5. WNIOSKI KOŃCOWE W pracy wyprowadzono dokładne funkcje

P. Litewka Efektywny element skończony o dużej krzywiźnie
5. WNIOSKI KOŃCOWE
W pracy wyprowadzono dokładne funkcje kształtu dla belkowego elementu skończonego o
dużej krzywiźnie. Mają one postać funkcji trygonometrycznych. Na ich podstawie, w pierwszej
części pracy, wyznaczono dokładną macierz sztywności elementu skończonego, która cechuje się
prostą budową. Podano również wzory na składowe konsystentnych macierzy mas i geometrycznej.
Przedstawiona analiza dotyczy przypadku ogólnego, w którym uwzględniono wpływy sił
poprzecznych i normalnych na przemieszczenia. Taki model elementu skończonego posłużył jako
odniesienie do wielu analiz płaskich konstrukcji zakrzywionych.
Jako osiągnięcie należy wymienić wyprowadzenie równania różniczkowego osi odkształconej
łuku o dużej krzywiźnie. Zastosowano tutaj oryginalną metodę polegającą na określeniu równań
równowagi dla regularnego układu dyskretnego w postaci równań różnicowych, których
rozwiązanie dla problemu statyki daje wyniki dokładne, pokrywające się z analitycznymi
w przypadku zastosowania podziału konstrukcji na elementy trygonometryczne. Następnie,
w przejściu granicznym do układu ciągłego (długość elementu dąży do zera) wyznaczono równania
różniczkowe opisujące funkcje uogólnionych przemieszczeń łuków.
W drugiej części rozprawy opracowano efektywny element krzywoliniowy. W celu
wyprowadzenia macierzy sztywności wielomianowego elementu skończonego o dużej krzywiźnie
dokonano następujących zabiegów matematycznych: funkcje trygonometryczne występujące
w macierzy sztywności i funkcjach kształtu trygonometrycznego elementu wyjściowego zastąpiono
ich rozwinięciami w szeregi potęgowe parametru, którym jest kąt rozwarcia elementu.
Po odrzuceniu wyższych potęg w wielomianach otrzymano przybliżone funkcje kształtu, bardzo
bliskie dokładnym. Na ich podstawie znaleziono macierz sztywności, cechującą się bardzo prostą
budową. Jej zaletą jest to, że udało się w sposób jawny wyodrębnić w niej składniki
odpowiedzialne za zginanie, ścinanie i wpływ sił osiowych. Wyznaczono również macierz mas i
geometryczną elementu wielomianowego. Efektywność elementu potwierdziły liczne obliczenia
numeryczne. Pozwalają one na sformułowanie wniosków ogólnych.
1. Wyniki obliczeń dla statyki, dynamiki i stateczności wykazują bardzo szybką zbieżność
do rozwiązań dokładnych, wyznaczonych przy użyciu elementu trygonometrycznego. Dotyczy to
wszystkich rozpatrywanych przypadków proporcji h/R. Otrzymany element skończony jest więc
bardzo skutecznym narzędziem do analizy konstrukcji zakrzywionych.
2. Opracowany element wielomianowy nie wykazuje nie pożądanych efektów blokady
sztywnościowej (shear locking) i membranowej (membrane locking). Dla porównania, dla elementu
liniowego całkowanego analitycznie zmniejszenie proporcji h/R ma fatalny wpływ na wyniki. Jest
to wyraźny przykład zjawiska blokady. Obliczenia z uwzględnieniem całkowania zredukowanego
wskazują, że jest to blokada ścinania połączona z blokadą membranową, gdyż dopiero
zastosowanie tego zabiegu do obu składników ### ścinania i ściśliwości daje poprawę wyników.
Element wielomianowy daje wyniki szybciej zbieżne do rozwiązań ścisłych niż element liniowy
z całkowaniem zredukowanym, który jest powszechnie uznawany za najlepszy.
- 99 -
P. Litewka Efektywny element skończony o dużej krzywiźnie
3. Wyniki dotyczące przypadków łuków o małej grubości, bardzo często przedstawiane
w literaturze, wskazują na bardzo wysoką efektywność elementu wielomianowego. Otrzymana
doskonała zbieżność wyników numerycznych do rozwiązań dokładnych jest również
potwierdzeniem faktu, że opracowany element nie wykazuje pasożytniczych zjawisk numerycznych
blokady ścinania i membranowej.
Przeprowadzone analizy numeryczne wykorzystujące element trygonometryczny i
wielomianowy pozwalają na podanie wniosków szczegółowych.
1. Pominięcie wpływu ścinania na przemieszczenia jest dopuszczalne dla wartości h / R < 0,15,
błędy nie przekraczają 10%.
2. Z uwagi na sprzężenie wpływu sił osiowych z wpływem silnego zakrzywienia (parametr e)
nawet dla bardzo małych wartości proporcji h/R nie można przyjmować e = 0.
3. Uwzględnienie wpływu dużej krzywizny zwiększa sztywność konstrukcji łukowej,
przemieszczenia układu są mniejsze, pierwsza częstość drgań własnych - większa.
4. Jako orientacyjną graniczną wartość proporcji h/R , poniżej której można pomijać wpływ
silnego zakrzywienia pręta można przyjąć 0,5, co oznacza, że wpływ dużej krzywizny staje się
znaczący dla przemieszczeń łuku w zakresie, w którym założenia teorii prętowej wydają się nie
uzasadnione. Można jednak wykazać [51], że nawet dla wartości h/R = 1 błąd w obliczeniu
naprężeń normalnych, obwodowych w przekroju według teorii prętów silnie zakrzywionych w
odniesieniu do ścisłego rozwiązania teorii sprężystości nie przekracza kilku procent. Obliczane
przemieszczenia i częstości kołowe drgań własnych są bardzo dobrym przybliżeniem wartości
wynikających z dokładniejszej teorii opartej na płaskim stanie naprężenia, gdzie uwzględnia się
także naprężenia normalne w kierunku promieniowym. Wniosek ten dotyczy również przypadków
charakteryzujących się stosunkowo dużą wartością h/R, dla której istotny jest już wpływ silnego
zakrzywienia.
5. W zakresie wartości h/R odpowiadającej łukom stosowanym w praktyce inżynierskiej
pominięcie wpływu silnego zakrzywienia ma znikomy wpływ na obliczane wartości częstości drgań
własnych.
6. Wpływ bezwładności obrotowej jest pomijalny przy obliczaniu wartości częstości drgań
własnych. Jest on zauważalny tylko dla bardzo dużych proporcji h/R. Bezwładność obwodowa jest
istotnym czynnikiem wpływającym na wartości częstości , a także na postacie drgań własnych.
7. Element skończony z konsystentnym sformułowaniem masy wykazuje bardzo szybką
zbieżność wyników (od góry) we wszystkich rozpatrywanych przypadkach. Element z masą
skupioną w węzłach daje wyniki zbieżne do tych samych wartości co sformułowanie konsystentne,
zbieżność od dołu.
8. Porównanie otrzymanych rezultatów z dostępnymi wynikami analitycznymi pozwala
stwierdzić, że opracowany element daje poprawne wartości obciążeń krytycznych łuków kołowych.
9. Wpływ silnego zakrzywienia na wartość krytycznego mnożnika obciążenia jest już
zauważalny dla h / R = 0 , 1 (1% różnicy), choć jego praktyczne znaczenie uwidacznia się dopiero
dla większych wartości proporcji h/R.
- 100 -
P. Litewka Efektywny element skończony o dużej krzywiźnie
6. BIBLIOGRAFIA
[1] Ashwell D. G., Sabir A. B., Limitations of certain curved finite elements when applied to
arches, International Journal of Mechanical Science, 13, ss. 133-139, 1971.
[2] Ahmad S., Irons B. M., Zienkiewicz O. C., Analysis of thick and thin shell structures by curved
finite elements, International Journal for Numerical Methods in Engineering, 2, ss. 419-451,
1970.
[3] Babu C. R., Prathap G., A linear thick curved beam element, International Journal for
Numerical Methods in Engineering, 23, ss. 1313-1328, 1986.
[4] Betten J., Finite Elemente fuer Ingenieure, vol. 1, Springer-Verlag, Berlin ### Heidelberg, 1997.
[5] Choi J.-K., Lim J.-K., General curved beam elements based on the assumed strain fields,
Computers and Structures, 55, ss. 379-386, 1995.
[6] Davi G., Milazzo A., A symmetric and positive definite variational BEM for 2-D free vibration
analysis, Engineering Analysis with Boundary Elements, 14, ss. 343-348, 1994
[7] Dawe D. J., Curved finite elements for the analysis of shallow and deep arches, Computers and
Structures, 4, ss. 559-580, 1974.
[8] Dvorkin E., Onate E., Oliver J., On non-linear formulation for curved Timoshenko beam
elements considering large displacement/rotation increments, International Journal for
Numerical Methods in Engineering, 26, ss. 1597-1613, 1988.
[9] Gawęcki A., Podstawy mechaniki konstrukcji prętowych, Wydawnictwo Politechniki
Poznańskiej, Poznań, 1985.
[10] Guimaraes J. E. F., Heppler G. R., On trigonometric basis functions for C 1 curved beam
elements, Computers and Structures, 45, ss. 405-413, 1992.
[11] Huber M. T., Stereomechanika techniczna, Państwowe Zakłady Wydawnictw Szkolnych,
Warszawa, 1951.
[12] Ibrahimbegovic A., Frey F., Finite element analysis of linear and non-linear planar
deformations of elastic initially curved beams, International Journal for Numerical Methods in
Engineering, 36, ss. 3239-3258, 1993.
[13] Jakubowicz A., Orłoś Z., Wytrzymałość materiałów, Wydawnictwa Naukowo-Techniczne,
Warszawa, 1972.
[14] Kikuchi F., Accuracy of some finite element models for arch problems, Computer Methods in
Applied Mechanics and Engineering, 35, ss. 315-345, 1982.
[15] Kikuchi F., Tanizawa K., Accuracy and locking-free property of the beam element
approximation for arch problems, Computers and Structures, 19, ss. 103-110, 1984.
[16] Kleiber M., Wprowadzenie do metody elementów skończonych, Państwowe Wydawnictwo
Naukowe, Warszawa ### Poznań, 1989.
[17] Koziey B. L., Mirza F. A., Consistent beam element, Computers and Structures, 51, ss. 643654, 1994.
[18] Lee S.-S., Koo J.-S., Choi J.-M., Development of a new curved beam element with shear
effect, Engineering Computations, 13, ss. 9-25, 1996.
- 101 -
P. Litewka Efektywny element skończony o dużej krzywiźnie
[19] Lee P.-G., Sin H.-C., Locking-free curved beam element based on curvature, International
Journal for Numerical Methods in Engineering, 37, ss. 989-1007, 1994.
[20] Litewka P., Rakowski J., The exact thick arch element with large curvature, Proceedings of
XXXIst Polish Solid Mechanics Conference, IX 1996, Mierki k. Olsztynka, s. 162.
[21] Litewka P., Rakowski J., A Curved Beam Finite Element for Dynamic and Stability Problems,
Proceedings of XIII Polish Conference on Computer Methods in Engineering, Poznań, 5-8 May,
1997, 2, ss. 765-772.
[22] Litewka P., Rakowski J., An efficient curved beam finite element, International Journal for
Numerical Methods in Engineering, 40, ss. 2629-2652, 1997.
[23] Litewka P., Rakowski J., An efficient curved element for dynamic and stability problems,
Zeitschrift f###r Angewandte Mathematik und Mechanik, 77 S1, ss. 191-192, 1997.
[24] Litewka P., Rakowski J., The exact thick arch finite element, Computers and Structures, 1998
(w druku).
[25] Łodygowski T., Kąkol W., Metoda elementów skończonych w wybranych zagadnieniach
mechaniki konstrukcji inżynierskich, Wydawnictwo Politechniki Poznańskiej, Poznań, 1991.
[26] Marquis J. P., Wang T. M., Stiffness matrix of parabolic beam element, Computers and
Structures, 31, ss. 863-870, 1989.
[27] Noor A. K., Peters J. M., Mixed models and reduced/selective integration displacement models
for nonlinear analysis of curved beams, International Journal for Numerical Methods in
Engineering, 17, ss. 615-632, 1981.
[28] Pandian N., Appa Rao T. V. S. R., Chandra S., Studies on performance of curved beam finite
elements for analysis of thin arches, Computers and Structures, 31, ss. 997-1002, 1989.
[29] Pantazopoulou S. J., Low-order interpolation functions for curved beams, Journal of
Engineering Mechanics (Proceedings of ASCE), 118, ss. 329-350, 1992.
[30] Prathap G., Babu C. R., An isoparametric quadratic thick curved beam element, International
Journal for Numerical Methods in Engineering, 23, ss. 1583-1600, 1986.
[31] Prathap G., Bhashyam G. R., Reduced integration and the shear-flexible beam element,
International Journal for Numerical Methods in Engineering, 18, ss. 195-210, 1982.
[32] Rakowski G., praca zbiorowa, Mechanika budowli. Ujęcie komputerowe, tom 1, Arkady,
Warszawa, 1991.
[33] Rakowski G., praca zbiorowa, Mechanika budowli. Ujęcie komputerowe, tom 2, Arkady,
Warszawa, 1992.
[34] Rakowski G., Solecki R., Pręty zakrzywione. Obliczenia statyczne, Arkady, Warszawa, 1966.
[35] Rakowski J., The interpretation of the shear-locking in beam elements, Computers and
Structures, 37, ss. 769-776, 1990.
[36] Rakowski J., A critical analysis of quadratic beam finite elements, International Journal for
Numerical Methods in Engineering, 31, ss. 949-966, 1991.
[37] Rakowski J., Litewka P., An efficient simple curved finite beam element, Zeitschrift f###r
Angewandte Mathematik und Mechanik, 76 Supplement 1, ss. 503-504, 1996.
- 102 -
P. Litewka Efektywny element skończony o dużej krzywiźnie
[38] Reddy B. D., Volpi M. B., Mixed finite element method for the circular arch problem,
Computer Methods in Applied Mechanics and Engineering, 97, ss. 125-145, 1992.
[39] Sabir A. B., Ashwell D. G., A comparison of curved beam finite elements when used in
vibrations problems, Journal of Sound and Vibration, 18(4), ss. 555-563, 1971.
[40] Saje M., Finite element formulation of finite planar deformation of curved elastic beams,
Computers and Structures, 39, ss. 327-337, 1991.
[41] Saje M., Turk G., Kalagasidu A., Vratnar B., A kinematically exact finite element formulation
of elastic-plastic curved beams, University of Ljubljana, Faculty of Civil and Geodesic
Engineering, Chair of Mechanics, Internal Report 96/2, 1996.
[42] Saleeb A. F., Chang T. Y., On hybrid-mixed formulations of C 0 curved beam elements,
Computer Methods in Applied Mechanics and Engineering, 60, ss. 95-121, 1987.
[43] Sandhu J. S., Stevens K. A., Davies G. A. O., A 3-D co-rotational, curved and twisted beam
element, Computers and Structures, 35, ss. 69-79, 1990.
[44] Stolarski H., Belytschko T., Membrane locking and reduced integration for curved elements,
Journal of Applied Mechanics (Transactions of ASME), 49, ss. 172-176, 1982.
[45] Stolarski H., Belytschko T., Shear and membrane locking in curved C 0 elements, Computer
Methods in Applied Mechanics and Engineering, 41, ss. 279-296, 1983.
[46] Stolarski H., Chiang M. Y. M., The mode-decomposition, C 0 formulation of curved, twodimensional structural elements, International Journal for Numerical Methods in Engineering,
28, ss. 145-154, 1989.
[47] Surana K. S., Geometrically non-linear formulation for two dimensional curved beam
elements, Computers and Structures, 17, ss. 105-114, 1983.
[48] Szmelter J., Metody komputerowe w mechanice, Państwowe Wydawnictwo Naukowe,
Warszawa, 1980.
[49] Tessler A., Spiridigliozzi L., Curved beam elements with penalty relaxation, International
Journal for Numerical Methods in Engineering, 23, ss. 2245-2262, 1986.
[50] Timoshenko S. J., Gere J. M., Teoria stateczności sprężystej, Arkady, Warszawa, 1963.
[51] Timoshenko S. J., Goodier J. N., Teoria sprężystości, Arkady, Warszawa, 1962.
[52] Waszczyszyn Z., Cichoń Cz., Radwańska M., Metoda elementów skończonych w stateczności
konstrukcji, Arkady, Warszawa, 1990.
[53] Waszczyszyn Z., praca zbiorowa, Mechanika budowli. Ujęcie komputerowe, tom 3, Arkady,
Warszawa, 1995.
[54] Yamada Y., Ezawa Y., On curved finite elements for the analysis of circular arches,
International Journal for Numerical Methods in Engineering, 11, ss. 1635-1651, 1977.
[55] Yang S.-Y., Sin H.-C., Curvature-based beam elements for the analysis of Timoshenko and
shear-deformable curved beams, Journal of Sound and Vibration, 187, ss. 569-584, 1995.
[56] Zhang Z., A note on the hybrid-mixed C 0 curved beam elements, Computer Methods in
Applied Mechanics and Engineering, 95, ss. 243-252, 1992.
- 103 -
P. Litewka Efektywny element skończony o dużej krzywiźnie
[57] Zienkiewicz O. C., Taylor R. L., Too J. M., Reduced integration technique in general analysis
of plates and shells, International Journal for Numerical Methods in Engineering, 3, ss. 275290, 1971.
[58] Zienkiewicz O. C., Metoda elementów skończonych, Arkady, Warszawa, 1972.
PODZIĘKOWANIE
Bardzo dziękuję Panu Promotorowi Profesorowi Jerzemu Rakowskiemu za opiekę naukową.
- 104 -