Lista 6

RACHUNEK PRAWDOPODOBIEŃSTWA, II r. INF, PPT.
Lista zadań nr 6
2016/17
1. Niech (Ω, F, P ) bȩdzie przetrzenia̧ probabilistyczna̧. Pokazać, że dla dowolnych dwóch zdarzeń A, B ∈ F zachodzi równość: P (A ∪ B) = P (A) + P (B) −
P (A ∩ B). (Dowód jest taki sam jak w szczególnym przypadku modeli dyskretnych.)
2. Pokazać, że dla przestrzeni probabilistycznej, tzn. w przypadku P (Ω) = 1,
zalożenie P (∅) = 0 nie jest potrzebne, tzn. wynika ono z addytywności P .
3. Niech n1 < n2 < . . . bȩdzie
liczb naturalnych (skończonym ba̧dź nie).
P cia̧giem
−ni
Niech P ({n1 , n2 , . . .}) =
2
.
Pokazać,
że (N, P(N), P ) jest przestrzenia̧
i
probabilistyczna̧.
4. Pokazać, że nie istnieje przestrzeń probabilistyczna (N, P(N), P ), gdzie każde
zdarzenie jednoelementowe ma takie same prawdopodobieństwo.
5. Pokazać, że dla każdej liczby rzeczywistej x zbiór jednoelementowy {x} jest
zbiorem borelowskim. Pokazać, że dla a < b, wszystkie przedzialy postaci [a, b],
(a, b], [a, b), [−∞, b], [a, ∞), sa̧ zbiorami borelowskimi.
6. Pokazać, że zbiory Q - liczb wymiernych i Qc - liczb niewymiernych sa̧
zbiorami borelowskimi.
7. Pokazać, że miara Lebesgue’a dowolnego zbioru jednopunktowego wynosi
zero: λ({x}) = 0.
8. Niech (Ω, F, P ) bȩdzie przetrzenia̧ probabilistyczna̧. Pokazać, że dla niemaleja̧cego cia̧gu zdarzeeń A1 ⊆ A2 ⊆ A3 . . . zachodzi równość:
P(
∞
[
i=1
Ai ) = lim P (Ai ).
i→∞
9. Niech (Ω, F, P ) bȩdzie przetrzenia̧ probabilistyczna̧. Pokazać, że dla nierosna̧cego cia̧gu zdarzeeń A1 ⊇ A2 ⊇ A3 . . . zachodzi równość:
P(
∞
\
i=1
Ai ) = lim P (Ai ).
i→∞
10. Z odcinka [0, 1] wybieramy losowo punkt, tak że prawdopodobieństwo
wyboru tego punktu z odcinka (a, b) ⊆ [0, 1] wynosi b − a dla każdego odcinka
(a, b) ⊆ [0, 1]. Jaka przestrzeń probabilistyczna opisuje to doświadczenie?
1