Zbiór liczb naturalnych Podzbiorami liczb

Zbiór liczb naturalnych
Podzbiorami liczb naturalnych jest zbiór liczb pierwszych i złożonych.
LICZBA PIERWSZA – każda liczba naturalna n większa od 1, której jedynymi
dzielnikami są 1 oraz n.
LICZBA ZŁOŻONA – każda liczba n większa od 1, która nie jest liczbą pierwszą.
Liczby „0” oraz „1” nie są ani liczbami pierwszymi, ani złożonymi!
NAJWIĘKSZY WSPÓLNY DZIELNIK liczb a i b – największa z liczb naturalnych, przez
którą dzieli się bez reszty każda z liczb a i b.
NAJMNIEJSZA WSPÓLNA WIELOKROTNOŚĆ liczb a i b – najmniejsza liczba naturalna
różna od 0, która dzieli się bez reszty przez a i przez b.
Przykład. Znajdź największy wspólny dzielnik i najmniejszą wspólną wielokrotność
liczb 84 i 36.
W tym celu rozkładamy liczby 84 i 36 na czynniki pierwsze. Największy wspólny
dzielnik jest iloczynem tych czynników pierwszych, które występują jednocześnie w obu
rozkładach.
84 = 2 ⋅ 2 ⋅ 3 ⋅ 7
36 = 2 ⋅ 2 ⋅ 3 ⋅ 3
NWD 84,36 = 2 ⋅ 2 ⋅ 3 = 12
Najmniejsza wspólna wielokrotność jest liczbą będącą iloczynem wszystkich czynników
występujących w rozkładzie jednej z liczb i tych czynników występujących w rozkładzie
drugiej, które nie wystąpiły w rozkładzie pierwszej.
84 = 2 ⋅ 2 ⋅ 3 ⋅ 7
36 = 2 ⋅ 2 ⋅ 3 ⋅ 3
NWW 84,36 = 2 ⋅ 2 ⋅ 3 ⋅ 7 ⋅ 3 = 252
Dla dowolnych liczb naturalnych a i b zachodzi równość:
a ⋅ b = NWD(a, b) ⋅ NWW(a, b)
Zbiór liczb całkowitych
W polskiej literaturze można spotkać się z oznaczeniem zbioru liczb całkowitych
poprzez , lecz nie jest to znane, międzynarodowe oznaczenie.
Liczba całkowita jest PODZIELNA przez liczbę całkowitą b ≠ 0 wtedy i tylko wtedy, gdy
istnieje taka liczba całkowita k, że a = k ⋅ b.
Zbiór liczb wymiernych
Zbiór liczb wymiernych jest to zbiór wszystkich liczb, w których każdą liczbę można
zapisać w postaci ułamka zwykłego
, gdzie
i
.
Podobnie jak to było w zbiorze liczb całkowitych, zbiór liczb wymiernych dodatnich
oznaczamy przez
, a ujemnych przez
.
Przykład. Wyznacz ułamek zwykły o rozwinięciu dziesiętnym 0,23232323…
0,23232323 … = x| ⋅ 100
23,232323 … = 100x
23 + 0,232323 … = 100x
23 + x = 100x
23 = 99x
23
x=
99
23
Szukaną liczbą jest 99.
W niektórych polskich książkach zbiór liczb wymiernych jest oznaczany przez
.
Zbiór liczb niewymiernych
Zbiór liczb niewymiernych jest to zbiór tych liczb rzeczywistych, które nie są wymierne.
Zbiór liczb niewymiernych nie ma własnego oznaczenia, zapisuje się go jako różnicę
zbioru liczb rzeczywistych i zbioru liczb wymiernych:
. Mimo wszystko niekiedy
spotyka się polskie oznaczenie
. Przykładem liczby niewymiernej może być liczba
𝜋 𝑙𝑢𝑏 2.
Zbiór liczb rzeczywistych
Zbiór liczb rzeczywistych jest sumą zbiorów liczb wymiernych i zbioru liczb
niewymiernych. Zbiór liczb rzeczywistych dodatnich oznaczamy przez
przez
.
, a ujemnych
Pomiędzy liczbami naturalnymi, całkowitymi, wymiernymi i niewymiernymi możemy
zaobserwować poniższe związki: