Ci V

M E C H A N I K A T E O R E T Y C Z N A I S T O S O W A N A 1, 7 (1969) D R G A N I A G RU B O Ś C IE N N E J R U R Y P R Z Y W E W N Ę T R Z N Y M I Z E W N Ę T R Z N Y M P R Z E P Ł Y W I E C I E C Z Y JACEK S A M B O R S K I
( W ARSZAWA)
Waż niejsze oznaczenia a,b e Qw, Qz
u , u
w
z C,
Cz
w
promień wewnę trzny i zewnę trzny ru ry, gę stoś ć materiału ru ry, gę stoś ć cieczy wewnę trznej i zewnę trznej, prę dkoś ć niezab u rzonego przepływu cieczy wewnę trznej i cieczy otaczają cej rurę , prę dkoś ć propagacji dź wię ku w cieczy wewnę trznej i zewnę trznej przy niezab u rzonym przepływie, Ш T Ci
prę dkoś ć fazowa sprę ż ystej fali propagowanej wzdłuż ru ry, prę dkoś ć fal podłuż nych w materiale ru ry, ­V prę dkoś ć fal poprzecznych w materiale ru ry, Ш
, X, / i stałe La me'go materiału ru ry, Y (r) funkcje Bessela н ­tego rzę du pierwszego rodzaju , n
funkcje Bessela л ­tego rzę du drugiego rodzaju , w =­ n ­
w
Q
Q z
Q
£ ­
C
w
Ё ­ C
2
— C
2
.
1. Wstę p Piś miennictwo dotyczą ce zagadnień drgań powłok cylin d r yczn ych w kon ta kcie z cie­
czą jest ob szerne. Identyczny j a k w niniejszej pra cy przypa dek d l a cien kich powłok roz­
patrzył B O ŁO TIN w swojej pra cy [3] i nastę pnie powtórzył w [4]. D r g a n i a gr u b ych powłok cylin d r yczn ych b ez cieczy rozwią zali G AZI S [5} i M I R SKY, H ER R M AN N [6]. G REEN SP O N [7] zają ł się cien kimi i gr u b ymi powłokami za n u r zon ymi w nieru chomej cieczy z przyłoż onym stałym ciś nieniem w ś rodku. W res zcie prace BOBESZKI ([2] j a k o kon tyn u a cja [1]) dotyczą a na logicznego za ga dnienia , j a k niniejsza pra ca , ale b ez cieczy zewnę trznej. W odróż nieniu o d literatu ry cytowanej powyż ej, w niniejszej pra cy uwzglę dniono przypa dek grubej p ow ­
włoki i r u ch o b u cieczy: wewnę trznej i zewnę trznej. W pra cy rozważ amy d r ga n ia własne nieskoń czenie długiej ru ry o p r omien iu wewnę trz­
n ym a i zewnę trznym b (wielkoś ci: promień b i gruboś ć ru ry b­a są tego samego rzę du). J . 74
S A M B O R S K I Materiał r u r y jest lin iow o sprę ż ysty. Rurę wewną trz i zewną trz opływają dwie ciecze, ś ciś ­
liwe i nielepkie, o gę stoś ciach odpowiednio g i Q . W d a ls zym cią gu przyjmu jemy nieskoń ­
w
Z
czenie małe przemieszczenia punktów r u r y i liniowe równania r u ch u d l a cieczy ora z l i ­
niowe w a r u n k i b rzegowe. Przepływ cieczy w stanie s p oczyn ku r u r y od b yw a się ze stałą prę dkoś cią równolegle d o os i ru ry. 2 . Podstawowe równania zagadnienia D l a infinitezyma lnych odkształceń ru ry, pertu rb acja w przepływie wywołana przez odkształcenia r u r y róż ni się infinitezyma lnie od przepływu ze stałą prę dkoś cią U, a poten­
cjał pertu rb acji 93 spełnia zlinea ryzowa ne równanie „ д
1 / 5 ^ ~ 1 Ą
(2.1) k
+
u
i
x
" v
^ ­ " gdzie d l a cieczy wewnę trznej należ y podstawić : q> , c , U , a d la cieczy zewnę trznej: <p , w
w
w
z
c„ U . z
Równania r u ch u punktów należ ą cych d o ru ry mają postać (2.2)
i
u d ivgr a d u + ( A+ a ) gr a d d ivu = Q y^ r > u = U(HJ , м
J
2
, "3) .
Przeds ta wmy wektor przemieszczenia u w postaci s u my gra dientu potencjału skalarnego % i rotacji bezź ródłowego potencjału wektorowego ф (2.3) u = gra d x+rot ф , d ivф = 0 . W p r ow a d za my współrzę dne cylindryczne х , в , r (oś x p ok r yw a się z osią cylindra ). Znają c potencjały % i ф , moż emy z (2.3) znaleź ć pole przemieszczeń punktów r u r y „ _ „ ­ X , Vt> ~ " ~ 8x dr d
V» •
r г dd ' d
+
U x
1 +
Przyjmują c czę ś ć liniową tensora odkształcenia E u ler a , składowe p ola odkształceń i n a ­
prę ż eń za pis zemy w postaci ­
du e x x =
w ~dx~'
е
1 ldv *
e
e =
2Щ
+
х х
^ ' ^ 6
х х
с г = 2,м е
х 9
х в
, 1 dv 7 7~д в '
+
dw e
" 2 " \ а 7 "^/'
+
=
" =
dw\ 1 Idu е
а = Х А +2ц е , 2
=
1 du\ 7~д в ]'
т Tr' v 1 /dv е г в
~ Т \ д 7 ~ 7 7 1 ё а == Х А +2/ л е , а „ = Х А +2ц е „, <г = 2/ л е , а = 2/г е , в в
м
х г
х г
l dw +
в г
9г
• 75 • D R G A N I A G R U B O Ś C I E N N E J R U R Y P R Z Y P R Z E P Ł Y W I E C I E C Z Y gdzie (2.7) A ( i _ (е +е +е ) х х
в в
i 2 s , i 8 l d , д
= V = + . + ~ ^ + y , f \
V
гг
2
x
V
2
Z
X
f 2 2
Х x
W
Równanie (2.2) jest spełnione, jeś li potencjały % i ф spełniają równania falowe (2.8) V У
(2.9) c\ dt 1
2
' 2
1 о
ф ­
ф 2
0. c\ dt
2 W a r u n k i b rzegowe łą czą ce pole prę dkoś ci płyną cej cieczy wewnę trznej i zewnę trznej i drgają cej sprę ż yś cie ru ry są nastę pują ce: warunek kinematyczny, wymagają cy b y były równe składowe promieniowe prę dkoś ci czą stki płynu i czą stki ru ry n a powierzchnia ch r = a i r = b du
Sepy, (2.10) r dr r=a du
d<p
r : (2.11) w
r=a dx r=a r U ±­
д х r = b 3 9 dt
z
or a z warunek dynamiczny zapewniają cy cią głoś ć naprę ż eń n a gra nicy oś rodków (2.12) r=a (2.13) = °"J
= 0 , \r—a \r=a " 4 (2.14) r
d f
+
д х ) » . =4=*
fr
„ l P* i г /
E<
(2.15) u
]r=o = 0 . Р Л 8<
r = b 3. Rozwią zanie falowe D a ls ze rozważ ania ogra nicza my d o ru ry nieskoń czenie długiej. Rozwią zania równań (2.1), (2.8) i (2.9) przewidu jemy w postaci q> (r, 6, x, t) = /(r)cos7i0sin(et>f—kx), w
(p {r, 6, x, t) = p(r)cosnOsu\(wt—kx), 2
X(r, в , X, t) = g(r)cosnOcos(oot (3.1) — kx), y> (r, 0, x, i) = h (r)sinnOcos(cot—kx), г р (г , в , x, i) = h (r)cosnes\n(cot—kx), y (r, 0, x, t) = h (r)$innQsm(wt—kx). x
x
в
e
r
r
Przez podstawienie (3.1) d o równań (2.1), (2.8) i (2.9) otrzymu jemy zwyczajne równania róż niczkowe n a fu nkcje p,f, g, hi = h , h —h = 2h ora z h ­\­h = 2h
x
(3.2) B„.„[f] В п .у г Щ
= 0, = 0 , e
B , [p] n Sr
B , [h ] n+l yr
2
r
2
= 0, = 0 , e
r
} B„,, [g] = 0, r
B„. , [h ] x ir
3
= o, 76 J . S A M B O R S K I gdzie _г ,
(3.4) a = ^r Ję ^L 2
p
к
«L _ « .
l
Л
=
C
г « J у
. =
C
2
32 ( *>­ ^ , ) . =
2 Ogólne rozwią zanie (3.1) w tym p r zyp a d ku m a postać f(r) = A Z (ar)+A W (<xr), p(r) = В М д г )+В Ц г {д г ), 1
n
2
n
2
а
g(r)=C Z„(Br)+C W„(Br), 1
(
­
2
D Z {yr)+D W {yr), A,(r) = )
l
n
1
n
h {r) = Ą Z ^ C y O + Ą ł K + i G w ) , 2
A (r) = F i Z . _ ( y r ) + Ą ^ . _ ( y r ) , 3
1
1
gdzie Z „ ozna cza /„ lu b J„. a W„ ozna cza AT„ lu b Y zgodnie z układem (w zależ noś ci czy: n
a, /3, у l u b ó są u rojone czy rzeczywiste) и м \<o—kU„\ < kc
w J (ccr) kc < \co—kU \ w
n
w
и м K(M Uyr) K {yr) kc < co < kc
UM K (M Uyr) Y (yr) kci < co и м co < kc
2 (3.6) 2
x n
n
Y (yr) Y„(M n
K„(dr) \(o­kU \ < kc. z
kc < \co—kU \ z
n
Y„(dr) z
Ponieważ f(r) mu s i być ogra niczone d l a r — 0. a p(r) = 0 d l a r = 00, wię c bę dzie: A = B = 0. N a podstawie (2.3) , każ da z fu nkcji h, (i = 1, 2, 3) moż e być przeds ta wiona 2
T
2
w postaci komb in a cji dwóch pozostałych, wię c przyjmują c h = 0 ma my: h = h , h = h
3
K= x
x
e
2l ­h . 2
P ol a przemieszczeń , odkształceń i naprę ż eń mogą wię c być przedstawione w nastę pu­
ją cej p os ta ci: u = u — [kg—h,—­ A?— — h­Acosnd sin(eor—kx), r r I \ x
u = v — (— — g + h[—kh \smndcos(cot—kx), 2
e
(3.7) и
, = w = ^g' — h~—kh ^cosnOcos(cot l
2
\ [~ T ( '~ f ) * ~ Ł г в =
g
+
i #
— kx), 7^ T '
+
h i +
* * 2 j s i n n 0 c o s M ­ t a ) , 77 D R G A N I A G R U B O Ś C I E N N E J R U R Y P R Z Y P R Z E P Ł Y W I E C I E C Z Y e„ ­ \g"­ j | л ; ­ yj­ A: / j jcos «9cos ( cof­ A: x) , 2
a = 2/ ne — fi^2kg'—h —у xr
xr
\ cr, = 2/ г е е = fi I 2
— j Л |— ~­ h — A: A jcosn0sin(<yr —kx), 2
{
2
2n I , g\ — Ig ­ yj + A i г
9
|л
2
n hi h у + ­ у ­ + 2
t
­ * * 2 — H a„ = 2jue„+XV x 2
&A |sinw0cos(co/—kx), 2
= 2
=­­ ( A ; ­ ^ ­ J ­ ^ j 2 ^ ­ A ( / S + A : ) ^ J c o s n e c o s ( c o r ­ A : x ) , 7 2
2
2
gdzie p r imy oznaczają róż niczkowanie wzglę dem г . Wykorzystują c w a r u n k i b rzegowe (2.10—2.15) otrzymu jemy jed n or od n y układ oś miu równań n a stałe A B , C j , C , D , D , E E . U kład ten m a zawsze trywia lne rozwią ­
l}
2
x
2
2
l}
2
zanie Ai = B = ... = E = 0, odpowiadają ce 2
nieza b u rzonemu przepływowi 2
cieczy i s p oczyn kow i ru ry. Pr zy pewnych w a r u n ka ch moż liwy jest jedna k stan za b u r zon y od ­
powiadają cy p r zyp a d kow i, gdy nie wszystkie stałe są równe zeru . W a r u n k i e m is tnienia rozwią zania niezerowego jest, a b y w yzn a czn ik cha ra kterys tyczny tego układu był równy zero. Z równań powstałych z w ykor zys ta n ia warunków (2.10) i (2.11) w yzn a czon o A
x i B w zależ noś ci od pozostałych stałych, a nastę pnie pods ta wiono w ten sposób otrzyma ne 2
wyraż enia n a A i B d o pozostałych sześ ciu równań , dzię ki czemu obniż ono stopień w y­
x
2
zn a czn ika d o sześ ciu. W op a r ciu o wzory reku rencyjne d l a fu nkcji B essela, wa ru nek ist­
nienia rozwią zań niezerowych moż na ostatecznie zapisać j a k o (3.8) |Cy| = 0 . ( U = 1,2 6), gdzie C = { 2 « ( и ­ 1 ) ­ а
u
2
[(у
2
­ ^ ) + 2 / 9 ( Я
2
2
­ 1)] }г
+r, e a\« +k ) w
'
2
w
2
1 2
п
+ 1
0 8 а ) + nZ^a)~Y^m x
n
n+x
( cca) n
n+x
nZ (jm)—Ai«aZ i(«a) n
n+
2n(n­\)Z (ya)­2nl yaZ (ya)+ С ,з = n
3
n+x
+ r) i;W(a. +k ) 2
w
l w
u
^
«Z ( a a ) — X ccaZ
v
iw w v C = 2
2yka Z (ya)­2(n+l)kaZ (ya)+ C = (3.9) (/ З а )+ 2Я
2
w п
" f \ nZ (aa)—X cuiZ (<xa) 2
Z
ya
n
x
n+x
{ 2 n ( / ­ l ) ­ a [ ( y ­ ^ ) + 2 / 9 ( A ­ l ) ] } » ' ( / 9 a ) + 2 / S a ^ , 0 S f l ) + J
2
2
2
2
n
I
+ 1
Z„(«a), 78 J . S A M B O R S K I С , = 2hyka W 2
{у a)­2ka(n+l)W n
(у а )+ n+i
+ r] C a (oc +k ) 2
w
w
2
2
kaW (ya) n+1
2
}iZ„(aa)— A] Z „(aa), n+x
2n{n­\)W„(ya)­2nyaW (ya)+ С и
n+l
+ rj C a (a +k ) 2
w
w
2
2
nW (ya) n
2
nZ {a.d)—Xi n
(3.9) <xaZ (aa) aaZ ((xa) Z„(aa), n+l
­2n(n­l)Z (Ba)+2nX paZ (fia), C
2 1 C
2 2 n
2
n+l
yka Z„ (ya)—2(n+l) kaZ„ ! 2
(ya), +
С г з ­[2n(n+l)­(2X ­l)y a ]Z (ya)­2X yaZ (ya), (Г 24 ­2n(n­\)W (Pa)+2npaW (Pd), 2
3
2
n
3
n
n+l
n+l
hyka W„(ya)­2( +l)kaW (ya), 2
n
n+1
­[2n(n­l)­(2h­l)y a W (ya)­2yaW (ya), 2
2
n
n+l
2nkaZ (fia)­2X pka Z (Pa), n
C
3 2 c
3 3 2
­ 2
n+1
(y ­k )a Z (ya)+nyaZ (ya), 2
2
2
n+l
n
nkaZ„(ya), 2nkaW (pd)­2pka W ^d), C = 2
n
3 5
3 6
n
hnyaW {ya)­(Y ­k )a W (ya), C = C = 2
n
3 4
2
2
n+l
nkaWniya). Pozostałe współczynniki (od C , d o C ) bę dą miały analogiczną postać (C j a k C , C
4
4i
66
n
4 2 j a k C itd), z tym, ż e należ y zastą pić 1 2
f , 'Л ­
z
Z„(ar)­+ a ­ > Ł , W„{dr), a mia n ow n ik [ «Z „( a a ) — Ai a a Z ,(aa)] zastą pić mia n ow n ik iem n ł
%­*8, [nW (db)—dbW (db)]. n
n+1
Wielkoś ci A (i = 1, 2, 3) przyjmują wartoś ci + 1 lu b — 1 (w zależ noś ci czy a, fi, у są ;
rzeczywiste czy u rojone), zgodnie z tabelą a u rojone (3.10) ->
/„(ar) A, = a rzeczywiste Л ( а г ) A, = /? u rojone /„(/Sr), В Д г ) A = 2
/3 rzeczywiste —» Л О З г ), r.(j8r) A = у u rojone K (yr) A = Y (yr) A = у rzeczywiste —• h(yr), ­
2
3
n
Uyr), ­
n
­
3
W p r a cy BO BESZKI [2] popełniono pomyłkę rachunkową przy ob licza n iu U w a g a : współczynników C , ; , pomyłkę tę powtórzono p r a w d op od ob n ie za pracą G AZI SA [5]. W C i , , C i C za mia s t ( y ­ l ) w in n o b yć : [ ( у
4
1 4
2
4 4
wyraż enie y k a 2
2
2
2
­ 1)+2Ł (А
2
w in n o być pomnoż one przez (2A — 1). 3
2
­ 1 ) ] , a w C
2 3
, C
2 6
C , , C i C
5 3
n
5 6 79 D R G A N I A G R U B O Ś C I E N N E J R U R Y P R Z Y P R Z E P Ł Y W I E C I E C Z Y 4. Rozwią zania szczególne Równanie (3.8) opisuje zwią zki dyspersyjne d l a gruboś ciennej ru ry opływanej we­
wną trz i n a zewną trz przez płyny. W szczególnych p r zyp a d ka ch ten b a r d zo s k omp l ik o­
w a n y w a r u n ek zna cznie się u pra s zcza . W p r zyp a d ku fali stoją cej (k — 0) w yzn a czn ik redu ku je się do iloczynu dwóch p o d ­
wyznaczników (4.1) AŁ >2 = 0 , gdzie Cu
Ci 6 c
C 4 c
С 41 C44
C4 6
С 51 C54 c
c
Cu
1 3 2
2l (4.2) A = c
5 3 26 C
£>,= 3 2 С б 2 C35
C
o 5 56 Rozwią zania niezerowe istnieją , jeś li przynajmniej jeden z podwyznaczników jest równy zeru . Pr zy Di = 0 stan odkształcenia jest płaski, przy D = 0 zachodzą podłuż ne drga ­
2
nia ś cinają ce ( ob a rodzaje drgań niezależ ne o d x). W p r zyp a d ku fa l os iowo­ s ymetrycznych (и = 0) w a r u n ek istnienia rozwią zań nie­
zerowych (3.8) redu ku je się d o DD (4.3) 3
= 0 , 4
gdzie Cu
C12
C] 4 С ,
C
C 4 5 C32 C34 C 4 1 C 4 2 C 4 4 c « c
С б 4 c
C , 3
5
3
6 2 С
3 5 D = (4.4) 2
з 2>4 = C53
C 2 6 C 5 6 6 5 Pr zy D = 0 powstają fale podłuż ne os iowo­ s ymetryczne (tylko przemies zczenia u i u ). r
3
x
Jeś li D = 0, to przypa dek fal skrę tnych (tylko przemies zczenia u ). Ą
9
Litera tu ra cytowana w tekś cie 1. A . B O B E S Z K O , Sprę ż yste fale gię tne w nieskoń czonej rurze przy przepływie płynu nieś ciś liwego, Rozp r . Inż yn. 1, 1 1 (1963). 2. A . B O B E S Z K O , Flexural elastic waves in infinite tube containing flowing a compressible fluid, according to the exact theory of elasticity, A r c h . M ech . Stos., 1, 1 6 (1964). 3. В . В . Б о л о т и н , К о л е б а н и я и у с т о й ч и в о с т ь у п р у г о й ц и л и н д р и ч е с к о й о б о л о ч к и в п о т о к е с ж и м а е м о й ж и д к о с т и , И н ж . С б . 2 4 , 1956. 4. В . В . Б о л о т и н , Н е к о н с е р в а т и в н ы е з а д а ч и т е о р и и у п р у г о й у с т о й ч и в о с т и , М о с к в а 1961. 5. D . С . G A Z I S , Three­dimensional investigation of the propagation of waves in hollow circular cylinders, J A S A , 5, 3 1 (1959). 6. I. M I R S K Y , G . H E R R M A N N , Axially symmetric motions of thick cylindrical shells, J . A p p l . M ech . , 1, 25 (1958). 7. J . E . G R E E N S P O N , Vibrations of thick and thin cylindrical shells surrounded by water, J A S A , 10, 3 3 (1961). 80 J . S A M B O R S K I Р
К О Л Е Б А Н И Я Т О
Л С Т О
С Т Е Н
Н
О
е з ю
м
е Й Т Р У Б Ы О Б Т Е К А Е М
Ж
И Д К О С Т Ь Ю
О Й В Н
У Т Р И И С Н А Р У Ж
И В р а б о т е р а с с м о т р е н ы с о б с т в е н н ы е к о л е б а н и я б е с к о н е ч н о й , у п р у г о й т о л с т о с т е н н о й т р у б ы . Т р у б а о б т е к а е т с я в н у т р и и с н а р у ж и д в у м я р а з л и ч н ы м и с ж и м а е м ы м и и н е в я з к и м и ж и д к о с т я м и . П р е д п о л а г а е т с я , ч т о о б е ж и д к о с т и т е к у т в н е в о з м у щ е н н о м с о с т о я н и и т р у б ы п а р а л л е л ь н о е ё о с и . С в е р х т о г о , с ч и т а е т с я , ч т о п е р е м е щ е н и я в т р у б е б е с к о н е ч н о м а л ы и м о ж н о п р и н я т ь л и н е а р и з о в а н ­
н ы е у р а в н е н и я д в и ж е н и я ж и д к о с т и и л и н е й н ы е к р а е в ы е у с л о в и я . О к о н ч а т е л ь н о е р е ш е н и е з а д а ч и д а н о в в и д е д и с п е р с и о н н ы х с о о т н о ш е н и й . Р а с с м о т р е н ы д в а ч а с т н ы х с л у ч а я : о с е с и м м е т р и ч е с к и е к о л е б а н и я и в о л н ы н е з а в и с и м ы е о т к о о р д и н а т ы в д о л ь о с и т р у б ы . S u m m a r y V I B R A T I O N S O F A T H I C K ­ W A L L E D T U B E I N I N T E R N A L A N D E X T E R N A L F L O W S O F F L U I D S Vib ra tions of infinitely long, elastic a n d thick­ walled tube are considered. Th e tube is assumed to be in two flows ­ internal a n d external ­ of two different b u t b oth compressib le a n d non­ viscous flu ids. In a ddition, in the case of the tube in rest, b oth flows are assumed to be u niform with velocity parallel to the tube. Moreover, infinitesimal displacements of the tube as well as linear equations of flu ids motion a nd linear b ou nda ry conditions are applied. Th e fina l s olu tion of the prob lem in qu estion is presented in the form of dispersion relations. The paper is illu strated b y two cases: of axially symmetric vib rations and infinite wavelengths. Z A K Ł A D M E C H A N DS I O Ś R O DK Ó W C I Ą GŁ Y C H I N S T Y T UT U P O D S T A W O W Y C H P R O B L E M Ó W T E C H N I K I P A N Praca została złoż ona w Redakcji dnia 5 czerwca 1968 r.