † 〉〉V k '  〈〈 d † d  d ∣d † 〉〉
−
∑
k ' ' ∈R , L
V k ' '  〈〈c
†
k''

†

d  c k ' ∣d 〉〉−
∑
k ' ' ∈R , L
—7—
V
✴
k''

†


†

〈〈 d c k ' '  c k ' ∣d 〉〉
(14)
M. Misiorny
“Efekt Kondo na kropce kwantowej”
 〈〈 d † d  c k ' ∣d † 〉〉=〈c k '  0 d † 0〉E k '  〈〈d † d  c k ' ∣d † 〉〉
(15)
 E  −E  〈〈 d † d  c k ' ∣d † 〉〉−V k '  〈〈 d † d  d ∣d † 〉〉
∑

†
k ' ' ∈R , L
†
V k ' '  〈〈c k ' '  c k '  d ∣d  〉〉
∑
k ' ' ∈R , L
✴
†
†
V k ' '  〈〈 d  c k '  c k ' ' ∣d  〉〉
†
†
W równaniach (13), (14) i (15) pojawiają się dalsze nowe funkcje Greena: 〈〈c k '  d  c k ' ' ∣d  〉〉 ,
〈〈c †k '  c k ' '  d ∣d † 〉〉 oraz 〈〈 d † c k ' '  c k ' ∣d † 〉〉 .
Zamykamy otrzymany układ równań w trzecim kroku obliczeń zaniedbując wyrazy zawierające
oddziaływania między elektronami w elektrodach
〈c †k '  0 d  0〉=0
†
〈c k '  0 d  0〉=0
〈〈d † c k ' '  c k ' ∣d † 〉〉=0
〈〈c †k ' '  d  c k ' ∣d † 〉〉=0
〈〈c †k ' '  c k '  d ∣d † 〉〉= k ' k ' ' f FD  E k '  〈〈 d ∣d † 〉〉
(16)
†
Rozwiązujemy tak przyblizony układ równań, wyznaczając 〈〈d ∣d  〉〉 . Dokonujemy przejścia
granicznego U→∞ otrzymując w konsekwencji poszukiwane wyrażenie
〈〈 d ∣d † 〉〉=G r =
1−〈 n 〉
−E  − 0  − 1 
(17)
gdzie:
〈n 〉 obsadzenie stanu o przeciwnym spinie
●
2
energia własna układu bez oddziaływań kulombowskich (U=0), tzn.
∣V k ∣
●
 0 = ∑
−E i  związana z tunelowaniem elektronu σ między kropką a lektrodami
k ∈R , L
●
 1 =
k
∑
k∈R, L

∣V k ∣2 f L/ R  E k  
−E  E  −E k  
iℏ
2 

energia własna związana z tunelowaniem
elektronu o przeciwnym spinie między pośrednim
stanem wirtualnym a elektrodami (U→∞)
czas życia stanu pośredniego
Czas τσ obliczamy z II. rzędu rachunku zanurzeń i dla zerowej temperatury oraz stałego Γ wynosi
on:
 B − AE  −E  '
1
1
=
 A  B  B − AE  −E  ' 
∑
 2  ℏ A , B ,  ' ∈ R , L
 B −E   A−E  ' 
—8—
(18)
M. Misiorny
“Efekt Kondo na kropce kwantowej”
Dla zerowego pola magnetycznego i stanu równowagowego w temperaturze 0K, stan
pośredni dając wkład do  1   ma nieskończony czas życia, a stąd pik w DOS odpowiada
granicy jednostkowej. Wprowadzając pole lub napięcie, co odpowiada wytrąceniu układu z
równowagi stan pośredni uzyskuje skończony czas życia, który obcina nam logarytmiczną
rozbieżność w ℜ { 1  } , a w konsekwencji tłumione są amplitudy pików.
4. Wyniki – dyskusja
Rozważmy dwa spiny (domieszka Andersona) symetrycznie sprzężone z elektrodami
L

R

 = =
≡1
W2
22 W 2 
W =100
(19)
Korzystając z wyznaczonych formuł na DOS i prąd (po zróżniczkowaniu względem napięcia V i dla
małych wartości napięć) wykreślamy zależności:
● DOS od napięcia między elektrodami oraz pola magnetycznego
● różniczkowej konduktancji od pola magnetycznego
Wszystkie energie są wyrażone w jednostakach Γ
Analizując rysunek 4:
a) W równowadze i przy zerowym polu magnetycznym DOS wykazuje pojedynczy pik na
poziomie Fermiego:
E↑= E↓= – 2.0
Δμ = 0
b) Przypadek nierównowagowy, do elektrod przyłozone jest napięcie V. Następuje rozszczepienie
piku Kondo, w wyniku czego powstają dwa piki o mniejszych amplitudach, każdy na poziomie
odpowiedniego potencjału chemicznego:
E↑= E↓= – 2.0
Δμ = 0.3
c) Następuje włączenie pola magnetycznego. DOS dla przeciwnych spinów stają się różne.
Następuje przesunięcie pików Kondo z położenia odpowiadającego potencjałom chemicznym o
energię odpowiadającą rozszczepieniu zeemanowskiemu:
E↑= –1.9
E↓= – 2.1
Δμ=0.3 oraz ΔE = 0.2
przy czym:
• spin “w górę” przesuwa się ku wyższym energiom
• spin “w dół” przesuwa się ku niższym energiom
—9—
M. Misiorny
“Efekt Kondo na kropce kwantowej”
Rys. 4 Wykres DOS dla domieszki Andersona symetrycznie sprzężonej z elektrodami o potencjałach chemicznych
μL i μR (=0) oraz szerokością połówkową poziomu kropki opisanego przez lorentzian o szerokości 2W.
Rys. 5 Wykres zależności przewodności różniczkowej od napięcia przyłozonego między elektrodami: (a)brak pola
magnetycznego (b) pole magnetyczne o skończonej wartości.
— 10 —
M. Misiorny
“Efekt Kondo na kropce kwantowej”
Prąd (4) obliczmy bezpośrdnio z wyrażenia na gęstość stanów (5). W temperaturze 0K prąd
otrzymujemy w wyniku wycałkowiania gęstości stanów w zakresie pomiędzy potencjałami
chemicznymi pomnożonej przez    (sprzężenie z elektrodami).
W zakresie liniowej odpowiedzi układu oraz zakładając, że μR=0, różniczkowa przewodność
wyraża się wzorem:
dJ
e2
==
dV
h
∑∫ d  f

L
FD
' 
2  L   R 
L

R

  
ℑ[G r ]
(20)
Przedyskutujmy zachowanie przewodności różniczkowej przedstawione na rysunku 5:
a) Dla braku pola magnetycznego pik Kondo na poziomie Fermiego jest źródłem piku w
przewodności (w zakresie liniowej odpowiedzi) w przypadku symetrycznych barier (Δμ=0), co
odpowiada rezonansowej transmisji przez kropkę.
b) Kiedy zwiększamy napięcie między elektrodami (Δμ≠0) przewodność różniczkowa maleje:
● Δμ zaczyna przekraczać szerokość piku
● maleje rozproszeniowy czas życia, co równoważne jest tłumieniu amplitudy.
Pik występuje tak długo, jak temperatura jest równa w przybliżeniu 1/10 wartości sprzężenia z
elektrodami Γ. Dlatego pik w przewodności różniczkowej jest obserwowany znacznie poniżej
temperatury Kondo.
c) W skończonym polu magnetycznym piki Kondo w DOS ulegają rozsunięciu z położeń
odpowiadającym potencjałom chemicznym elektrod, a w związku z tym mają mały wkład do
przewodności różniczkowej. Jednakże ze wzrostem napięcia między elektrodami zwiększa się
jednocześnie obszar pomiędzy potencjałami chemicznymi odpowiedzialny za przepływ prądu.
Kiedy Δμ =ΔE to obszar ten zaczyna przekrywac piki Kondo w DOS dla każdego ze spinów, a stąd
powstają 2 piki w różniczkowej przewodności.
Piki w przewodności różniczkowej są dowodem na istnienie efektów Kondo związanych z
transportem przez kropkę.
5. Podsumowanie
●
Zbadane zostało nierównowagowe zachowanie modelu Andersona dla magnetycznej domieszki,
w szczególności wyznaczone zostały DOS oraz różniczkowa konduktancja.
●
Różnica potencjałów chemicznych Δμ oraz odwrotność czasu życia ħ/τσ prowadzą odpowiednio
do rozszczepienia i tłumienia amplitudy rezonansów Kondo w DOS.
●
Kiedy rozszczepienie zeemanowskie (ΔE) energii odpowiadających spinom o przeciwnych
kierunkach równe jest Δμ (→ napięciu) pojawiają się piki w różniczkowej konduktancji.
— 11 —
M. Misiorny
“Efekt Kondo na kropce kwantowej”
6. Literatura
1. Y. Meir, N.S. Wingreen, “Landauer Formula for the Current through an interacting Electron
region”, PRL 68 (1992) s.2512
2. Y. Meir, N.S. Wingreen, P.A. Lee, “Low-Temperature Transport Through a Quantum Dot: The
Anderson Model Out of Equilibrium”, PRL 70 (1992) s.2601
3. Y. Meir, N.S. Wingreen, P.A. Lee, “Transport through a Strongly Interacting Electron System:
Theory of Periodic Conductance Oscillations”, PRL 66 (1991), s. 3048
4. L. Kouwenhoven, L. Glazman, “Revival of the Kondo effect”, Physics World, January 2001, s.33
5. P. Coleman, “Local moment physics in heavy electron systems”, cond-mat/0206003
— 12 —