Właściwości delta Kroneckera

 Andrzej Leśnicki
Laboratorium CPS
Ćwiczenie 7
1/7
ĆWICZENIE 7
Splot liniowy i kołowy sygnałów
1. Cel ćwiczenia
Operacja splotu jest jedną z najczęściej wykonywanych operacji na sygnale. Każde przejście
sygnału przez system liniowy, stały w czasie należy interpretować jako wykonanie operacji
splotu na sygnale. Dla sygnałów dyskretnych wyróżnia się pojęcie splotu liniowego i splotu
kołowego. W ćwiczeniu będą badane właściwości obu tych splotów w dziedzinie czasu i w
dziedzinie częstotliwości.
2. Wprowadzenie
Splot liniowy dwóch sygnałów dyskretnych x[n] i h[n] jest operacją przemienną oznaczaną
gwiazdką i jest zdefiniowany jako następująca suma splotowa
y[n] = x[n] ∗ h[n] =
∞
∞
k = −∞
k = −∞
∑ x[k ]h[n − k ] = h[n]∗ x[n] = ∑ h[k ]x[n − k ]
, n = −∞, K ,−1, 0, 1, K , ∞
(1)
Splot liniowy dwóch sygnałów skończonych {x[n]}0 i {h[n]}0 o liczbach próbek
odpowiednio M i K charakteryzuje się trzema przedziałami czasu:
- przedziałem czasu, w którym zachodzą początkowe procesy przejściowe, trwa stan
nieustalony;
- przedziałem czasu, w którym trwa stan ustalony;
- przedziałem czasu, w którym zachodzą końcowe procesy przejściowe, trwa stan
nieustalony.
Jedna z właściwości dyskretno-czasowego przekształcenia Fouriera jest taka, że
splotowi liniowemu sygnałów w dziedzinie czasu odpowiada mnożenie widm sygnałów w
dziedzinie częstotliwości
M −1
( )
( ) ( )
K −1
( ) ( )
DTFT
jω
jω
y[n] = x[n] ∗ h[n] → Y e jω = X e jω H e jω = X e jω H e jω e i arg X (e )+ j arg H (e )
(2)
Odmianą splotu jest splot kołowy (ang. circular convolution). Wzór definiujący splot
kołowy jest następujący
N −1
y[n] = x[n] ⊗ h[n] = ∑ x[k ]h[(n − k ) mod N ] , n = 0, 1, K , N − 1
(5)
k =0
Splatane kołowo sygnały x[n] , h[n] mają próbki widma określone prostym dyskretnym
przekształceniem Fouriera (DFT)
DFT
N −1
x[n] → X [k ] = ∑ x[n]e
n =0
−j
2π
kn
N
DFT
N −1
, y[n] → Y [k ] = ∑ y[n]e
n =0
−j
2π
kn
N
, k = 0, 1, K, N − 1
(7)
Andrzej Leśnicki
Laboratorium CPS
Ćwiczenie 7
2/7
Jedna z właściwości dyskretnego przekształcenia Fouriera jest taka, że splotowi kołowemu
sygnałów w dziedzinie czasu odpowiada mnożenie próbek widm
DTFT
y[n ] = x[n] ⊗ h[n] → Y [k ] = X [k ]H [k ] = X [k ] H [k ] e i arg X [k ]+ j arg H [k ] , k = 0, 1, K, N − 1 (8)
W badaniach właściwości splotów liniowego i kołowego będzie przydatny interfejs
graficzny sploty. Okno tego interfejsu pokazano na rys. 1. Jako splatane sygnały x[n] i h[n]
można wybrać z zagłębionych menu takie przyczynowe, skończone sygnały jak:
- delta Kroneckera;
- impuls prostokątny (cztery próbki);
- zaliasowany sinc, M = 4 ;
- sinusoida rzeczywista sin (2π 0,1n ) ;
- sinusoida zespolona exp( j 2π 0,1n ) ;
- szum gaussowski;
- tablica lub funkcja MATLABa argumentu 0 ≤ n ≤ N1 , 1 ≤ m ≤ N1 , N, N1 = N − 1 .
Liczba próbek sygnału 2 ≤ N ≤ 64 jest zmieniana suwakiem lub poprzez wpis wartości w
polu edycyjnym.
Rys. 1. Okno interfejsu graficznego sploty
Zadane sygnały oraz ich widma są wykreślone w lewej kolumnie okna interfejsu.
Części rzeczywiste próbek wykreślono niebieskimi ciągłymi kreskami zakończonymi
kółkami, a części urojone próbek wykreślono czerwonymi przerywanymi kreskami
zakończonymi krzyżykami. W przypadku widm sygnałów, część rzeczywistą widma
Andrzej Leśnicki
Laboratorium CPS
Ćwiczenie 7
3/7
wykreślono niebieską linią ciągłą, część urojoną widma wykreślono czerwoną linią
przerywaną i moduł widma wykreślono zieloną linią ciągłą.
W prawej kolumnie okna interfejsu wykreślono wynik splotu liniowego
y[n ] = x[n] ∗ h[n] oraz wynik splotu kołowego y[n ] = x[n] ⊗ h[n ] wraz z widmami. W
przypadku splotu kołowego wykreślono widmo DTFT (widmo dla jednego okresu wyniku
splotu) oraz próbki widma DFT (widmo wyniku splotu kołowego powtarzanego okresowo).
Na tych częstotliwościach, które odpowiadają próbkom DFT widma splotu kołowego,
naniesiono też próbki widma splotu liniowego. Te próbki widma splotu liniowego nie mają
nic wspólnego z DFT wyniku splotu liniowego, gdyż wynik splotu liniowego ma na ogół inną
długość niż wynik splotu kołowego i jego próbki wypadają na zupełnie innych
częstotliwościach.
Właściwości splotu liniowego i splotu kołowego zilustrujemy następującymi
przykładami.
Przykład 1. Sygnał dyskretny bardzo łatwo można opóźnić splatając go z odpowiedzią
impulsową linii opóźniającej, czyli z opóźnioną deltą Kroneckera δ [n − K ] . W przypadku
sygnału cyfrowego oznacza to przesunięcie próbek sygnału o odpowiednią liczbę pozycji w
buforze.
Jeżeli krótki sygnał x[n] jest splatany z rzadkim ciągiem delt Kroneckera h[n]
(rzadkim, tzn. odstępy między deltami Kroneckera są większe niż czas trwania krótkiego
sygnału x[n] ), to wynikiem splotu jest powtarzający się w chwilach występowania delt
Kroneckera sygnał x[n] . Na rys. 1 pokazano wynik splotu krótkiego sygnału
{x[n]} = {3̂, 2, 1, 0,K}
z rzadkim ciągiem delt Kroneckera h[n] = δ [n] + δ [n − 4] + δ [n − 10] .
Wynikiem jest sygnał x[n] powtarzający się począwszy od pozycji K = 0, 4, 10 .
Gdyby sygnał x[n] splatać z okresowym ciągiem delt Kroneckera o okresie równym
czasowi trwania sygnału x[n] , to otrzymamy sygnał okresowy, w którym jeden okres równa
się sygnałowi x[n] .
Przykład 2. Zbadamy stan ustalony i procesy przejściowe zachodzące w systemie o
prostokątnej odpowiedzi impulsowej {h[n]} = 1̂, 1, 1, 1 pobudzonym sygnałem sinusoidalnym
x[n] = sin (2π 0,1n ) o liczbie próbek równej 26. Wynik splotu liniowego sygnałów x[n] i h[n]
ma długość 26+4-1=29 i jest taki jak rys. 2.
System o odpowiedzi impulsowej {h[n]} = 1̂, 1, 1, 1 jest liniowo-fazowym filtrem
dolnoprzepustowym o stałym opóźnieniu grupowym τ g (e jω ) = 1,5 i wzmocnieniu równym
{
}
{
(
}
)
około 3 na częstotliwości sinusoidy f 0 = 0,1 , H e j 2π 0,1 ≈ 3 . Dlatego przypuszczamy, że
poza przedziałami czasu odpowiadającymi początkowym i końcowym procesom
przejściowym (każdy z nich trwa tyle, jak długi jest krótszy ze splatanych sygnałów, tutaj
krótszy jest h[n] ), a więc w przedziale czasu odpowiadającym stanowi ustalonemu, sygnał
wyjściowy równa się sinusoidzie wejściowej opóźnionej o 1,5 taktu i wzmocnionej około 3
razy. Wyniki eksperymentu pokazane na rys. 2 potwierdzają te teoretyczne przypuszczenia.
Andrzej Leśnicki
Laboratorium CPS
Ćwiczenie 7
{
4/7
}
Rys. 2. Splot sygnałów x[n] = sin (2π 0,1n ) i h[n] = 1̂, 1, 1, 1
{
}
{ }
Przykład 3. Zbadamy sploty sygnałów x[n] = 1̂, 2, 1 i h[n] = 1̂, 2 . Wyniki splotu liniowego
i kołowego tych sygnałów pokazano na rys. 3.
Splot liniowy sygnałów y[n ] = x[n] ∗ h[n] jest taki jak to pokazano w prawym górnym
{
}
rogu rys. 3. Jest to sygnał y[n] = 1̂, 4, 5, 2 o długości M + K − 1 = 3 + 2 − 1 = 4 . Widmo
DTFT sygnału y[n] jest iloczynem widm DTFT sygnałów x[n] i h[n] . Wszystkie widma
mają w zerze wartość równą sumie próbek i na krańcach ( f = ±0,5 ) wartość równą sumie
próbek z co drugą próbką o zmienionym znaku.
Andrzej Leśnicki
Laboratorium CPS
{
}
Ćwiczenie 7
5/7
{ }
Rys. 3. Sploty sygnałów x[n] = 1̂, 2, 1 i h[n] = 1̂, 2
Splot kołowy sygnałów y[n ] = x[n] ⊗ h[n ] jest taki jak to pokazano w prawym dolnym
{
}
rogu na rys. 3. Jest to sygnał {y[n]} = 3̂, 4, 5 . Ponieważ splatane kołowo sygnały muszą mieć
taką samą długość, to krótszy z sygnałów został automatycznie uzupełniony zerami do
N = 3 , czyli wzięto {h[n]} = 1̂, 2, 0 . Widmo DFT Y [k ] = X [k ]H [k ] sygnału y[n] to iloczyn
DFT sygnałów x[n] i h[n] obliczonych przy tej samej wartości parametru N = 3 . Jest
interesujące, że chociaż wyniki y[n] splotu liniowego i kołowego są zupełnie różne i mają
różne widma DTFT, to zgodnie z teorią widmo DFT splotu kołowego jest próbkami
równającymi się próbkom widma DTFT splotu liniowego Y e jω (próbki te nie mają jednak
nic wspólnego z DFT splotu liniowego).
Do jakiej minimalnej długości należałoby uzupełnić zerami sygnały x[n] i h[n] , aby
ich sploty liniowy i kołowy były takie same? Jeżeli sygnał x[n] ma M próbek i sygnał h[n]
ma K próbek, to obydwa te sygnały należy uzupełnić zerami do liczby próbek minimum
N = M + K − 1 , aby wynik splotu kołowego był taki sam jak splotu liniowego. W przypadku,
gdy M = 3 , K = 2 , to parametr N powinien mieć wartość minimum N = 3 + 2 − 1 = 4 .
Dlatego sygnał x[n] należałoby uzupełnić jednym zerem i sygnał h[n] należałoby uzupełnić
dwoma zerami.
{
}
( )
Andrzej Leśnicki
Laboratorium CPS
Ćwiczenie 7
6/7
3. Wykonanie ćwiczenia
1. Wybierz dowolny krótki sygnał, spleć go z rzadkim ciągiem delt Kroneckera i pokaż
podobnie jak w przykładzie 1, że wynikiem splotu liniowego jest krótki sygnał powtarzający
się w odpowiednich miejscach na osi n . Pokaż, że sygnał okresowy jest wynikiem splotu
liniowego krótkiego sygnału (o czasie trwania równym jednemu okresowi) z okresowym
ciągiem delt Kroneckera. Sporządź rysunki dla sygnałów tylko w dziedzinie czasu (bez
widm). Czy opóźnianie sygnałów dyskretnych i cyfrowych jest operacją trudną czy łatwą do
zrealizowania w porównaniu z opóźnianiem sygnałów analogowych?
2. Dowolnego kształtu skończony sygnał splatany wielokrotnie sam z sobą x ∗ x ∗ x K szybko
daje w wyniku sygnał zmierzający kształtem do impulsu Gaussa (ma to związek z centralnym
twierdzeniem granicznym, podobnie splatanie ze sobą wielu impulsów o różnych kształtach
da w wyniku impuls przypominający kształtem impuls Gaussa). Wybierz dowolnego kształtu
krótki sygnał i splataj go wielokrotnie ze sobą (3-5 razy). Pokaż, że uzyskiwany w wyniku
kolejnych splotów liniowych sygnał ma kształt coraz bardziej zbliżony do impulsu Gaussa.
3. Zbadaj stan ustalony i procesy przejściowe w splocie liniowym dowolnie wybranych
sygnałów długiego i krótkiego podobnie jak w przykładzie 2. Pokaż na rysunku przedziały
czasu odpowiadające procesom przejściowym i stanowi ustalonemu. Zinterpretuj uzyskane
wyniki.
4. Wybierz dowolny sygnał x[n] z M próbkami i splataj go z sygnałem h[n] = δ [n − K ] , przy
określonej wybranej przez siebie wartości N > M . Zwiększaj K co 1. Obserwuj wynik splotu
liniowego i kołowego. Zmierz wartość K, począwszy od której wynik splotu kołowego różni
się od splotu liniowego (obowiązuje tu zależność N = M + K − 1 ). Narysuj te różniące się
wyniki splotu liniowego i kołowego. Zinterpretuj na okręgu wynik splotu kołowego. Opisz
jak zmieniają się widma wyniku splotu liniowego i kołowego w miarę zwiększania
opóźnienia K.
5. Porównaj wyniki splotu liniowego i kołowego dla dwóch wybranych przez siebie krótkich
sygnałów przyczynowych o różnych długościach, podobnie jak w przykładzie 3. Oblicz
sploty ręcznie. Narysuj sygnały i ich widma wspomagając się interfejsem graficznym sploty.
Przedyskutuj uzyskane wyniki, czy wyniki splotów maja przewidywaną długość, czy widma
pomnożyły się?
6. Wykaż eksperymentalnie (sporządź rysunki sygnałów w dziedzinie czasu), że uzupełniając
sygnały z poprzedniego punktu odpowiednią liczbą zer spowodujemy, iż wyniki splotów
liniowego i kołowego będą takie same.
4. Zadania testowe na wejściówki i sprawdziany
1. Są dane sygnały x[n] i h[n] :
{ }
, {h[n]} = {1̂, − 1}.
a) {x[n]} = {sin (2π 0,125n )}n =0,1,...,8 , {h[n]} = 1̂, 1 ;
b) {x[n]} = {sin (2π 0,125n )}n =0,1,...,8
Oblicz i wykreśl splot liniowy y l [n] = x[n] ∗ h[n] . Na wykresie zaznacz trzy charakterystyczne
przedziały czasu. Sprawdź, czy w stanie ustalonym sygnał ma oczekiwaną amplitudę i
opóźnienie (wynikające z transmitancji systemu H e jω ). Podaj wzór na sygnał wyjściowy w
stanie ustalonym.
( )
Andrzej Leśnicki
Laboratorium CPS
Ćwiczenie 7
7/7
2. Są dane sygnały x[n] i h[n] :
{
}
{ }
b) {x[n]} = {1, − 1̂, 1, − 1}, {h[n]} = {1, 0̂, − 1}.
a) {x[n]} = 1, − 1̂, 1, − 1 , {h[n]} = 1, 0̂, 1 ;
Oblicz i wykreśl splot liniowy y l [n] = x[n] ∗ h[n] i kołowy y k [n] = x[n] ⊗ h[n] . Oblicz i
( ) (DTFT), Y [k ] (DFT). Pokaż, że te
Y (e ) = X (e )H (e ) , Y [k ] = X [k ]H [k ] . Pokaż,
wykreśl widma Yl e jω
k
widma są następującymi
jω
jω
że uzupełniając sygnały
iloczynami l jω
k
zerami (jaka jest minimalna liczba tych zer?) otrzymamy wynik splotu kołowego taki sam jak
splotu liniowego.
3. Są dane sygnały x[n] i h[n] :
{ }
{ }
b) x[n] = {1, − 1̂, 1}, h[n] = {1, − 1̂}.
a) x[n] = 1, − 1̂, 1 , h[n] = 1, 1̂ ;
Oblicz i wykreśl splot liniowy y l [n] = x[n] ∗ h[n] i kołowy y k [n] = x[n] ⊗ h[n] . Oblicz i
( )
( )
wykreśl widma Yl e jω , Yk e jω . Pokaż, że określone próbki obu widm są sobie równe.
Pokaż, że uzupełniając sygnały zerami (jaka jest minimalna liczba tych zer?) otrzymamy
wynik splotu kołowego taki sam jak splotu liniowego.