o liniowych zagadnieniach teorii sprężystości ciał dyskretyzowanych

M E C H A N I K A TEORETYCZNA I STOSOWANA 1, 11 (1973) O LINIOWYCH ZAGADNIENIACH TEORII SPRĘ Ż YSTOŚI CCIAŁ DYSKRETYZOWANYCH WIESŁAW K U F E L (WARSZAWA) Podstawy mechaniki ciał dyskretyzowanych sformułowano w [1]. W niniejszej pracy e jako szczególny przypadek ciał dyskretyzo­
definiuje się jednobiegunowe ciała sprę ż yst
wanych. Przyjmując za punkt wyjś cia podstawowy układ r ó w n a ń opisują cy ruch ciał dyskretyzowanych, wyprowadza się równania ruchu oraz równania konstytutywne linio­
wej teorii sprę ż ystyc
h jednobiegunowych ciał dyskretyzowanych. N a gruncie tej teorii formułuje się prawa zachowania, zasadę prac wirtualnych, twierdzenie o jednoznacznoś ci rozwią zań oraz twierdzenie o wzajemnoś ci Bettiego. W pracy podano także prosty przy­
kład jednobiegunowego ciała dyskretyzowanego. e jednobiegunowe ciała dyskretyzowane. Przypadek ogólny 1. Sprę ż yst
Ciało dyskretyzowane (D, S) zdefiniowane w [1] nazwiemy jednobiegunowym ciałem dyskretyzowanym wtedy i tylko wtedy, gdy zbiór D bę dzie przeliczalnym zbiorem p u n k t ó w materialnych de D. Ruch takiego punktu opisuje wektor wodzą cy, który w ortogonalnym układzie kartezjań skim przestrzeni fizycznej ma współrzę dne z* = f (d, т ). T y m samym funkcje q"(d, т ) okreś lone w punkcie 1 pracy [1] bę dą miały postać q"(d, т ) = dlyfi(d, r), a = = 1, 2, 3, a wymiar przestrzeni wektorowej V bę dzie n = 3. Wprowadzając w k a ż d ym elemencie dyskretnym E e S układ współrzę dnych [ l ] / : E ­* (d,f d), Л = I, II, m,
moż emy opisać ruch takiego elementu funkcjami y^(d, x) A f (d, r). W dalszym cią gu założ ymy, że jednobiegunowe ciało dyskretyzowane jest dyskretyzowanym ciałem sprę ż ­y
stym. Oznacza to, zgodnie z definicją podaną w [1], p. 4, że dla każ dego elementu dyskret­
nego E e 8 istnieje funkcja energii sprę ż yste
j s[d, y> (d, r), A ip (d, r)]. Wykorzystując niezmienniczość funkcji e wzglę dem przesunięć w czasoprzestrzeni moż emy pominąć A f ). zależ ność s(d, ip , A y> ) od y) przyjmując e = e(d, k
u £
A
k
A
k
k
A
k
k
k
k
A
A
W zwią zku z tym równania konstytutywne (wzór (4.8) w pracy [1]) sprowadza się do postaci ( 1 Л
> ^
=
я
^
' cA yr
A
natomiast z r ó w n a ń ruchu (4.5) otrzymamy (1­2) 1) Wskaź niki Л ,Ф ,... konwencja sumacyjna. Д л Т й +fk = г п щ , przebiegają ciąg / , / / , . . . , m, a wskaź niki Ar,/,... ciąg 1,2,3. Obowią zuje 64 W . K U F E L gdzie m = m{d) jest masą punktu, af =f (d, т ) są siłami zewnę trznymi działają cymi na ten punkt. Postać równań ruchu (1.2) oraz r ó w n a ń konstytutywnych (1.1) wykazuje dużą analogię do odpowiednich r ó w n a ń ruchu oś rodka sprę ż ysteg
o w klasycznej teorii sprę ż ­y
stoś ci. W szczególnym przypadku, gdy spełnione są warunki podane na koń cu p.2 [1], jed­
nobiegunowe ciało dyskretyzowane posiada wnę trze D с D oraz brzeg dD = DjD . R ó w n a n i a ruchu (1.2) dotyczą wtedy każ dego d e D . R ównania te dla dedD trzeba zastą pić odpowiednimi warunkami brzegowymi (5.6) [1], które przyjmą postać k
k
0
0
0
(1.3) T
S
^
d
' T
S
AeRd d
?(f­A > *)+M*. *) = a gdzie R i L są odpowiednimi podcią gami cią gu I, II, T (d, r), T \f_ d, T) zachodzi wzór d
Г ), Ae L
m. Zauważ my, że dla wielkoś ci d
A
k
A
(1.4) ~ S [ S dD
gdzie deAD o A
T
W >
eRd T
?(f­Ad, 0
л
d
T
T ) ] = S W­* >
AeLd [(d e D ) ( V f_ d 0
T
^>­ S
)^' ADo ~ e D ) ] v W ~ e D ) ( V f_ d e D )] A
0
0
A
A
0
oraz l d l a {d~sD ) {\Jf_ deD ), 0
h
A
0
A (1.5) N = A
a
N (d) = ­ 1 dla (d e D ) {\Jf_ d A
0
A
A
~ e D ), 0
0 w pozostałych przypadkach. Warunek (1.3) po wykorzystaniu (1.4) moż na zapisać w postaci (1.6) S ^ ­
m
^ ) = S
dD T
^ > AD
0 T )N . gdzie 7T> = TIT id, T) = T?(f_ d, A
A
2. Równania liniowe Niech dla pewnej chwili т istnieje stan naturalny dyskretyzowanego jednobieguno­
wego ciała sprę ż ystego
, tj. stan, w k t ó r y m e = 0 i T = 0. Oznaczając l = y> (d, r ), a składowe wektora przemieszczenia u = y> —l oraz wykorzystując niezmienniczość funkcji energii sprę ż yste
j s wzglę dem o b r o t ó w układu współrzę dnych moż emy przyjąć 0
k
k
(2.1) e = k
^А
k
k
0
k
Л Ф Г Л
у у , А Ф
га
gdzie (2.2) У Л Ф = А (л *1ф )к oraz 1 = А 1 . Uwzglę dniając (2.1) wykaż emy, że wzór (2.2) dotyczy przypadków, w których ruchy sztywne dyskretnego elementu E są jedynymi ruchami nie wywołują cymi sił wewnę trznych, tym samym 7 ? = 0 wtedy, gdy у = 0. Istotnie, niech wektor \ , Л = ф к
ф
к
Л Ф
A
O LINIOWYCH ZAGADNIENIACH TEORII SPRĘ Ż YSTOŚ
I C
65 = / , / / , m, łą czy w przestrzeni fizycznej w chwili r czą stki d,f d, a wektory u(rf, т ) i u(f d, т ) bę dą przemieszczeniami tych czą stek w chwili т . Przemieszczenia u(d, r), u(f d, r) opisują ruch sztywny d i f dwtedy i tylko wtedy, gdy | 1 | = | 1 + / 1 и | . Odrzucając człony nieliniowe wzglę dem u ostatnia równość zachodzi wtedy i tylko wtedy, gdy A u­i = 0. Rozpatrzmy nastę pnie przypadek trzech czą stek d,f d,f d, Л # Ф połą czonych w chwili T wektorami 1 ,1 . Wektory \ i 1ф tworzą kąt opisany iloczynem skalarnym 1 ­1 . Kąt tj. gdy ten nie ulegnie zmianie wtedy i tylko wtedy, gdy 1 ­1 = (1 +А и )(1 +А и ), Л (л '<Р ) — 0, gdzie także pominię ot człony nieliniowe wzglę dem u. Wobec (2.1) widzimy wię c, że T = 0 wtedy i tylko wtedy, gdy у = 0, tj. gdy ciało dyskretyzowane dozna ruchu sztywnego. W przypadku funkcji energii sprę ż yste
j (2.1) równania konstytutywne A
0
A
A
A
Л
л
л
A
A
0
Л
Ф
A
0
А
A
Л
Ф
А
л
ф
Ф
ф
и
k
А Ф
Л Ф
(1.2) przyjmą postać T — р 1 , gdzie Ф к
k
(2.3) р
Л Ф
= А
Л Ф Г й
у . Г й
л ф
Wielkość р nazywamy składowymi napię cia (4.11), [1]. Podstawiając zwią zki geometrycz­
ne (2.2) do (2.3) oraz wykorzystując równania ruchu (1.2) otrzymamy (2.4) А (а
л
Л Ф
Л Ф
1
А и )+/ ф
= mu, к
Л Г Ф Л
gdzie а = А 1 1 . Równania (2.4) stanowią przemieszczeniową postać rów­
c
ciał dyskretyzowanych. W szcze­
nań ruchu liniowej teorii sprę ż ystośi jednobiegunowych gólnym przypadku, gdy A a^ x 0 z równań (2.4) otrzymamy гк
Л 1
A
l
a£?A A u +f A
9
k
= mu . k
Rozpatrując ciała dyskretyzowane, dla których okreś lony jest brzeg 3D podstawowy układ równań (2.2)­(2.4) opisują cy liniowe problemy teorii sprę ż ystyc
h ciał jednobieguno­
wych uzupełnić trzeba warunkami brzegowymi (1.6) w postaci (2.5) )
2 V * ­ » ' " * ) = ÓD I>r ­
JD
0 N a zakoń czenie tego punktu rozpatrzmy przypadek, gdy struktura róż nicowa ciała dyskretyzowanego (D, S) jest regularna, t).f fi,d = f<»f d dla każ dego d e £ ) , п Д р ; [ 2 ] , wtedy dla dowolnej funkcji 95: D ­* R zachodzi zwią zek А А ^(р = 0. W przypadku, gdy 1 x 0, gdzie 1 = А 1 łatwo sprawdzić, że prawdziwa jest równość A
A
л
[Л
А Ф к
А ф к
(2.6) А
Ф
1Л
ф
ф к
Л А
1А
1ф У п й Л
= 0. Zwią zki (2.6) są równaniami nierozdzielnoś ci w liniowej teorii jednobiegunowych ciał dyskretyzowanych. 3. Przykład W celu zilustrowania opisanych w punkcie 2 pojęć liniowej teorii sprę ż ystośi cjedno­
biegunowych ciał dyskretyzowanych rozpatrzmy niejednorodną tarczę złoż oną z czworo­
ką tnych elementów sprę ż ystyc
h ABCD (rys. 1). 5 Mechanika Teoretyczna W. KUFEL 66 Dyskretyzację tarczy przeprowadzimy przyporzą dkowując jednorodnemu elementowi sprę ż ystem
u ABCD punkt materialny d, natomiast elementom są siednim do ABCD punkty f d, gdzie Л = I, / / , / / / (rys. 2). A
Przyjmiemy wię c, że w strukturze róż nicowej tego zbioru m = 3. Załóż my dalej, że jedynymi zmiennymi dynamicznymi opisują cymi ruch p u n k t ó w materialnych d i f d są wektory przemieszczenia u (d, r), u (f d, г ), К = 1,2, tym samym przyjmiemy, że ruch elementu ABCD jest okreś lony całkowicie przez przemieszczenia jego wierzchołków. Masa punktu d równa bę dzie masie elementu ABCD. A
K
K
A
Rys. 1 W celu okreś lenia funkcji energii sprę ż yste
j e zastosujemy podejś cie podobne jak w me­
y ABCD na dwa todzie elementów skoń czonych. Dzieląc czworoką tny element sprę ż yst
trójką tne elementy skoń czone ABC i ACD wyliczymy najpierw energię dla elementu ABC. Przyjmiemy, że wektor przemieszczenia w dowolnej czą stki elementu skoń czonego o współ­
rzę dnych Lagrange'a x , x , aproksymuje się funkcją liniową l
(3.1) K
2
l
l
2
+ Ci X )u (f d, l
2
+ (a +b x I
I
b l — !<2 с I —l'i' hu 2
2 III' 1
1 ai = l\l +l\ii)­l\l l
2
2
+ l iii\ 2 b, l
Ci ~ ui' 'ni ' l
ani bin 2
2
ł
/ 4 / + / / ) + / ( / + / i ) , ni П oraz gdzie 2zl = det i / l
K
1
gdzie a c
K
w (d, x , x \ r) = ~д {(a+bx +cx )u (d, i
2 i l +l f 1 l + l m. 2
2
2
т ) + 1
2
K
r) + (a + b x + c x )u (f d, nl
m
III
in
r)}, 67 O LINIOWYCH ZAGADNIENIACH TEORII SPRĘ Ż YSTOŚ
I C
Wektor w(d, x , r) dla X = /*, x = / * + /*, x = 1 +1ш , przyjmuje odpowiednio wartoś ci u (d, т ), u (fjd, r), u (f d, т ). Składowe odkształcenia y = w , w do­
wolnej czą stce elementu skoń czonego ABC o współrzę dnych Lagrange'a x , x mają postać K
х
K
K
K
K
к
K
II2
KL
(K
1
A
У н (3.2) L)
2
=­^( iu4f ­A u4f), II
III
2
2
1
y = — ( / J m " / ; ­ ^ / " / / / / ) , 21
2
2
2
1
1
У 12 = ­ ^ ­ ^ / / / " ' / i ­ ^ m " / ^ ^ / " / / . / ­ ^ / " / / / / ) . Energia elementu skoń czonego ABC, po scałkowaniu po obszarze trójką at wynosi (3.3) e = у ^ [ ( Я + 2 у м ) у
1 1
у
1 1
+2Я у
у
1 1
2 2
+4 и у
/
1 2
у
1 2
­г ­(Я +2^)у
2
2 У 2 2 ] , gdzie /1 jest polem Л .В С . Podstawiając do (3.3) zwią zki (3.2) otrzymuje się wystę pują ąc w (2.4) macierz а ?', gdzie Л , Ф = I, III; K, L = 1, 2, o składowych: л
_ М
"1 1 2
'ш
2
) ~л AA
(А + 2 я К / „ )
Г N
4A 2
„11 _ Mliii) , (Я + 2 / 0 ( & , )
2 2 л л ** 4/1
4 J U
i 1 — "12 — n
2 2 T
11 /2 'III'III +
\4ZI 4 J / ' "2 1 — ^12 . _ M i * k . ( A + 2 « ) /
„i m /
"11 \ "22 (3.4) 4zl
+
2
/ 7
T
4/1 / ' ftljlin 2/d ' 2
2^1 tfu , Я / / / / / 2/1
2 J „I III "2 1 1
2
2 1
2 (Я + 2 ) ( / )
Л
"1 i i ^ г 4A 2
' 2
4A _ M ' ) . ( Я + г ^ ) ^ )
°2 2 т л г ' 4/1 4Л n
mi n — ­
„ni i n "1 2 / \ / ' „1 ni _ Я / / / "12 — —2Л„ ^ h 2
/ f
4Zl +
\ " 4zl
2
W . 68 (3.4) „III III "2 1 [Cd.] „IIII "1 1 K U F E L ni ni = a ­ „ i m „i III "2 2 > „IIII "2 2 m „IIII "1 2 2 d 2,1 IIII "2 1 „i ш
N
"2 1 • A b y otrzymać dla trójką at ACD odpowiednią macierz a^f, Л ,Ф = III, II; K,L = 1, 2, wystarczy w (3.4) zmienić wskaź niki I na III i III na / / oraz А na. A *m, gdzie A * jest polem trójką at ACD. W szczególnym przypadku, gdy czworoką tnymi elementami sprę ż ystym
i są kwadraty o boku a, równoległym do jednej z osi układu współrzę dnym, mamy l\ = а , i = °> ii = °. lh = < III = . tfu =
A = A*. W tym przypadku wzory (3.4) zapiszą się w postaci: l
l
A
1 1 "ni i 1 1
fl
! n
i i ­ а a
z
„III III = o m m _ "2 2 "1 1 1 1
n ­ n — n
l I U
­ n
" l 2 — "2 1 — " l 2 „III III _ „III III " 1 1 — " 2 1 7 / / / — "2 r
„m i —
"2 2 ,1 m ­ / 7
o
1 I I U A \ — "2 1 0, ­ n
2 — "1 „IIIII "1 1 l l l u 1 (3.5) „i m " 1 2 +
2 ^ 2 ' _ ,11 III _ ~ «1 2 III _ „III II "2 1 — "2 1 A „IIni — — "2 1 _ „i m
— „II ni
— "1 2 — "2 1 T ' „III II i i "1 2 ' "2 a
/л //
2 — '2 2 KL = m „i m =
I 1 =
7 / / /
a
­
1 " 2" = o. *2 1
,
D с
Ш
A 1
i
1
i
1
i
i
i
i
i
i
i
i
i
­
i
j j i i i i i !
'i
в ! ! i ! ! : ! i
1
1
1
Rys. 3 W celu wypisania równań ruchu (2.4) rozpatrzmy skoń czoną tarczę wielowarstwową. Obierając układ współrzę dnych tak, aby jedna z osi była równoległa do warstw tarczy, dzielimy tarczę na elementy ABCD pę kiem prostych prostopadłych do warstw (rys. 3) w ten sposób, by czworokąt ABCD był kwadratem o boku 1. 69 O LINIOWYCH ZAGADNIENIACH TEORII SPRĘ Ż YSTOŚ
I C
Przyjmują c, że warstwy są jednorodne mamy А /г = 0 i A % = 0. Wykorzystując wzory (3.5) otrzymamy z (2.4) nastę pują e c rуwnania rуwnowagi: {
l
1
1
(3p + X)A,A,u ­pAiAi.iU + А
2
1П
Il
l
+(3fi+ k)A u ]­(2 i ir
III
+ 2XA~,A u ­ 2
II
II
1
+ A ((jLA u ) II
n
l
­(fi + X)A A u [
ni
I
lll
2
2
­ A [(fi m
I
I
2
2
+ l)AiU I
и
1
ix + Х )А и ] п
+ ц
+ A, [(3 fi+ Х )А и in
2
+ ц А и ­O ш
2
+ (3fi+X)A A u ­(fi+k)A A u I
ni
/и А А и n
+ А (Л А и ) ш
ш
2
­ ц А и ]­
2
= 0. ш
+ А (Л А и ) 1
+ A {[iAru )=0, 1
^.)A u ]+ 1I
2
AjU 2
+ _ UI
l
+ fiA A u ­A [(fi+ I
+ X)A, f
z
A [(ix + X)A u ] + AK A u _ _ _ in
+ III
1
/г А и ­(fi+^.)A u г
+ Z)A u ] n
2
(3­6) 1
+ A [(3fi+ł.)A u ­(2fi 1
[­ l
п
ш
Zbadajmy, kiedy układ rуwnań (3.6) dopuszcza rozwią zanie postaci 1
u = ax+by, 3
7
( ­ ) 2 Podstawiając (3.7) do (3.6) otrzymamy (b + c)A i = 0, nf
(3.8) ­Ъ с А ц + а А 1 и
и
= 0. Zwią zki (3.8) stanowią układ rуwnań jednorodnych na A fi i A l . U k ł a d ten bę dzie miał rozwią zania А /л ф 0, A X ф 0 wtedy i tylko wtedy, gdy jego wyznacznik bę dzie rуwny zeru, czyli n
п
u
U
(3.9) a(b + c) = 0. Rуwnanie (3.9) spełnione jest tylko przez b = — с i a = 0. Widać stą d, że tylko te spo­
ś rуd przemieszczeń (3.7) spełniają układ rуwnań (3.6), dla ktуrych b = — с lub a = 0. 4. Sformułowanie wariacyjne — prawa zachowania Okreś lmy w D funkcjonał działania nastę pują ce
j postaci: 0
(4.1) W(D ) ш k
J 0
[~mu U ­^dx. k
Do т о Niech d W bę dzie wariacją funkcjonału działania spowodowaną wariacją postaci S ip , a d W wariacją spowodowaną wariacją czasu о т . Nasuwając operator <5 na (4.1) otrzymamy 0
k
0
r
0
Ti < W ( A , ) = ^ { H " * < W * ] T
0
J ­
k
(u d y> ­d e)dx}. 0
k
0
Wyliczając d e otrzymamy 0
£ д
Do л
0
Г А
е = ]?А * у д у Л Ф
Do 0
Г А
л
к
= 2т Д д у , л
Do 0
л
= к
л
2[А (Т д у , )­Д Т д у ?], л
D
0 0
л
0
70 W . K U F E L gdyż łatwo wykazać, że A
( 4 > 2 )
A
A <p = A <p , A
A
A
A
A
dla dowolnych <p i tj: D ­> R oraz cp~ = cp (f­ d)­ Wyliczając z kolei d W(D ) mamy A
x
d W(D ) = V |4­и 1и *и *й т ­е й т x
0
0
. Całkowita wariacja funkcjonału (4.1) przyjmuje postać Ó W ( 0 ) = ^ { o
Do J r
(Л ^7»­1и Ц »)«о ^Л +[»и и i **о 1Р 1к ­
a ' l + ­х ­т и *й д т — sdr к
A
Łatwo wykazać, że dla dowolnych funkcji q> i Ј : i ) ­» Я jest (4.3) Ј ^ ( 9 ^ ) = Д о Л Do Wykorzystując ten zwią zek i oznaczając mamy ri r, Do т о Л D r
0
0 Ostatecznie więc wariacja funkcjonału (4.1) ma postać (4.4) S W(D ) = ^ I J ( Ą 7? ­ mii*) <5 у /У т + [ и и г Ч V* + 0
0
Do т о к
+ ~т и й д г ­е б А к
j ­ ^
j ADo r
T^у^dr. 0 Korzystając z zasady stacjonarnoś ci działania [3] otrzymujemy po wprowadzeniu sił fk = fk (d, T) równania ruchu (4.5) A T(t+f = mu . A
k
k
Wykorzystując równania ruchu (4.5) oraz uwzglę dniając niezmienniczość funkcjonału działania wzglę dem infinitezymalnej grupy przesunięć i obrotów w czasoprzestrzeni k
k
l
k k
d if> = e + e xpi — ef , 0
dr = 0, kl
E = ­e'*, 71 O LINIOWYCH ZAGADNIENIACH TEORII SPRĘ Ż YSTOŚ
I C
mamy T |
(4.6) 6W(D ) = {JT ri ( W i ­ / Л
0
T
Do
Л
) " / o dD 0
+ TQ T I Do T
0
* l Л Д
0
k
т
0 ADo To z Do 0
kl
k
Uwzglę dniając dalej dowolność stałych e , e , a i zastę pując ip przez и * otrzymujemy z (4.6) nastę pują e c prawa zachowania Do (4.7) ~aw У Е
^D Do 0
m
% v J = Ł Do TłPf + 2 У г * У о > t]
­^Do D
0 Są to odpowiednio prawa zachowania pę du, momentu pę du i energii. Wykorzystując zwią zek (4.3) i (4.2) prawa zachowania moż emy zapisać w postaci Do (4.8) £ № л 7[»+/ц ­т и )щ + T( Л щ ] k
1к
л
= О , Do 2 [(Д л Т С +Л ­т и ^­ё +Т ^и *] = 0. Do Zwią zki (4.8) są prawdziwe, gdy zbiór D zastą pimy jego dowolnym podzbiorem К z brze­
giem BK. Ze zwią zków (4.8) otrzymujemy wtedy nastę pują ą c lokalną postać praw zachowa­
nia 0
Д л Т к +fk (4.9)
= mu , k
TfrArfPn = °.
Prawa zachowania (4.7) i (4.9) wykazują analogię do odpowiednich zwią zków z klasycznej teorii sprę ż ystoś. ci
72 W . K U F E L 5. Zasada prac wirtualnych k
k
Niech 6 u bę dą wariacjami postaci funkcji zA Wariacje d u powodują zmianę d e postaci energii wewnę trznej. W celu otrzymania zasady prac wirtualnych zauważ my, że 0
0
Л ф
(5.1) 0
0
к
л
ё е = р д у = Т д А и Л Ф
к
0
к
А
= л
0
к
л
Л (Т д и )­А Т д и , л
к
0
л
к
0
gdzie wykorzystano wzór (4.2). Oznaczając 2J e = E(D ) oraz stosując równania ruchu 0
Do i wykorzystując zwią zek (4.3), z równoś ci (5.1) otrzymujemy (5.2) d E(D ) 0
= £ 0
Ti">ó ifi+ k
Z 0
UDo (f ­mu )d u . k
k
0
Do N
Prawa strona równoś ci (5.2) jest pracą sił f — mu oraz sił T > na wirtualnych przemiesz­
czeniach у u . Natomiast wielkość Ó E(D ) = £ р д у przedstawia pracę wirtualną k
k
k
k
л ф
0
0
0
0
Л Ф
­Do Л Ф
sił wewnę trznych, tj. pracę składowych napię cia р na wariacjach składowych odkształ­
cenia д у . Równanie (5.2) stanowi treść zasady prac wirtualnych. M a ona analogiczną treść jak odpowiednia zasada w klasycznej teorii sprę ż ystoś. ci
0
л ф
6. Twierdzenie o jednoznacznoś ci Wykaż emy, że równania (2.4) rozpatrywane w przypadku quasi­statycznym, jeś il mają rozwią zanie, to rozwią zanie to jest jednoznaczne, tj. dwa rozwią zania tego samego problemu brzegowego róż nią się tylko o dowolne ruchy sztywne. D l a dowodu załóż my, że rozwią zanie nie jest jednoznaczne, tj. że istnieją dwa róż ne od siebie pola przemieszczeń u i й , które spełniają równanie (2.4) oraz warunki (2.5). Niech więc przemieszczenia u spełniają zwią zki: k
к
k
(6.1) AMfAoh+h (6.2) 2 A = ÓD = o, 2TV>, A D
0 a pole przemieszczeń u* spełnia ten sam układ równań (6.3) А (^А й ')+/ л
Ф
k
(6.4) Zf = 0, к
dD * Wprowadzając oznaczenia u = и ­й , k
к
к
fkN)
= S ­
Л Do * T = T ­T N)
( N)
k
k
N)
i odejmując stronami (6.1) k
k
i (6.3) oraz (6.2) i (6.4) stwierdzamy, że przemieszczenia u spełniają jednorodny układ r ó w n a ń przemieszczeniowych (6.5) (6.6) A ipftA vh = 0, A
2 ÓAD 9
7 ^ = 0 . O LINIOWYCH ZAGADNIENIACH TEORII SPRĘ Ż YSTOŚ
I C
R ó w n a n i a (6.5) odnoszą się do ciała dyskretyzowanego (D,e), w którego wnę trzu brak sił f i na którego brzegu wystę pują jednorodne warunki (6.6). Należy wykazać, że we k
wnę trzu ciała znikają odkształcenia у
Л Ф
Л Ф
к
odkształcenia ЈР У А Ф = 'E Т А и . К
Do D
(б .?) 1У
Л ф
i napię cia р
. Rozpatrzmy w tym celu pracę Wykorzystując zwią zki (4.2) oraz (4.3) otrzymujemy л
0 *У
Л
* = 2
Do T i
) u
"
" ­ S A D ^ П
D
0
к
и
. 0 Wykorzystując nastę pnie (6.5) i (6.6) z równoś ci (6.7) mamy Л Ф
У Р
У А Ф = ^ А
Do ^ у
л
ф
у
г
л
= 0 . Do Л Ф Г Л
Skoro А tworzą funkcję dodatnio okreś loną, przeto powyż szy zwią zek zachodzi wtedy i tylko wtedy, gdy dla każ dego de D А У Л Ф У Г А — 0­ P ° prawej stronie ostat­
niego zwią zku wystę puje energia sprę ż yst
a elementu E e S. Jest ona równa zeru wtedy tylko wtedy, gdy у = 0, a to oznacza, że wektory przemieszczenia u(d), u(f d) są Л Ф Г Л
0
Л Ф
A
*
ruchami sztywnymi (por. 2). W takim razie na mocy oznaczenia u = u —u przemieszcze­
nia u i u róż nią się tylko o ruchy sztywne. 7. Twierdzenie o wzajemnoś ci. Wzory Somigliany Rozważ my teraz dyskretyzowane ciało jednobiegunowe, które poddano działaniu dwu grup s i ł / * i / * . Przemieszczenia oraz składowe napię cia i odkształcenia indukowane k
Л Ф
przez te grupy oznaczymy odpowiednio u , р
Л Ф
, у
Л Ф
konstytutywne (2.3) mamy р у = Р У Л Ф ­ Л Ф
k
, u , р
Л Ф
Л Ф
, у
. Wykorzystując równania Л ф
Podstawiając zwią zki geometryczne (2.2) i wykorzystując (4.2) mamy: (7.1) л
К
Д (Т &) к
­ и А л
Л
A
К
­ и А П = Л {П и ) Л
Tt . Л
Sumując nastę pnie wielkoś ci wystę pują e c w (7.1) po zbiorze D oraz wykorzystując równania ruchu (4.5) w przypadku quasi­statycznym otrzymamy 0
(7­2) 2"
T
№
N)
+ k
= Z TP u + ÓDo Do У
ADo к
/ *и
к
. Do Zwią zek (7.2) stanosi treść zasady Bettiego. Wprowadzając siły f *(d ) — d , gdzie / jest k
0
u
k
ustalone oraz oznaczając ti = M( (d , d) mamy ()
0
(
(7­3) « V o ) = 2 V * « ° * + Z D N
k
k
( T i ^ ­ T ^ u ) , ADo 0
N)
gdzie T^ (d , d) są spowodowane siłą f *(d ). Wzory (7.3) są wzorami Somigliany w dy­
skretnej teorii ciał jednobiegunowych. Widzimy także i tutaj pełną analogię do klasycznej teorii sprę ż ystoś. ci
0
k
0
74 W . KUFEL Literatura cytowana w tekś cie 1. Cz. WOŹ NIAK
, Podstawy mechaniki cial dyskretyzowanych, Mech. Teor. i Stos., 1, 11 (1973). 2. Cz. WOŹ NIAK
, Discrete elasticity, Arch. Mech. Stos., 6, 23 (1971), 801­816. 3. Cz. WOŹ NIAK
, Podstawy dynamiki cial odkształcalnych, PWN, Warszawa 1969. Р
Л И Н Е Й Н Ы
д и с
д и с
т е о
в а н
и т
т е л
В р а б о т е д а н
к р е т и з и р о в а н н
к р е т и з и р о в а н н
р и и у п р у г о с т и
ы п р и н ц и п ы с
е о р е м а в з а и м н
а . е з ю
м
е Е З А Д А Ч И Т Е О Р И И У П Р У Г О С Т И Д И С К Р Е Т И З И Р О В А Н Н Ы
о о п р е д е л е н и е
о г о т е л а . И с х
ы х т е л , в ы в е д
о д н о п о л ю с н ы
о х р а н е н и я , п р и
о с т и Б е т т и . Д а
о д н о п о л ю с н о г о у
о д я и з о с н о в н о й с
е н ы у р а в н е н и я д в и
х д и с к р е т и з и р о в а н н
н ц и п в и р т у а л ь н ы х п
е т с я т а к ж е п р о с т о й
п р
и с
ж
ы
е р
п
у г о г о т е
т е м ы у р
е н и я и о
х т е л . В
е м е щ е н и
р и м е р о д
л а , я
а в н е н
п р е д е
р а м к
й , т е о
н о п о л
в л
и й
л я
а х
р е
ю
я щ е г о с я ч а
, о п и с ы в а ю
ю щ и е у р а в н
э т о й т е о р и
м а е д и н с т в е н
с н о г о д и с к р
Х Т Е Л с т н ы м с л у
щ и х д в и ж
е н и я л и н е
и с ф о р м у л
н о с т и р е ш
е т и з и р о в а н
ч а
е н
й н
и р
е н
н о
е м и е о й о ­
и й г о S u m m a r y O N T H E LINEAR PROBLEMS OF ELASTICITY OF DISCRET1ZED BODIES Monopolar elastic bodies are defined in the paper as a particular example of discretized bodies. Basing upon the fundamental system of equations describing the motion of discretized bodies, the paper presents the derivation of equations of motion and the constitutive relations of the linear theory of monopolar discretized media. On the basis of that theory are formulated the conservation laws, the virtual work prin­
ciple, the theorem of uniqueness of solution and the Betti reciprocal theorem. A simple example of a mono­
polar discretized body is given. UNIWERSYTET WARSZAWSKI WYDZIAŁ MATEMATYKI I MECHANIKI Praca została złoż ona w Redakcji dnia 26 kwietnia 1972 r.