Lista II. Równania różniczkowe rzędu pierwszego

MATEMATYKA 2
Katedra Matematyki
rok ak. 2011/2012
Lista II. Równania różniczkowe rzędu pierwszego
Określić rząd danego równania różniczkowego oraz stwierdzić, czy jest to równanie liniowe,
czy nieliniowe:
2.1.
d2 y
dx2
dy
= x2
+ exy dx
2.2.
d3 y
dx3
d y
dy
+ 4 dx
2 + (sin x) dx = xy + tg x
2.3.
d2 y
dx2
dy 3
+ 3x( dx
) − y = 1 + 3x
2.4.
dy
dx
2.5.
d4 y
dx4
2
d2 y
+ (sin x)e dx2 − tg y = cos x
2
d y
+ 3 dx
2 = x
2.6. 2y 000 − sin xy 0 + y 2 = 13ex
3
)2 + 7 ddt3x = 2 ln t
2.7. ( dx
dt
2.8. cos y 000 + ay 00 = 0
Sprawdzić, czy dana funkcja jest rozwiązaniem danego równania różniczkowego (C1 , C2 stałe).
2.9. y = C1 ex + C2 e−2x , y 00 + y 0 − 2y = 0
2.10. y =
1
,
x+4
y 0 = −y 2
2.11. y = C1 x2 + C2 x3 − x2 sin x, x2 y 00 − 4xy 0 + 6y = x4 sin x
2.12. y = C1 eax + C2 ebx ,
d2 y
dx2
dy
− (a + b) dx
+ aby = 0 , gdzie a, b-stałe i a 6= b
Wykazać, że dana relacja definiuje rozwiązanie równania różniczkowego (C-stała):
2.13. x sin y − ex = C,
dy
dx
=
ex −sin y
x cos y
2.14. xy 2 + 2y − x = C, y 0 =
1−y 2
2(1+xy)
Rozwiązać następujące zagadnienie początkowe:
2.15.
dy
dx
2.16.
d2 y
dx2
= cos x, y(0) = 2, y 0 (0) = 1
2.17.
d3 y
dx3
= 6x, y(0) = 1, y 0 (0) = −1, y 00 (0) = 4
= ln x, y(1) = 2
1
MATEMATYKA 2
Katedra Matematyki
rok ak. 2011/2012
Rozwiązać następujące zagadnienie brzegowe:
2.18.
d2 y
dx2
= e−x , y(0) = 1, y(1) = 0
2.19.
d2 y
dx2
= −2(3 + ln x), y(1) = y(e) = 0
Rozwiązać następujące zagadnienie mieszane:
2.20.
d2 x
dt2
= 1t , x(1) = 0, x0 (e) = 0
2.21.
d3 y
dx3
= cos x, y(0) = 0, y( π2 ) = −1, y 0 (0) = 0
2.22. Czy zagadnienie początkowe:
sadnić odpowiedź.
dy
dx
√
= x y, y(0) = 0 ma jednoznaczne rozwiązanie? Uza-
Rozwiązać następujące równanie różniczkowe:
2.23.
dy
dx
= 2xy
2.24. ex+y dy − dx = 0
2.25.
dy
dx
=
y
x ln x
2.26.
dy
dx
=
y2
x2 +1
2.27. ydx − (x − 2)dy = 0
dy
dy
2.28. y − x dx
= 3 − 2x2 dx
2.29.
dy
dx
=
2x(y−1)
x2 +3
2.30.
dy
dx
=
x(y 2 −1)
2(x−2)(x−1)
Rozwiązać następujące zagadnienie początkowe:
2.31.
dy
dx
= y 3 sin x , y(0) = 1
2.32. (1 − x2 ) y 0 + xy = ax , y(0) = 2a, gdzie a - stała.
Sprawdzić, czy dane funkcje są funkcjami jednorodnymi:
2.33. f (x, y) =
y
x−1
√
2.34. f (x, y) =
x2 +y 2
,
x−y
x<0
2
MATEMATYKA 2
Katedra Matematyki
rok ak. 2011/2012
Rozwiązać następujące równanie różniczkowe:
dy
= 3y
2.35. (3x − 2y) dx
dy
2.36. sin( xy )(x dx
− y) = x cos( xy )
2.37. (2x − y)dy − (x + 2y)dx = 0
dy
2.38. x dx
+ y ln x = y ln y
2.39.
dy
dx
=
(x+y)2
2x2
2.40. y (x2 − y 2 ) dx − x (x2 + y 2 ) = 0
Rozwiązać następujące zagadnienie początkowe:
2.41.
2.42.
dy
dx
=
dy
dx
=
2x−y
,
x+4y
y(1) = 1
√
y−
x2 +y 2
,
x
y(3) = 4
2.43. Obiekt o masie m spada z pewnej wysokości (blisko Ziemi). Zakładając, że opór powietrza
jest proporcjonalny do kwadratu prędkości, otrzymujemy z II prawa Newtona następujące
zagadnienie początkowe dla prędkości, v = v(t):
dv
= mg − kv 2 , v(0) = 0 ,
dt
gdzie k, m, g to dodatnie stałe.
a) Rozwiązać to zagadnienie początkowe dla v .
b) Wyznaczyć położenie obiektu w czasie t.
2.44. Prąd i(t) w obwodzie RL jest określony równaniem różniczkowym:
L
di
+ Ri = E(t)
dt
gdzie R i L są stałymi a E(t) jest znaną funkcją t.
a) Rozwiązać podane równanie różniczkowe, gdy E(t) = E0 cos ωt, t > 0, gdzie E0 i ω są
stałymi.
b) Pokazać, że rozwiązanie może być zapisane w postaci:
E0
i(t) = Ae−at + √ 2
cos(ωt − ϕ)
L a + ω2
gdzie ϕ = arc tg(ω/a), a = R/L, i A jest stałą .
3
Katedra Matematyki
MATEMATYKA 2
rok ak. 2011/2012
2.45. W obwodzie RL: R = 4Ω, L = 0.1H, i E(t) = 20V . Wyznaczyć prąd w obwodzie dla
t ­ 0.
2.46. Rozważmy obwód RC, w którym R = 5Ω, C =
w obwodzie dla t ­ 0.
1
F
50
oraz E(t) = 100V . Wyznaczyć prąd
2.47. W obwodzie RL E(t) = 10 sin 4t V . Jeżeli R = 2Ω, L = 2/3H, wyznaczyć prąd dla t ­ 0.
2.48. W obwodzie RC: R = 2Ω, C = 81 F oraz E(t) = 10 cos 3tV . Jeżeli q(0) = 1C, wyznaczyć
prąd w obwodzie dla t ­ 0.
2.49. Rozważmy ogólny obwód RC z E(t) = 0. Załóżmy, że q(0) = 5C. Wyznaczyć ładunek
na kondensatorze dla (t > 0). Co się stanie gdy t → ∞ ? Uzasadnić.
2.50. Wyznaczyć prąd w obwodzie RL, jeżeli SEM jest E(t) = E0 sin ωt, gdzie E0 i ω są stałe.
Wyznaczyć część ustaloną i przejściową rozwiązania.
2.51. Wyznaczyć prąd w obwodzie RC, jeżeli kondensator jest początkowo nienaładowany i
SEM jest dane przez E(t) = E0 e−at , gdzie E0 i a są stałymi.
4