Warsztaty metod fizyki teoretycznej II Zestaw 5 Wiele twarzy analizy

Warsztaty metod fizyki teoretycznej II
Zestaw 5
Wiele twarzy analizy wymiarowej
Michał P. Heller, Marek Tylutki
26.03.2009
Co to jest analiza wymiarowa?
Analiza wymiarowa to sztuka wyodrębniania informacji o zależnościach między wymiarowymi wielkościami fizycznymi opisującymi problem. Teoretycy wykorzystują ją właściwie na każdym kroku,
chociaż (prawie) nikt nie uczy jej na studiach. Aby zrozumieć jak działa analiza wymiarowa należy odpowiedzieć sobie na pytanie co to znaczy, że wielkość ma wymiar? Powiedzmy, że chcemy
zmierzyć szerokość naszego biurka. Co w tym celu robimy? Najprostsze wyjście to wziąć linijkę,
przyłożyć ją wzdłuż krawędzi biurka i odczytać wynik z podziałki w milimetrach. Załóżmy, że
dostaliśmy 1120 mm. Oznacza to, że przykładając linijkę do biurka mierzymy stosunek długości
biurka do długości wyznaczonej przez tajmniczo brzmiący wzorzec milimetra. Teraz, powiedzmy,
bierzemy inną linjkę, na której skala podstawowa to 1 cm. Mierzymy szerokość biurka i dostajemy
l1 = 112 cm. Wynik się zmienił ponieważ użyliśmy innego wzorca. Wielkości, które zmieniają
się gdy przeskalujemy nasz układ jednostek (nasze wzorce) nazywamy wielkościami wymiarowymi.
Powiedzmy, że dla odmiany zmierzymy też długość stołu i dostajemy l2 = 224 cm. Okazuje się, że
stosunek l2 do l1 nie zależy od wyboru jednostek w których zmierzymy długości l1 i l2 . Taką wielkość
nazywamy bezwymiarową. Rozważmy kolejny, ciekawszy przykład - wahadło matematyczne.
Przykład I: wahadło matematyczne
Wahadło matematyczne to masa punktowa m zawieszona na sznurku o zadanej długości l i umieszczona w jednorodnym polu grawitacyjnym o przyspieszeniu g. Załóżmy, że nie znamy teorii (zasad
dynamiki Newtona), za to jesteśmy zręcznymi eksperymentatorami. Odchylając wahadło od położenia równowagi o kąt θ stwierdzamy, że wykonuje ono drgania z okresem τ . Zadaniem fizyka
jest dostarczenie informacji o zależności okresu od masy m, długości wahadła l, przyspieszenia
ziemskiego g i wychylenia θ. Będziemy używać abstrakcyjnego układu jednostek M L T, w którym
mamy tylko
- jednostkę masy M ,
- jednostkę długości L,
- jednostkę czasu T.
1
W tym układzie jednostek parametry opisujące zagadnienie mają natępujące wymiary
- długość wahadła [l] = L,
- masa ciała [m] = M ,
- przyspieszenie ziemskie [g] = L T −2
- wychylenie początkowe wahadła [θ] = 1,
- okres drgań [τ ] = T .
Zastanówmy się, czy z powyższych parametrów możemy stworzyć wielkość bezwymiarową C zdefiniowaną jako
C = lα mβ g γ τ δ .
(1)
Spójrzmy na jednostki
1 = [C] = Lα M β L T −2
γ
Tδ
(2)
Ponieważ chcemy dostać coś bezwymiarowego, wszystkie jednostki muszą się poskracać. Stąd dostajemy układ równań
α + γ = 0,
β = 0,
−2γ + δ = 0.
(3)
Ostatecznie dostajemy, że wielkością bezwymiarową jest
r
C(0) = τ
g
,
l
(4)
albo jej dowolna funkcja. W problemie istnieje jeden parametr bezwymiarowy, jest nim kąt wychylenia wahadała od pionu θ. Ponieważ jest to wielkość bezwymiarowa dostajemy, że
C(0) = f (θ)
(5)
gdzie f (θ) to dowolna funkcja wychylenia początkowego. Przekształcając ten wzór dostajemy
s
l
f (θ) .
(6)
g
Otrzymaliśmy więc wzór na okres wahadła matematycznego z dokładnością do nieznanej funkcji
zmiennej bezwymiarowej θ. Zauważmy, że okres nie zależy od masy cząstki i jest to wynik całkowicie oparty na analizie wymiarów wszystkich wielkości. Analiza wymiarowa nie dostarczy nam już
żadnych nowych informacji o problemie. Z teorii oscylatora harmonicznego wynika, że dla małych
kątów f (θ) → 2π. Wynik ten możemy potwierdzić doświadczalnie. Przyjrzyjmy się jeszcze raz
τ=
całej procedurze. Na początku przybliżamy problem decydując przez jakie wielkości fizyczne jest
on opisywany. To, czy analiza wymiarowa dostarcza nam przydatnych wyników, zależy od liczby
niezależnych wielkości bezwymiarowych, które możemy utworzyć. Tutaj mamy dwie takie wielkości:
wychylenie od położenia równowagi θ oraz bezwymiarowy nietrywialny iloczyn wielkości wymiarowych τ , g i l. Po odwikłaniu okresu otrzymujemy nieznaną funkcję parametru bezwymiarowego θ.
W takim przypadku analiza wymiarowa jest skuteczna (daje nam oszacowanie rzędu wielkości, a
także zależność funkcyjną okresu od długości i masy).
2
Przykład II: skala Plancka
Załóżmy, że chcemy skonstruować teorię kwantowej grawitacji i mamy już pewne doświadczenie w
konstruowaniu teorii fizycznych. Zacznijmy od teorii grawitacji Newtona. Wzór na siłę oddziaływania dwóch ciał punktowych przyjmuje postać
GN m1 m2
(7)
r2
gdzie GN to stała wymiarowa. Gdy GN → 0, ciała nie oddziałują. Rozważmy teraz dla odmiany
szczególną teorię względności. W teorii tej także występuje stała wymiarowa – prędkość światła
w próżni c. Z konieczności uogólnienia szczególnej teorii względności i teorii grawitacji Newtona
powstała ogólna teoria względności. W tej teorii występują dwie fundamentalne stałe wymiarowe
- prędkość światła c i stała Newtona GN . W latach 20. i 30. XX wieku odkryto mechanikę
F =
kwantową, która wprowadza kolejną fundamentalną stałą – h (stała Plancka). Kwantowa teoria
pola to relatywistyczna mechanika kwantowa układu o nieskończonej liczbie stopni swobody. Teoria
ta zawiera dwie stałe fundamentalne – h oraz c. Kwantowa teoria grawitacji powinna w takim
razie uwzględniać w jakiś sposób wszystkie stałe fundamentalne. Pokażemy, że prowadzi to do
fundamentalnej skali odległości nazywanej skalą Plancka. Potrzebne wartości stałych fizycznych to
- GN = 6.674 × 10−11 m3 kg −1 s−2 ,
- h̄ = 1.054 × 10−34 J s,
- c = 2.998 × 108 m s−1 .
Wielkości podane są z dokładnościa 3 cyfr po przecinku za amerykańskim National Institutes of
Standards and Technology. Wszystko robimy analogicznie jak w przypadku wahadła. Na początku
wypisujemy wymiary wszystkich wielkości występujących w problemie
- stała Newtona - [GN ] = M −1 L3 T −2 ,
- kreślona stała Plancka - [h̄] = M L2 T −1 ,
- prędkość światła - [c] = L T −1
Zakładając, że są to jedyne wielkości wymiarowe opisujące kwantową grawitację (żadnych dodatkowych wymiarów itp.), rozważmy ich iloczyn w postaci
F = GαN h̄β cγ .
(8)
Okazuje się, że gdy wybierzemy
- α = 1/2, β = 1/2, γ = −3/2 to otrzymamy długość Plancka lP = 1.6 × 10−35 m
- α = 1/2, β = 1/2, γ = −5/2 to otrzymamy czas Plancka tP = 5.4 × 10−44 s,
- α = −1/2, β = 1/2, γ = 1/2 to otrzymamy masę Plancka mP = 2.2 × 10−8 kg.
Żeby uświadomić sobie jak mała jest długość Plancka, wystarczy małe porównanie. Skala charakterystyczna dla zjawisk zachądzących w jądrze atomowym to 10−16 m. Oznacza to, że do skali
jądra atomowego mamy ”bliżej” na wykresie logarytmicznym niż od skali QCD do długości Plancka.
Zauważmy jak mało wspólnego ma fizyka klasyczna ze zjawiskami opisywanymi kwantowa teorią
pola. Sugeruje to, że mówienie o kwantowej grawitacji może być nadużyciem z punktu widzenia
dotychczasowej drogi fizyki.
3
Zadanie I: odszukaj na zdjęciu ściśle tajną informację
W roku 1945 nastała era atomowa. 16 lipca na poligonie w Nowym Meksyku (USA) zdeto- nowano
pierwszą w historii bombę atomową. Eksplozję nakręcono na filmie, a taśmy upubliczniono po
jakimś czasie. Na poszczególnych klatkach widać skalę pozwala jącą oszacować z dobrą dokładnością
promień kuli ognistej oraz czas od chwili eksplozji. Oczywiście energia wybuchu (szacowana na 2022 kilotony TNT) była utrzymywana w tajemnicy. Proszę pokazać, że publikacja zdjęć wybuchu
to duży błąd (można je znaleźć na przykład pod adresem [1]). Proszę oczywiście użyć analizy
wymiarowej. Potrzebne dane, to
- gęstość suchego powietrza (poziom morza, temperatura pokojowa) ρ0 = 1.2kg m−3 ,
- ciśnienie powietrza na poziomie morza p0 = 100 kPa.
Wynik proszę przeliczyć na kilotony trotylu (1 tona TNT = 4.6 ×109 J).
Zadanie II: hydrodynamika konforemna
Bardzo wiele zjawisk w fizyce opisywanych jest przez hydrodynamikę. Jest to teoria efektywna dla
układów w których zachodzą wolne zmiany w stosunku do skal mikorskopowych. Równania ruchu
hydrodynamiki relatywistycznej są zafiksowane przez analizę wymiarową i symetrie. W tym zadaniu
skupimy się na konforemnej hydrodynamice relatywistycznej. Założenie o konforemności oznacza,
że tensor energii pędu jest bezśladowy i że jedyną wymiarową wielkością fizyczna w problemie
jest temperatura. W szczególności tensor energii-pędu może opisywać plazmę kwarkowo-gluonową
(patrz następne zadanie). Użyj symetrii i analizy wymiarowej, żeby wyjaśnić poniższe podpunkty.
1. Ile wynosi gęstości energii, a ile gęstość entropii w zależności od temperatury przy stałej
objętości?
2. Zakładając, że tensor energii-pędu dla isotropowej plazmy w spoczynku przyjmuje postać
µν
T(0)
= diag (, p, p, p) oblicz jak wygląda on po przeboostowaniu o czteroprędkość uµ (uµ uµ =
−1). Następnie załóż, że zarówno T jak i uµ zależą od współrzędnych czasoprzestrzennych.
Jakie równania ruchu wynikają z zachowania tensora energii-pędu?
3. Gdy czteroprędkość i temperatura zależą od współrzędnych czasoprzestrzennych do tensora
µν
energii-pędu T(0)
dochodzą poprawki związane z gradientami (pochodnymi czteroprędkości).
Oblicz pierwszą poprawkę do tensora energii-pędu korzystając z symetrii i wyznacz wymiar
µν
współczynnika, który ją przemnaża (załóż, że uµ T(1)
= 0). Wartość tego współczynnika jest
wielkościa zależącą od mikroskopowej fizyki substancji, którą próbujemy
n opisać - onazywa się
µν
µν
go lepkością (ang. shear viscosity). Równania ruchu to tym razem ∂µ T(0)
+ T(1)
=0
Konstrukcję tu przedstawioną można pociągnąc dalej i otrzymać hydrodynamikę drugiego rzędu w
gradientach. W konstrukcji tej wielką rolę odgrały metody grawitacyjne, w szczególności postać
tensora energii - pędu dla konforemnej hydrodynamiki drugiego rzędu została otrzymana z fizyki
czarnych dziur [2] przy użyciu metod teorii strun (korespondencja AdS/CFT – fajny przegląd to
[4]).
4
Rysunek 1: Obrazek przedstawia zderzenie dwóch ultrarelatywistycznych ciężkich jonów. Od lewej
do prawej: 1) zbliżające się relatywistyczne ciężkie jądra (wyglądają jak naleśniki ze względu na
kontrakcję Lorentza), 2) zderzenie, 3) ekspansja plazmy kwarkowo-gluonowej opisywana w języku
hydrodynamiki, 4) hadronizacja.
Zadanie III: boost-invariant flow
W zderzeniach ciężkich jonów w akceleratorze RHIC w Brookhaven wytworzono nowy rodzaj materii - plazmę kwarkowo-gluonową [3]. Układ ten jest silnie sprzężony i dynamiczny, co oznacza, że
jego opis w języku QCD – fundamentalnej teorii oddziaływań silnych – jest bardzo trudny. Co więcej zadowalający opis fenomenologiczny plazmy kwarkowo-gluonowej to hydrodynamika, w której
informacje o QCD kryją się w równaniu stanu i współczynnikach transportu (na przykład lepkość).
Na dzień dzisiejszy nikt nie potrafi wyznaczyć lepości plazmy kwarkowo-gluonowej bazując na QCD.
Co mówi o tym teoria strun? Pomysł, który się za tym kryje jest bardzo prosty. Skoro nie potrafimy
policzyć czegoś w QCD, weźmy inną silnie sprzężoną teorię, w której umiemy prowadzić rachunki
i zobaczmy jak nasze wyniki stosują się do plazmy w RHIC. Tę "inną silnie sprzężoną teorią"może
być na przykład 1+3 wymiarowy N = 4 super Yang-Mills, który posiada (przy pewnych dodatkowych założeniach dotyczących obecnych pól i wartości parametrów) równoważny opis w języku
teorii grawitacji w 1+4 wymiarach (tak zwana korespondencja AdS/CFT [4]). Dualność ta (opis tej
samej fizyki w dwóch językach) pozwala tłumaczyć problem policzenia współczynników transportu
w teorii N = 4 super Yang-Mills przy silnym sprzężeniu (nie do zrobienia przy użyciu standardowych metod) na zagadnienie z ogólnej teorii względności, które okazuje się stosunkowo proste
do rozwiązania. Choć przybliżenie które robimy jest niekontrolowane (N = 4 super Yang-Mills
znacząco różni się od QCD w zerowej temperaturze), oczekuje się, że w skończonej temperaturze
plazmy obydwu teorii będą się zachowywać podobnie co najmniej pod względem jakościowym. Okazuje się jednak, że współczynniki transportu otrzymane dla N = 4 super Yang-Mills z rachunków
grawitacyjnych mogą być z zadowalającą dokładnością (rząd wielkości) stosowane do QCD, co jest
znaczącym sukcesem.
1. Proszę zastanowić się jakie przybliżenia można przyjąć do opisu ekspansji plazmy kwarkowogluonowej powstałej w zderzeniu (patrz rys. 1). Czy założenie o jednowymiarowej ekspansji
plazmy (wzdłuż osi zderzenia) jest dobre? Jeśli tak, to kiedy?
5
2. Dodatkowym założeniem, które przyjmuje się do opisu plazmy kwarkowo-gluonowej jest przybliżona niezmienniczość ze względu na boost-y wzdłuż osi zderzenia. Proszę wprowadzić
zmienne czas własny τ i rapidity y, takie, że x0 = τ cosh y oraz x1 = τ sinh y. Jak zachowują
się tau i y przy transformacjach Lorentza wzdłuż osi zderzenia? Co mówi to o zależności
wielkości fizycznych opisujących proces w przypadku boost-invariant od τ i y?
3. Proszę pokazać, że zachowany, bezśladowy tensor energii-pędu T µν w przypadku boost-invariant
da się w pełni wyrazić przez gęstość energii (τ ) = Tττ .
4. Okazuje się, że ewolucja boost-invariant tensora energii-pędu dla dużych τ opisywana jest
z sukcesem przez hydrodynamikę. Wielkościami, które opisują dynamikę są wtedy gęstość
energii albo temperatura (do wyboru) i czteroprędkość plazmy. Ile wynosi ta ostatnia?
(Wskazówka: przejść do układu w którym plazma lokalnie spoczywa)
5. Wiodący człon w równaniach hydrodynamiki przyjmuje postać [6]
4 (τ ) 4 η(τ )
+
(9)
3 τ
3 τ2
Proszę rozwiązać to równanie dla dużych czasów własnych, zakładając, że η = A · s, gdzie s
to gęstość entropii, a A to nieznana stała bezwymiarowa.
0 (τ ) = −
6. Gęstość energii wyznaczona z rachunków w ramach teorii strun wynosi
1
Nc2 1
(1
−
2η
)
(10)
0
2π 2 τ 4/3
τ 2/3
gdzie η0 = 21/21·33/4 [6]. Zakładając, że stała proporcjonalności dla zależności gęstości energii
od temperatury wynosi 38 Nc2 π 2 proszę policzyć stosunek lepkości η do gęstości entropii s.
Otrzymany wynik to słynny KSS bound [7], czyli postulowana najniższa wartość tej wielkości
w przyrodzie.
(τ ) =
Literatura
[1] http://www.atomicarchive.com/Photos/Trinity/index.shtml
[2] S. Bhattacharyya, V. E. Hubeny, S. Minwalla and M. Rangamani, JHEP 0802, 045 (2008)
[arXiv:0712.2456 [hep-th]].
[3] E. V. Shuryak, “What RHIC experiments and theory tell us about properties of quark-gluon
plasma?,” Nucl. Phys. A 750, 64 (2005) [arXiv:hep-ph/0405066].
[4] H. Nastase, “Introduction to AdS-CFT,” arXiv:0712.0689 [hep-th].
[5] J. D. Bjorken, “Highly Relativistic Nucleus-Nucleus Collisions: The Central Rapidity Region,”
Phys. Rev. D 27, 140 (1983).
[6] M. P. Heller, R. A. Janik and R. Peschanski, “Hydrodynamic Flow of the Quark-Gluon Plasma
and Gauge/Gravity Correspondence,” Acta Phys. Polon. B 39, 3183 (2008) [arXiv:0811.3113
[hep-th]].
[7] D. T. Son and A. O. Starinets, Ann. Rev. Nucl. Part. Sci. 57, 95 (2007) [arXiv:0704.0240
[hep-th]].
6
1
Zadanie I: ROZWIĄZANIE
Z wielkości opisujących problem w wiodącym przybliżeniu liczą się tylko r - promień kuli ognistej,
t - czas od chwili wybuchu, ρ - gęstość powietrza i E - energia wybuchu. Ciśnienie pomijamy,
ponieważ nie gra ono roli w problemie propagacji fali uderzeniowej w pierwszym przybliżeniu. Po
przeprowadzeniu analizy analogicznej do przedstawej w przykładach otrzymujemy, że
r = C E 1/5 · ρ−1/5 · t2/5 ,
(11)
gdzie C jest stałą bezwymiarową, której nie da się wyznaczyć za pomocą analizy wymiarowej.
Ponieważ stała ta jest rzędu jeden, energię można odczytać z regresji liniowej jesli weźmie się
logarytm obydwu stron równości.
2
Zadanie II: ROZWIĄZANIE
1. W układzie jednostek, którego używamy, jedyną jednostką jest jednostka odległości L. Ponieważ temperatura ma jednostkę L−1 , zaś energia (również o jednostce L−1 ) to przecałkowana po
trójwymiarowej objętości gęstość energii, ta ostatnia musi przyjmować postać epsilon ∼ T 4 .
Oznaczając stałą proporcjonalności jako 38 π 2 Nc2 otrzymujemy ostatecznie
3
(12)
= π 2 Nc2 T 4
8
Z pierwszej zasady termodynamiki przy stałej objętości otrzymujemy T dS = d, co prowadzi
do s = 4/3.
2. Tensor energii-pędu T możemy zapisać jako
T = dt2 + p d~x2 ,
(13)
albo równoważnie
T = dt2 + p dt2 + −p dt2 + p d~x2 .
(14)
Zmieniając kolejność wyrazów otrzymujemy
T = dt2 + p dt2 + p ηµν dxµ dxν .
(15)
Ostatni wyraz jest zapisany kowariantnie. Przy boostach dt → uµ duµ , co prowadzi do ostatecznego wzoru
T = uµ uν dxµ dxν + p (ηµ ν + uµ uν ) dxµ dxν
(16)
Człon η µν +uµ uν oznacza się zazwyczaj ∆µν i jest operatorem rzutowym na część przestrzenną
w układzie współporuszającym się.
µν
3. Człon T(1)
musi zawierać gradienty tylko pierwszego rzędu, być symetryczny i bezśladowy.
µν
Dodatkowo ma zachodzić uµ T(1)
= 0. Po uwzględnieniu tych wszystkich warunków otrzymuje
się w 4 wymiarach, że
1
1
µν
∆µν ∆αβ ∇α uβ
(17)
T(1)
∼ ∆µα ∆νβ (∇α uβ + ∇β uα ) −
2
4−1
Współczynnik proporcjonalności nazywany jest lepkością (ang. shear viscosity) i zależy od
tylko od temperatury. Ponieważ wymiar poszczególnych wkładów gradientowych do tensora
energii-pędu musi być taki sam, wymiar lepkości to L−3 (gęstość energii z zerowego rzędu ma
wymiar L−4 , zaś w pierwszym rzędzie występują pochodne, które mają wymiar L−1 ).
7
3
Zadanie III: ROZWIĄZANIE
1. W pierwszym przybliżeniu ekspansja plazmy jest jednowymiarowa (wzdłuż osi zderzenia).
Jest to sensowne przybliżenie tak długo, jak rozmiar jąder jest znacznie większy od obszaru
zajmowanego przez plazmę. Żeby uprościć sprawę jeszcze bardziej zapomina się o jądrach i
zakłada się, że plazma wypełnia całą dostępną przestrzeń
2. Przy boost-ach wzdłuż osi zderzenia współrzędna czasowa i przestrzenna transformują się w
następujący sposób
x0 → γx0 − γ βx1 ,
x1 → γx1 − γ βx0 ,
(18)
−1/2
2
gdzie x0 = c t, x1 = x oraz β = v/c i γ = (1 −
. Podstawiając otrzymane formuły
qβ )
2
0
transformacyjne do wzorów na czas własny τ = (x ) − (x1 )2 i rapidity y = arccoth (x0 /x1 )
otrzymujemy
τ → τ,
y → y + arctanh (β) .
(19)
Skoro żądamy, że układ ma być niezmienniczy ze względu na boosty, to fizyka musi zależeć
tylko od czasu własnego. Zauważmy też, że rapidity bardzo ładnie transformuje się przy
boostach. Poza tym metryka Minkowskiego w zmiennych czas własny / rapidity przyjmuje
postać
ds2M4 = −dτ 2 + τ 2 dy 2 + dx2⊥ ,
(20)
gdzie x⊥ oznacza współrzedne prostopadłe do osi zderzenia (x2 i x3 ). Metryka ta ma nieznikające symbole Christoffela, natomiast jest tensor krzywizny jest oczywiście tożsamościowo
zero.
3. W układzie czas własny i rapidity najbardziej ogólny tensor energii-pędu, który ma symetrię
obrotową i translacyjną w zmiennych x⊥ jest boost-invariant oraz symetryczny ze względu na
odbicia y → −y przyjmuje postać
n
o
T µν = diag (τ ) , τ −2 pk (τ ) , p⊥ (τ ) , p⊥ (τ )
(21)
Z bezśladowości Tµµ = 0 i zachowania ∇µ T µν wynikają równania
0 = − (τ ) + pk (τ ) + 2p⊥ (τ )
0 = τ ∂τ (τ ) + (τ ) + pk (τ )
(22)
Równania te prowadzą do tensora energii pędu, który w pełni da się wyrazić za pomocą
gęstości energii
1
1
T µν = diag (τ ) , −τ −2 {τ ∂τ (τ ) + (τ )} , (τ ) + τ ∂τ (τ ) , (τ ) + τ ∂τ (τ ) .
2
2
Oznacza to, że cała dynamika w przypadku boost-invariant flow tkwi w gęstości energii.
8
(23)
4. Skoro czas i położenie w zmiennych czas własny i rapidity wyrażają się wzorami x0 = τ cosh y
i x1 = τ sinh y i parametrem, który opisuje ewolucję plazmy jest τ to czteroprędkość plazmy
wynosi uµ = ∂τ xµ i w układzie laboratoryjnym przyjmuje postać uµ = (cosh y, sinh y, 0, 0).
5. Wskazówka: T = λτ −1/3 + . . ..
9