heurystyczny algorytm szeregowania zadań w systemie maszyn

HEURYSTYCZNY ALGORYTM SZEREGOWANIA ZADAŃ
W SYSTEMIE MASZYN RÓWNOLEGŁYCH Z KRYTERIUM
MINIMALNO-CZASOWYM
Zbigniew BUCHALSKI
Streszczenie: Artykuł dotyczy zagadnienia czasowo-optymalnego przydziału zasobu podzielnego w sposób ciągły i n zadań do m maszyn równoległych. Założono, że zadania są
niezależne i niepodzielne. Dla zadanej funkcji czasu realizacji zadań sformułowano model
formalny zagadnienia i zaproponowano pewien algorytm heurystyczny wyznaczający
czasowo-optymalne szeregowanie zadań i przydział zasobów do maszyn równoległych.
Przed-stawiono wyniki eksperymentów obliczeniowych przeprowadzonych na tym
algorytmie.
Słowa kluczowe: systemy maszyn równoległych, szeregowanie zadań, rozdział zasobów,
algorytmy heurystyczne.
1. Wstęp
Odczuwalny od wielu lat gwałtowny rozwój równoległych systemów przetwarzania
informacji pociągnął za sobą potrzebę rozwiązywania problemów czasowo-optymalnego
szeregowania zadań i rozdziału zasobów [1, 2, 3, 4, 5]. Znaczenie praktyczne
rozwiązywania tych problemów jest bezsporne w wielu dziedzinach życia. Problemy te
mogą być związane przykładowo ze sterowaniem procesem produkcyjnym, wyznaczaniem
kolejnych etapów montażu urządzeń, harmonogramowaniem zadań transportowych, itp.
Zadania optymalizacji zarówno dyskretnej, jak i ciągłej należą do klasy problemów
bardzo trudnych zarówno z teoretycznego, jak i obliczeniowego punktu widzenia i
najczęściej należą do klasy problemów NP- zupełnych [6, 7, 8]. Doświadczenia z
podejmowania prób optymalizacji tego typu problemów wskazują na możliwość
osiągnięcia tą drogą znacznych efektów ekonomicznych. Istnieje więc pilna potrzeba
prowadzenia badań w tym zakresie i to zarówno podstawowych, jak i stosowanych.
W systemach maszyn równoległych spotykamy się z szeregowaniem zadań na
maszynach oraz przydziałem zasobów do maszyn. Przy rozwiązywaniu tych problemów
występują istotne trudności natury obliczeniowej w związku z czym eliminuje się z
rozważań algorytmy dokładne, pozostawiając do zastosowania praktycznego jedynie
algorytmy heurystyczne umożliwiające rozwiązanie postawionych problemów w krótkim
czasie z zadowalającą dokładnością [9, 10, 11].
W niniejszym artykule przedstawiono pewien algorytm heurystyczny wyznaczający
czasowo-optymalny rozdział n zadań niezależnych niepodzielnych i N jednostek zasobu
nieodnawialnego podzielnego w sposób ciągły do m maszyn pracujących równolegle.
Przedstawiono wyniki eksperymentów obliczeniowych przeprowadzonych na tym algorytmie dla losowo generowanych danych.
548
2. Sformułowanie problemu
Rozpatrzmy dyskretny system produkcyjny zawierający maszyny połączone równolegle
przedstawiony na poniższym rysunku:
Rys. 1. System maszyn równoległych
Na system maszyn równoległych nakładamy następujące założenia:
(i) posiada m różnych maszyn M = {1, 2,..., k,... , m}, na których należy wykonać n
niezależnych zadań Z = {1, 2,..., i,..., n},
(ii) zadanie może być wykonywane na dowolnej maszynie i w trakcie jego
wykonywania nie może być przerywane,
(iii) liczba zadań do wykonania jest większa od liczby maszyn n > m,
(iv) realizacja każdego z zadań na maszynach musi następować niezwłocznie po
zakończeniu wykonywania poprzedniego zadania lub nastąpić w chwili zerowej,
gdy za-danie realizowane jest jako pierwsze na jednej z maszyn.
Niech N oznacza globalną ilość zasobów nieodnawialnych, a przez uk oznaczmy tą
część zasobów, które zostaną przydzielone k-tej maszynie w trakcie wykonywania zadań
uszeregowanych na tej maszynie. Ograniczenie dotyczące zasobów jest następujące:
Czas wykonywania i-tego zadania na k-tej maszynie określony jest przez następującą
funkcję Ti(uk, k):
549
(1)
Parametry aik > 0 i bik > 0 charakteryzują i-te zadanie i k-tą maszynę.
Należy znaleźć takie uszeregowanie zadań na maszynach i taki przydział ograniczonych
zasobów do maszyn równoległych, aby minimalizować czas zakończenia wykonania całego
zbioru zadań Tzak.
3. Model formalny zagadnienia
Jeżeli oznaczymy przez Zk  Z zbiór zadań uszeregowanych na k-tej maszynie, to Tzak
znajdziemy rozwiązując następujący problem minimalizacyjny:
(2)
Ograniczenia nałożone na rozwiązanie tego problemu są następujące:
Dla uproszczenia problemu przyjmiemy najpierw, że zasoby nieodnawialne u1, u2, ...,
um są typu ciągłego. Przy tym założeniu wyznaczymy rozwiązanie optymalne, a następnie
zaokrąglimy otrzymane wartości zasobów do najbliższych liczb naturalnych.
Czas Tzak znajdziemy rozwiązując następujący problem minimalizacji dyskretno-ciągłej:
przy następujących ograniczeniach:
550
Do rozwiązania postawionego problemu pomocny będzie następujący lemat:
LEMAT 1
Jeżeli uk* , Zk* , k  1,2,...,m są rozwiązaniami optymalnymi zadania (3), to:
Warunek (i) w LEMACIE 1 oznacza, że w przydziale czasowo-optymalnym zasobów
i zadań do maszyn wykorzystuje się wszystkie jednostki zasobów, a warunek (ii), że czasy
pracy tych maszyn, na których wykonywane są jakieś zadania, są identyczne.
Zdefiniujmy funkcję F(Z1, Z2, ..., Zm) określoną dla m zbiorów Z1, Z2, ..., Zm , dla których
zachodzi ograniczenie (i) dla wzoru (3). Wartość tej funkcji jest rozwiązaniem
następującego układu równań:
Wykorzystując LEMAT 1 oraz (5) zadanie minimalizacji (3) można przedstawić w następującej postaci:
przy następujących ograniczeniach:
551
Jeżeli Z1* , Z 2* ,..,Zm* jest rozwiązaniem zadania (6), to uk* , Zk* , k  1,2,...,m , gdzie:
jest rozwiązaniem zadania (3).
4. Algorytm heurystyczny
Maszyny wchodzące w skład systemu maszyn równoległych różnią się pod względem
szybkości wykonywanych zadań. Na szybkość tą wpływ ma ilość zasobów przydzielonych
poszczególnym maszynom. Im więcej zasobów zostanie przydzielonych k-tej maszynie,
tym będzie ona szybsza.
Zasoby przydzielone zostają do maszyn w następujący sposób:
 miarą szybkości realizacji i-tego zadania przez k-tą maszynę jest tzw. współczynnik
podziału zasobów ;  > 1,
 zakładamy, że maszyną najszybszą jest maszyna pierwsza, a maszyną
najwolniejszą jest maszyna m-ta,
 maszynie m-tej przydzielamy um zasobów wg następującej zależności:

pozostałym maszynom przydzielamy zasoby wg następującej zależności:
Przedstawiony powyżej sposób przydziału zasobów do maszyn wykorzystany zostanie
w zaproponowanym heurystycznym algorytmie szeregowania zadań na równoległych
maszynach. Algorytm ten skonstruowany został w taki sposób, że najpierw szereguje on
zadania na jednakowych maszynach, tj. takich, do których przydzielona została jednakowa
N
liczba dostępnych zasobów, czyli uk  , k  1, 2, ..., m (Kroki 411). Po tym
m
uszeregowaniu następuje zróżnicowanie maszyn pod względem liczby przydzielanych im
zasobów i sprawdzenie czy skrócony został czas zakończenia wykonywania wszystkich
zadań Tzak (Kroki 1215).
Algorytm heurystyczny wyznaczający czasowo-optymalne szeregowanie zadań
niezależnych na maszynach równoległych ma następującą postać:
552
Krok
1.
Oblicz
czasy
wykonywania
zadań
na
poszczególnych
maszynach
b
Ti (u k , k )  aik  ik , i = 1, 2, ... , n, k = 1, 2, .., m dla losowo generowanych
uk
N
parametrów aik, bik i zadanej wartości uk  .
m
Krok 2. Uszereguj malejąco czasy wykonywania poszczególnych zadań i utwórz listę L
tych zadań.
Krok 3. Oblicz średni czas Tśr wykonywania zadań przez każdą z maszyn wg wzoru:
Krok 4. Przydzielaj kolejno najdłuższe i najkrótsze zadania z listy L do pierwszej wolnej
maszyny aż do momentu, gdy suma czasów wykonywania zadań przydzielonych
tej maszynie nie przekroczy czasu Tśr. Przydzielone zadania usuń z listy L.
Krok 5. Jeżeli są jeszcze maszyny na których nie uszeregowano żadnych zadań to wróć do
Kroku 4. W przeciwnym wypadku przejdź do Kroku 6.
Krok 6. Przydzielaj kolejno najkrótsze zadania z listy L do kolejnych maszyn od pierwszej
poczynając a na m-tej kończąc aż do momentu, gdy suma czasów realizacji zadań
przez kolejne maszyny nie przekroczy czasu Tśr. Przydzielone zadania usuń z listy
L.
Krok 7. Jeżeli lista L nie została jeszcze wyczerpana to pozostałe zadania przydziel do
maszyn wg algorytmu LPT.. W przeciwnym wypadku przejdź do Kroku 8.
Krok 8. Oblicz czas zakończenia wykonywania wszystkich zadań Tzak dla uszeregowania
N
.
m
uszeregowanych
zadań na maszynach utworzonego w Krokach 4÷7 i dla uk 
Krok
9.
Oblicz sumaryczne czasy wykonywania zadań
na
poszczególnych maszynach.
Krok 10. Usuń najkrótsze zadanie z maszyny o najdłuższym sumarycznym czasie
wykonywania zadań i przydziel je do maszyny o najkrótszym sumarycznym
czasie wykonywania zadań.
Krok 11. Oblicz czas zakończenia wykonywania wszystkich zadań Tzak po zamianie zadań
w Kroku 10. Jeżeli czas ten ulegnie skróceniu, to wróć do Kroku 9. W
przeciwnym wypadku anuluj ostatnio wykonaną czynność w Kroku 10 i
zakończ szeregowanie zadań na maszynach.
Krok 12. Dla zadanego współczynnika  przydziel zasoby uk, k = 1, 2,…, m
poszczególnym maszynom wyliczone z zależności (8) i (9).
Krok 13. Dla uszeregowania zadań na maszynach utworzonego w Krokach 4÷11 i dla
liczby zasobów uk przydzielonych maszynom w Kroku 12 oblicz czas
zakończenia wykonywania wszystkich zadań Tzak.
553
Krok 14. Powtórz Krok 12 i Krok 13 dla następnych siedmiu zwiększających się kolejno
wartości współczynnika . Po zakończeniu tych prób przejdź do Kroku 15.
Krok 15. Porównaj wartości czasów zakończenia wykonywania zadań Tzak z kolejnych
prób i wybierz najkrótszy z tych czasów.
Krok 16. Wyznacz dyskretne ilości zasobów uˆ ( k ) , k  1, 2, ..., m według zależności:
u ( k )   1; k  1,2,...,,

uˆ ( k )  

k    1,   2, ... , m,
u ( k ) 
gdzie   N 
m
 u  oraz  jest taką permutacją elementów zbioru M = {1, 2, ... , m}, że
j
j 1
u (1)  u (1)   u ( 2)  u ( 2)   ...  u ( m)  u ( m)  .
Jeżeli istnieją takie maszyny, którym przydzielono zerowe ilości zasobów, to przydziel
każdej z tych maszyn po jednej jednostce zasobu pobierając je z kolejnych maszyn
poczynając od maszyny, której przydzielono największą ilość zasobów.
5. Wyniki eksperymentów obliczeniowych
Na bazie przedstawionego w poprzednim punkcie pracy algorytmu heurystycznego
przeprowadzono eksperymenty obliczeniowe. Algorytm wykonuje za każdym razem osiem
prób znalezienia najlepszego, z punktu widzenia czasu realizacji zbioru zadań, rozwiązania.
Po wykonaniu serii prób z różnymi wartościami współczynnika podziału zasobów ,
porównywane są ze sobą czasy realizacji zbioru zadań i wybierany jest najkrótszy z nich.
Eksperymenty obliczeniowe przeprowadzono dla ośmiu zwiększających się kolejno
wartości współczynnika podziału zasobów  ze zbioru {4, 8, … , 32}. Parametry aik, bik,
charakteryzujące i-te zadanie i k-tą maszynę wylosowane zostały ze zbioru {5, 10, … , 50}
przez generator o jednostajnym rozkładzie prawdopodobieństwa.
Obliczenia przeprowadzono dla zadanej liczby zadań n = 40, 80, 120, 160, 200, liczby
maszyn m = 5, 10, 15, 20, 25 oraz dla ograniczonej liczby zasobów N = 10.000. Dla każdej
kombinacji n i m wygenerowano 40 instancji. Następnie dokonano analizy porównawczej
zaproponowanego w pracy algorytmu heurystycznego ze znanym z literatury algorytmem
LPT (Longest Processing Time). Rezultaty tej analizy zostały przedstawione w Tabeli 1.
Tab. 1.Wyniki analizy porównawczej algorytmu heurystycznego i algorytmu LPT
Liczba instancji, dla których:
n/m
H
LPT
H
LPT
Tzak
Tzak
Tzak
Tzak
H
SH
SLPT
H
LPT
Tzak
Tzak
%
sek
sek
40/5
20
1
19
2,4
2,7
2,2
40/10
22
0
18
2,7
2,9
2,5
40/15
21
2
17
3,4
4,2
3,8
554
40/20
23
2
15
3,7
4,9
4,3
40/25
24
3
13
3,9
6,3
5,9
80/5
21
1
18
2,0
2,9
2,3
80/10
22
0
18
2,7
3,8
3,4
80/15
23
0
17
3,8
5,1
4,2
80/20
24
2
14
4,9
6,7
5,8
80/25
25
3
12
5,3
8,4
6,7
120/5
22
1
17
2,9
4,1
3,7
120/10
23
1
16
3,1
6,8
5,9
120/15
24
1
15
3,8
7,9
6,8
120/20
25
2
13
4,9
8,9
7,6
120/25
26
1
13
5,7
9,9
8,6
160/5
22
0
18
2,9
5,9
5,2
160/10
23
1
16
3,2
6,7
6,2
160/15
23
2
15
3,8
9,2
8,4
160/20
25
1
14
4,7
10,2
9,3
160/25
26
1
13
6,3
12,8
10,9
200/5
22
1
17
2,9
6,3
5,7
200/10
23
2
15
3,3
6,9
6,2
200/15
25
2
13
3,9
9,1
8,2
200/20
26
2
12
5,2
10,5
9,6
200/25
27
3
10
6,9
12,6
11,4
W Tab.1 występują następujące wielkości:
n – liczba zadań,
m – liczba maszyn,
H
T zak
– czas zakończenia wykonywania wszystkich zadań ze zbioru Z przy
wykorzystaniu algorytmu heurystycznego,
555
LPT
T zak
– czas zakończenia wykonywania wszystkich zadań ze zbioru Z przy
wykorzystaniu algorytmu LPT,
H
LPT
H – średnia procentowa poprawa czasu T zak w stosunku do T zak :
SH – średni czas obliczeń dla algorytmu heurystycznego,
SLP T – średni czas obliczeń dla algorytmu LPT.
6. Uwagi końcowe
Przedstawione w poprzednim punkcie eksperymenty obliczeniowe wykazały, że jakość
szeregowania zadań na równoległych maszynach na bazie zaproponowanego w pracy
algorytmu heurystycznego uległa poprawie w stosunku do szeregowania za pomocą
H
znanego z literatury algorytmu LPT. Kilkuprocentowa poprawa czasu T zak w stosunku do
LPT
T zak
może być zachętą do dalszych prac nad efektywnymi algorytmami heurystycznymi.
Zastosowanie podanego w pracy algorytmu heurystycznego jest wskazane przede
wszystkim dla systemów produkcyjnych o dużej liczbie zadań, gdyż wówczas średnia procentowa poprawa jest największa. Zaproponowany algorytm może służyć zarówno do
rozdziału operacji na stanowiska produkcyjne wyposażone w odpowiednie maszyny
w dyskretnych systemach produkcyjnych, jak i do szeregowania programów
w wieloprocesorowych systemach komputerowych.
Literatura
1.
2.
3.
4.
5.
6.
7.
Błażewicz J., Dell’Olmo P., Drozdowski M., Speranza M. G. : Scheduling
multiprocessor tasks on three dedicated processors. Information Processing Letters 41,
1992, pp. 275-280.
Janiak A.: Single machine scheduling problem with a common deadline and resource
dependent release dates. European Journal of Operational Research, Vol. 53, 1991, pp.
317-325.
Janiak A., Kovalyov M.: Single machine scheduling subject to deadlines and
resources dependent processing times. European Journal of Operational Research,
1996, Vol. 94, pp. 284-291.
Nowicki E., Smutnicki C.: The flow shop with parallel machines. A Tabu search
approach. European Journal of Operational Research 106, 1998, pp. 226-253.
Buchalski Z.: A Program Scheduling Heuristic Algorithm in Multiprocessing
Computer System with Limited Memory Pages. Polish Journal of Environmental
Studies, Vol. 15, No. 4C, 2006, pp. 26-29.
Józefowska J., Węglarz J.: On a methodology for discrete-continuous scheduling.
European Journal of Operational Research, Vol. 107, 1998, pp. 338-353.
Józefowska J., Mika M., Różycki R., Waligóra G., Węglarz J.: Rozwiązywanie
dyskretno-ciągłych problemów rozdziału zasobów przez dyskretyzację zasobu
ciągłego. Zeszyty Naukowe Politechniki Śląskiej Nr 1474, seria Automatyka, Gliwice,
2000, z. 129, s. 221-229.
556
8.
Kubale M., Giaro K.: Złożoność zwartego szeregowania zadań jednostkowych w
systemie otwartym, przepływowym i mieszanym. Uczelniane Wydawnictwo
Naukowo-Dydaktyczne AGH, seria-Automatyka, półrocznik, tom 5, zeszyt ½,
Kraków, 2001, s. 329-334.
9. Boctor F. F.: A new and efficient heuristic for scheduling projects with resources
restrictions and multiple execution models. European Journal of Operational
Research, Vol. 90, 1996, pp. 349-361.
10. Buchalski Z.: An heuristic solution procedure to minimize the total processing time of
programs in multiprocessing computer system. Information Systems Architecture and
Technology ISAT 2005, Oficyna Wydawnicza Politechniki Wrocławskiej, Wrocław,
2005, pp. 20-26.
11. Buchalski Z.: An Heuristic Algorithm for Solving the Scheduling Problem in
Multiprocessing Computer System. Polish Journal of Environmental Studies, Vol. 16,
No. 4A, 2007, pp. 44-48.
Dr inż. Zbigniew BUCHALSKI
Instytut Informatyki, Automatyki i Robotyki
Politechnika Wrocławska
50-372 Wrocław, Janiszewskiego 11/17
tel.: (0 71) 320 32 92
e-mail: [email protected]
557