Elementy logiki - Informacje dla uzytkowników serwera antenor.pol

Matematyka ETId
Elementy logiki
Matematyka ETId
Izolda Gorgol
pokój 131A
e-mail: [email protected]
tel. 081 5384 563
http://antenor.pol.lublin.pl/users/gorgol
Elementy logiki
Matematyka ETId
Elementy logiki
Zdania w sensie logicznym
I
DEFINICJA Zdanie w sensie logicznym - zdanie
oznajmujace,
˛
któremu można przypisać jedna˛ z dwóch
wartości - prawda lub fałsz. Przyjmujemy, że symbolem
prawdy jest 1, a 0 jest symbolem fałszu.
Matematyka ETId
Elementy logiki
Zdania w sensie logicznym
I
DEFINICJA Zdanie w sensie logicznym - zdanie
oznajmujace,
˛
któremu można przypisać jedna˛ z dwóch
wartości - prawda lub fałsz. Przyjmujemy, że symbolem
prawdy jest 1, a 0 jest symbolem fałszu.
I
DEFINICJA Zmienna˛ logiczna˛ nazywamy zmienna,
˛ w
miejsce której wstawiamy zdania (prawdziwe lub fałszywe),
otrzymujac
˛ zdania w sensie logicznym. Najcz˛eściej
zmienne zdaniowe oznaczamy małymi literami: p, q, r , . . . .
Matematyka ETId
Elementy logiki
Zdania w sensie logicznym
I
DEFINICJA Zdanie w sensie logicznym - zdanie
oznajmujace,
˛
któremu można przypisać jedna˛ z dwóch
wartości - prawda lub fałsz. Przyjmujemy, że symbolem
prawdy jest 1, a 0 jest symbolem fałszu.
I
DEFINICJA Zmienna˛ logiczna˛ nazywamy zmienna,
˛ w
miejsce której wstawiamy zdania (prawdziwe lub fałszywe),
otrzymujac
˛ zdania w sensie logicznym. Najcz˛eściej
zmienne zdaniowe oznaczamy małymi literami: p, q, r , . . . .
I
Wartość logiczna˛ zdania p oznaczamy symbolem w (p):
w (p) = 0 – p jest zdaniem fałszywym
w (p) = 1 – p jest zdaniem prawdziwym
Matematyka ETId
Elementy logiki
Funktory zdaniotwórcze
Ze zdań logicznych możemy tworzyć zdania złożone przy
pomocy spójników logicznych (funktorów zdaniotwórczych) oraz
nawiasów.
Matematyka ETId
Elementy logiki
Funktory zdaniotwórcze
Ze zdań logicznych możemy tworzyć zdania złożone przy
pomocy spójników logicznych (funktorów zdaniotwórczych) oraz
nawiasów.
I
negacja
nie p
∼p
¬p
Matematyka ETId
Elementy logiki
Funktory zdaniotwórcze
Ze zdań logicznych możemy tworzyć zdania złożone przy
pomocy spójników logicznych (funktorów zdaniotwórczych) oraz
nawiasów.
I
negacja
I
koniunkcja
∼ p ¬p
p i q p∧q
nie p
Matematyka ETId
Elementy logiki
Funktory zdaniotwórcze
Ze zdań logicznych możemy tworzyć zdania złożone przy
pomocy spójników logicznych (funktorów zdaniotwórczych) oraz
nawiasów.
I
I
I
∼ p ¬p
koniunkcja p i q p ∧ q
alternatywa p lub q p ∨ q
negacja
nie p
Matematyka ETId
Elementy logiki
Funktory zdaniotwórcze
Ze zdań logicznych możemy tworzyć zdania złożone przy
pomocy spójników logicznych (funktorów zdaniotwórczych) oraz
nawiasów.
I
I
I
I
∼ p ¬p
koniunkcja p i q p ∧ q
alternatywa p lub q p ∨ q
negacja
nie p
implikacja p implikuje q lub jeżeli p, to q
p⇒q p→q
Matematyka ETId
Elementy logiki
Funktory zdaniotwórcze
Ze zdań logicznych możemy tworzyć zdania złożone przy
pomocy spójników logicznych (funktorów zdaniotwórczych) oraz
nawiasów.
I
I
I
∼ p ¬p
koniunkcja p i q p ∧ q
alternatywa p lub q p ∨ q
negacja
nie p
I
implikacja p implikuje q lub jeżeli p, to q
p⇒q p→q
I
równoważność p jest równoważne q lub p wtedy i tylko
wtedy, gdy q p ⇔ q p ↔ q
Matematyka ETId
Elementy logiki
Funktory zdaniotwórcze
Ze zdań logicznych możemy tworzyć zdania złożone przy
pomocy spójników logicznych (funktorów zdaniotwórczych) oraz
nawiasów.
I
I
I
∼ p ¬p
koniunkcja p i q p ∧ q
alternatywa p lub q p ∨ q
negacja
nie p
I
implikacja p implikuje q lub jeżeli p, to q
p⇒q p→q
I
równoważność p jest równoważne q lub p wtedy i tylko
wtedy, gdy q p ⇔ q p ↔ q
∼ – funktor jednoargumentowy
∧, ∨, ⇒, ⇔ – funktory dwuargumentowe
Matematyka ETId
Elementy logiki
definicje wartościowań spójników logicznych
w (p)
w (∼ p)
0
1
1
0
w (p)
w (q )
w (p ∧ q )
w (p ∨ q )
w (p ⇒ q )
w (p ⇔ q )
0
0
1
1
0
1
0
1
0
0
0
1
0
1
1
1
1
1
0
1
1
0
0
1
Matematyka ETId
Elementy logiki
Formuły logiczne
DEFINICJA Formuła˛ logiczna˛ nazywamy wyrażenie zbudowane
ze zmiennych zdaniowych, funktorów zdaniotwórczych oraz
nawiasów w nastepuj
˛ acy
˛ rekurencyjny sposób:
Matematyka ETId
Elementy logiki
Formuły logiczne
DEFINICJA Formuła˛ logiczna˛ nazywamy wyrażenie zbudowane
ze zmiennych zdaniowych, funktorów zdaniotwórczych oraz
nawiasów w nastepuj
˛ acy
˛ rekurencyjny sposób:
I
zdania proste i zmienne zdaniowe sa˛ formułami logicznymi
Matematyka ETId
Elementy logiki
Formuły logiczne
DEFINICJA Formuła˛ logiczna˛ nazywamy wyrażenie zbudowane
ze zmiennych zdaniowych, funktorów zdaniotwórczych oraz
nawiasów w nastepuj
˛ acy
˛ rekurencyjny sposób:
I
zdania proste i zmienne zdaniowe sa˛ formułami logicznymi
I
jeżeli P i Q sa˛ formułami logicznymi, to ∼ P, (P ∧ Q ),
(P ∨ Q ), (P ⇒ Q ) oraz (P ⇔ Q ) sa˛ również formułami
logicznymi.
Matematyka ETId
Elementy logiki
Tautologie
DEFINICJA Tautologia˛ lub prawem rachunku zdań nazywamy
formułe˛ logiczna,
˛ która jest prawdziwa bez wzgledu
˛
na wartość
logiczna˛ wystepuj
˛ acych
˛
w niej zmiennych zdaniowych. Ozn. t.
Matematyka ETId
Elementy logiki
Tautologie
DEFINICJA Tautologia˛ lub prawem rachunku zdań nazywamy
formułe˛ logiczna,
˛ która jest prawdziwa bez wzgledu
˛
na wartość
logiczna˛ wystepuj
˛ acych
˛
w niej zmiennych zdaniowych. Ozn. t.
DEFINICJA Zdaniem sprzecznym nazywamy formułe˛ logiczna,
˛
która jest fałszywa bez wzgledu
˛
na wartość logiczna˛
wystepuj
˛ acych
˛
w niej zmiennych zdaniowych. Ozn. f .
Matematyka ETId
Niektóre prawa rachunku zdań
I
prawa przemienności
I (p ∧ q ) ⇔ (q ∧ p )
I (p ∨ q ) ⇔ (q ∨ p )
Elementy logiki
Matematyka ETId
Niektóre prawa rachunku zdań
I
I
prawa przemienności
I (p ∧ q ) ⇔ (q ∧ p )
I (p ∨ q ) ⇔ (q ∨ p )
prawa łaczności
˛
I ((p ∧ q ) ∧ r ) ⇔ (p ∧ (q ∧ r ))
I ((p ∨ q ) ∨ r ) ⇔ (p ∨ (q ∨ r ))
Elementy logiki
Matematyka ETId
Niektóre prawa rachunku zdań
I
I
I
prawa przemienności
I (p ∧ q ) ⇔ (q ∧ p )
I (p ∨ q ) ⇔ (q ∨ p )
prawa łaczności
˛
I ((p ∧ q ) ∧ r ) ⇔ (p ∧ (q ∧ r ))
I ((p ∨ q ) ∨ r ) ⇔ (p ∨ (q ∨ r ))
prawa rozdzielności
I ((p ∧ q ) ∨ r ) ⇔ ((p ∨ r ) ∧ (q ∨ r ))
I ((p ∨ q ) ∧ r ) ⇔ ((p ∧ r ) ∨ (q ∧ r ))
Elementy logiki
Matematyka ETId
Niektóre prawa rachunku zdań
I
I
I
I
prawa przemienności
I (p ∧ q ) ⇔ (q ∧ p )
I (p ∨ q ) ⇔ (q ∨ p )
prawa łaczności
˛
I ((p ∧ q ) ∧ r ) ⇔ (p ∧ (q ∧ r ))
I ((p ∨ q ) ∨ r ) ⇔ (p ∨ (q ∨ r ))
prawa rozdzielności
I ((p ∧ q ) ∨ r ) ⇔ ((p ∨ r ) ∧ (q ∨ r ))
I ((p ∨ q ) ∧ r ) ⇔ ((p ∧ r ) ∨ (q ∧ r ))
prawa idempotentności
I (p ∧ p ) ⇔ p
I (p ∨ p ) ⇔ p
Elementy logiki
Matematyka ETId
Niektóre prawa rachunku zdań
I
I
I
I
I
prawa przemienności
I (p ∧ q ) ⇔ (q ∧ p )
I (p ∨ q ) ⇔ (q ∨ p )
prawa łaczności
˛
I ((p ∧ q ) ∧ r ) ⇔ (p ∧ (q ∧ r ))
I ((p ∨ q ) ∨ r ) ⇔ (p ∨ (q ∨ r ))
prawa rozdzielności
I ((p ∧ q ) ∨ r ) ⇔ ((p ∨ r ) ∧ (q ∨ r ))
I ((p ∨ q ) ∧ r ) ⇔ ((p ∧ r ) ∨ (q ∧ r ))
prawa idempotentności
I (p ∧ p ) ⇔ p
I (p ∨ p ) ⇔ p
prawa identyczności
I (p ∧ t ) ⇔ p
I (p ∧ f ) ⇔ f
I (p ∨ t ) ⇔ t
I (p ∨ f ) ⇔ p
Elementy logiki
Matematyka ETId
Niektóre prawa rachunku zdań – cd.
I
∼ (∼ p) ⇔ p prawo podwójnego przeczenia
Elementy logiki
Matematyka ETId
Niektóre prawa rachunku zdań – cd.
I
I
∼ (∼ p) ⇔ p prawo podwójnego przeczenia
(p∨ ∼ p) prawo wyłaczonego
˛
środka
Elementy logiki
Matematyka ETId
Niektóre prawa rachunku zdań – cd.
I
I
I
∼ (∼ p) ⇔ p prawo podwójnego przeczenia
(p∨ ∼ p) prawo wyłaczonego
˛
środka
∼ (p∧ ∼ p) prawo sprzeczności
Elementy logiki
Matematyka ETId
Niektóre prawa rachunku zdań – cd.
I
I
I
I
∼ (∼ p) ⇔ p prawo podwójnego przeczenia
(p∨ ∼ p) prawo wyłaczonego
˛
środka
∼ (p∧ ∼ p) prawo sprzeczności
prawa de Morgana
I ∼ (p ∧ q ) ⇔ (∼ p ∨ ∼ q )
I ∼ (p ∨ q ) ⇔ (∼ p ∧ ∼ q )
Elementy logiki
Matematyka ETId
Elementy logiki
Niektóre prawa rachunku zdań – cd.
I
I
I
∼ (∼ p) ⇔ p prawo podwójnego przeczenia
(p∨ ∼ p) prawo wyłaczonego
˛
środka
∼ (p∧ ∼ p) prawo sprzeczności
I
prawa de Morgana
I ∼ (p ∧ q ) ⇔ (∼ p ∨ ∼ q )
I ∼ (p ∨ q ) ⇔ (∼ p ∧ ∼ q )
I
(p ⇔ q ) ⇔ ((p ⇒ q ) ∧ (q ⇒ p)) określenie równoważności
Matematyka ETId
Elementy logiki
Niektóre prawa rachunku zdań – cd.
I
I
I
∼ (∼ p) ⇔ p prawo podwójnego przeczenia
(p∨ ∼ p) prawo wyłaczonego
˛
środka
∼ (p∧ ∼ p) prawo sprzeczności
I
prawa de Morgana
I ∼ (p ∧ q ) ⇔ (∼ p ∨ ∼ q )
I ∼ (p ∨ q ) ⇔ (∼ p ∧ ∼ q )
I
(p ⇔ q ) ⇔ ((p ⇒ q ) ∧ (q ⇒ p)) określenie równoważności
(p ⇒ q ) ⇔ (∼ p ∨ q ) określenie implikacji
I
Matematyka ETId
Elementy logiki
Niektóre prawa rachunku zdań – cd.
I
I
I
∼ (∼ p) ⇔ p prawo podwójnego przeczenia
(p∨ ∼ p) prawo wyłaczonego
˛
środka
∼ (p∧ ∼ p) prawo sprzeczności
I
prawa de Morgana
I ∼ (p ∧ q ) ⇔ (∼ p ∨ ∼ q )
I ∼ (p ∨ q ) ⇔ (∼ p ∧ ∼ q )
I
(p ⇔ q ) ⇔ ((p ⇒ q ) ∧ (q ⇒ p)) określenie równoważności
(p ⇒ q ) ⇔ (∼ p ∨ q ) określenie implikacji
∼ (p ⇒ q ) ⇔ (p∧ ∼ q ) zaprzeczenie implikacji
I
I
Matematyka ETId
Elementy logiki
Niektóre prawa rachunku zdań – cd.
I
I
I
∼ (∼ p) ⇔ p prawo podwójnego przeczenia
(p∨ ∼ p) prawo wyłaczonego
˛
środka
∼ (p∧ ∼ p) prawo sprzeczności
I
prawa de Morgana
I ∼ (p ∧ q ) ⇔ (∼ p ∨ ∼ q )
I ∼ (p ∨ q ) ⇔ (∼ p ∧ ∼ q )
I
(p ⇔ q ) ⇔ ((p ⇒ q ) ∧ (q ⇒ p)) określenie równoważności
(p ⇒ q ) ⇔ (∼ p ∨ q ) określenie implikacji
∼ (p ⇒ q ) ⇔ (p∧ ∼ q ) zaprzeczenie implikacji
(p ⇒ q ) ⇔ (∼ q ⇒∼ p) prawo kontrapozycji
I
I
I
Matematyka ETId
Elementy logiki
Niektóre prawa rachunku zdań – cd.
I
I
I
∼ (∼ p) ⇔ p prawo podwójnego przeczenia
(p∨ ∼ p) prawo wyłaczonego
˛
środka
∼ (p∧ ∼ p) prawo sprzeczności
I
prawa de Morgana
I ∼ (p ∧ q ) ⇔ (∼ p ∨ ∼ q )
I ∼ (p ∨ q ) ⇔ (∼ p ∧ ∼ q )
I
(p ⇔ q ) ⇔ ((p ⇒ q ) ∧ (q ⇒ p)) określenie równoważności
(p ⇒ q ) ⇔ (∼ p ∨ q ) określenie implikacji
∼ (p ⇒ q ) ⇔ (p∧ ∼ q ) zaprzeczenie implikacji
(p ⇒ q ) ⇔ (∼ q ⇒∼ p) prawo kontrapozycji
[(p ⇒ q ) ∧ (q ⇒ r )] ⇒ (p ⇒ r ) prawo sylogizmu
I
I
I
I
Matematyka ETId
Elementy logiki
Implikacje
p ⇒ q implikacja prosta
q ⇒ p implikacja odwrotna
∼ p ⇒∼ q implikacja przeciwna
∼ q ⇒∼ p implikacja przeciwstawna.
Jeżeli p bedziemy
˛
uważać za założenie, a q za tez˛e twierdzenia,
to mamy twierdzenie proste, odwrotne, przeciwne
i przeciwstawne. Na podstawie prawa kontrapozycji twierdzenia
proste i przeciwstawne (jak również odwrotne i przeciwne) sa˛
sobie równoważne i na tym fakcie opiera sie˛ metoda
dowodzenia nie wprost.
Matematyka ETId
Elementy logiki
Warunki konieczne i wystarczajace
˛
Każde twierdzenie matematyczne ma postać implikacji lub
równoważności. W formule p ⇒ q, p nazywamy poprzednikiem,
a q nastepnikiem
˛
implikacji.
W przypadku, gdy twierdzenie ma postać implikacji (Jeżeli Z , to
T .), mówimy, że Z jest warunkiem dostatecznym
(wystarczajacym)
˛
dla T , zaś T jest warunkiem koniecznym dla
Z.
W przypadku, gdy twierdzenie ma postać równoważności (Z
wtedy i tylko wtedy, gdy T .), mówimy, że Z jest warunkiem
koniecznym i dostatecznym (wystarczajacym)
˛
dla T (i
odwrotnie).
Matematyka ETId
Metody dowodzenia twierdzeń
I
wprost Z ⇒ T
Elementy logiki
Matematyka ETId
Metody dowodzenia twierdzeń
I
wprost Z ⇒ T
I
nie wprost (Z ⇒ T ) ⇔ (∼ T ⇒∼ Z )
Elementy logiki
Matematyka ETId
Metody dowodzenia twierdzeń
I
wprost Z ⇒ T
I
nie wprost (Z ⇒ T ) ⇔ (∼ T ⇒∼ Z )
I
sprowadzanie do sprzeczności
(Z ⇒ T ) ⇔ ((Z ∧ ∼ T ) ⇒ f ), f - zdanie fałszywe
Elementy logiki
Matematyka ETId
Elementy logiki
Formy zdaniowe
DEFINICJA Forma˛ zdaniowa˛ (funkcja˛ zdaniowa)
˛ nazywamy
wyrażenie zawierajace
˛ zmienna˛ (zmienne), które staje sie˛
zdaniem w sensie logicznym, jeżeli w miejsce zmiennej
(zmiennych) podstawimy nazwe˛ przedmiotu(ów).
Matematyka ETId
Elementy logiki
Formy zdaniowe
DEFINICJA Forma˛ zdaniowa˛ (funkcja˛ zdaniowa)
˛ nazywamy
wyrażenie zawierajace
˛ zmienna˛ (zmienne), które staje sie˛
zdaniem w sensie logicznym, jeżeli w miejsce zmiennej
(zmiennych) podstawimy nazwe˛ przedmiotu(ów).
Z każda˛ funkcja˛ zdaniowa˛ zwiazana
˛
jest rodzina zbiorów, które
sa˛ zakresami zmiennych wystepuj
˛ acych
˛
w funkcjach
zdaniowych. Jest to dziedzina funkcji zdaniowej.
Matematyka ETId
Elementy logiki
Kwantyfikatory
DEFINICJA Kwantyfikatory sa˛ to funktory zdaniotwórcze, które
przekształcaja˛ funkcje zdaniowe w zdania w sensie logicznym.
Matematyka ETId
Elementy logiki
Kwantyfikatory
DEFINICJA Kwantyfikatory sa˛ to funktory zdaniotwórcze, które
przekształcaja˛ funkcje zdaniowe w zdania w sensie logicznym.
I
kwantyfikator ogólny
^
V:
φ(x ) – dla każdego x spełniona jest funkcja φ(x )
x
Matematyka ETId
Elementy logiki
Kwantyfikatory
DEFINICJA Kwantyfikatory sa˛ to funktory zdaniotwórcze, które
przekształcaja˛ funkcje zdaniowe w zdania w sensie logicznym.
I
kwantyfikator ogólny
^
V:
φ(x ) – dla każdego x spełniona jest funkcja φ(x )
x
I
kwantyfikator szczegółowy
_
W:
φ(x ) – istnieje x taki, że spełniona jest funkcja φ(x )
x
Matematyka ETId
Elementy logiki
Kwantyfikatory
DEFINICJA Kwantyfikatory sa˛ to funktory zdaniotwórcze, które
przekształcaja˛ funkcje zdaniowe w zdania w sensie logicznym.
I
kwantyfikator ogólny
^
V:
φ(x ) – dla każdego x spełniona jest funkcja φ(x )
x
I
kwantyfikator szczegółowy
_
W:
φ(x ) – istnieje x taki, że spełniona jest funkcja φ(x )
x
Kwantyfikator ogólny jest uogólnieniem koniunkcji, zaś
szcegółowy – alternatywy.
Matematyka ETId
Elementy logiki
Kwantyfikatory
DEFINICJA Kwantyfikatory sa˛ to funktory zdaniotwórcze, które
przekształcaja˛ funkcje zdaniowe w zdania w sensie logicznym.
I
kwantyfikator ogólny
^
V:
φ(x ) – dla każdego x spełniona jest funkcja φ(x )
x
I
kwantyfikator szczegółowy
_
W:
φ(x ) – istnieje x taki, że spełniona jest funkcja φ(x )
x
Kwantyfikator ogólny jest uogólnieniem koniunkcji, zaś
˛
szcegółowy – alternatywy. Niech X = {x1 , x2 , . . . , xn } bedzie
zakresem zmiennej x w funkcji zdaniowej φ(x ). Wówczas
I
^
x
!
φ(x )
⇐⇒ (φ(x1 ) ∧ φ(x2 ) ∧ · · · ∧ φ(xn ))
Matematyka ETId
Elementy logiki
Kwantyfikatory
DEFINICJA Kwantyfikatory sa˛ to funktory zdaniotwórcze, które
przekształcaja˛ funkcje zdaniowe w zdania w sensie logicznym.
I
kwantyfikator ogólny
^
V:
φ(x ) – dla każdego x spełniona jest funkcja φ(x )
x
I
kwantyfikator szczegółowy
_
W:
φ(x ) – istnieje x taki, że spełniona jest funkcja φ(x )
x
Kwantyfikator ogólny jest uogólnieniem koniunkcji, zaś
˛
szcegółowy – alternatywy. Niech X = {x1 , x2 , . . . , xn } bedzie
zakresem zmiennej x w funkcji zdaniowej φ(x ). Wówczas
I
^
x
I
_
x
!
φ(x ) ⇐⇒ (φ(x1 ) ∧ φ(x2 ) ∧ · · · ∧ φ(xn ))
!
φ(x )
⇐⇒ (φ(x1 ) ∨ φ(x2 ) ∨ · · · ∨ φ(xn ))
Matematyka ETId
Elementy logiki
Prawa rozdzielności kwantyfikatorów
I
^
!
[φ(x ) ∧ ψ(x )]
x
⇐⇒
^
x
φ(x ) ∧
^
x
!
ψ(x )
Matematyka ETId
Elementy logiki
Prawa rozdzielności kwantyfikatorów
I
^
!
[φ(x ) ∧ ψ(x )]
⇐⇒
x
I
_
φ(x ) ∧
x
!
[φ(x ) ∨ ψ(x )]
x
^
⇐⇒
_
x
^
!
ψ(x )
x
φ(x ) ∨
_
x
!
ψ(x )
Matematyka ETId
Elementy logiki
Prawa rozdzielności kwantyfikatorów
I
^
!
[φ(x ) ∧ ψ(x )]
⇐⇒
x
I
_
I
!
[φ(x ) ∨ ψ(x )]
⇐⇒
_
!
=⇒
_
x
zachodzi implikacja odwrotna
^
!
ψ(x )
x
φ(x ) ∨
x
[φ(x ) ∧ ψ(x )]
x
φ(x ) ∧
x
x
_
^
_
!
ψ(x )
x
φ(x ) ∧
_
x
!
ψ(x )
i nie
Matematyka ETId
Elementy logiki
Prawa rozdzielności kwantyfikatorów
I
^
!
[φ(x ) ∧ ψ(x )]
⇐⇒
x
I
φ(x ) ∧
x
_
!
[φ(x ) ∨ ψ(x )]
⇐⇒
x
I
^
_
!
[φ(x ) ∧ ψ(x )]
=⇒
x
_
!
ψ(x )
x
φ(x ) ∨
x
_
^
_
!
ψ(x )
x
φ(x ) ∧
x
_
!
ψ(x )
i nie
x
zachodzi implikacja odwrotna
I
^
x
φ(x ) ∨
^
!
ψ(x )
=⇒
^
x
zachodzi implikacja odwrotna
!
[φ(x ) ∨ ψ(x )]
x
i nie
Matematyka ETId
Elementy logiki
Zmiana zakresu kwantyfikatora
I
^
(φ(x ) ⇒ ψ(x ))
x
^


!
⇐⇒
φ(x )

ψ(x )
Matematyka ETId
Elementy logiki
Zmiana zakresu kwantyfikatora
I
^
(φ(x ) ⇒ ψ(x ))
^


!
⇐⇒
x
I
ψ(x )
φ(x )
_
!
(φ(x ) ∧ ψ(x ))
x


⇐⇒ 
_
φ(x )

ψ(x )
Matematyka ETId
Elementy logiki
Prawa de Morgana dla kwantyfikatorów
I
∼
^
x
!
φ(x )
⇐⇒
_
x
!
∼ φ(x )
Matematyka ETId
Elementy logiki
Prawa de Morgana dla kwantyfikatorów
I
∼
^
!
φ(x )
⇐⇒
x
I
∼
_
x
_
!
∼ φ(x )
x
!
φ(x )
⇐⇒
^
x
!
∼ φ(x )
Matematyka ETId
Elementy logiki
Prawa de Morgana dla kwantyfikatorów
I
∼
^
!
φ(x )
⇐⇒
x
I
∼
_
x
_
!
∼ φ(x )
x
!
φ(x )
⇐⇒
^
!
∼ φ(x )
x
Prawa te słuszne sa˛ również dla kwantyfikatorów o zasiegu
˛
ograniczonym.
Matematyka ETId
Elementy logiki
Prawa przemienności dla kwantyfikatorów
I
^^
x
y
!
φ(x , y )
⇐⇒
^^
y
x
!
φ(x , y )
Matematyka ETId
Elementy logiki
Prawa przemienności dla kwantyfikatorów
I
^^
x
I
φ(x , y )
⇐⇒
y
__
x
!
y
^^
y
!
φ(x , y )
⇐⇒
φ(x , y )
x
__
y
!
x
!
φ(x , y )
Matematyka ETId
Elementy logiki
Prawa przemienności dla kwantyfikatorów
I
^^
x
I
I
⇐⇒
^^
y
!
φ(x , y )
⇐⇒
y
_^
x
φ(x , y )
y
__
x
!
!
φ(x , y )
=⇒
y
implikacja odwrotna
!
φ(x , y )
x
^_
y
φ(x , y )
x
__
y
!
x
!
φ(x , y )
i nie zachodzi