Projekt 6 – Optymalizacja płata Algorytm optymalizacji obrysu

Projekt 6 – Optymalizacja płata Algorytm optymalizacji obrysu

Wydział Mechaniczny Energetyki i Lotnictwa Politechniki Warszawskiej - Zakład Samolotów i Śmigłowców
Projekt 6 – Optymalizacja płata
Projekt polega na optymalizacji obrysu płata wyznaczonego wstępnie w drugim
projekcie. Procedura optymalizacyjna jest uproszczona do dwóch zmiennych decyzyjnych.
Niniejsze opracowanie pokazuje sposób optymalizacji ze względu na opór w warunkach
przelotowych i zakłada, Ŝe zmiennymi decyzyjnymi są: rozpiętość płata i jego średnia cięciwa
geometryczna. Przedstawiony algorytm moŜna zmodyfikować, jeŜeli zachodzi potrzeba, np.
kiedy któryś z wymienionych parametrów jest ustalony z innych powodów. NaleŜy wówczas
wybrać inny parametr definiujący obrys płata lub wybrać inną funkcję celu.
Algorytm optymalizacji obrysu
ZałoŜenie: optymalizacji podlega obrys płata, którego parametrami (zmiennymi
decyzyjnymi) są rozpiętość (b) oraz średnia cięciwa geometryczna (cg). Wektor
zamiennych decyzyjnych będzie zatem miał postać:
v = [v0, v1] = [b, cg]
Opór całkowity moŜemy zdefiniować następująco:
C z2 (v)
ρV 2
D(v) = c S (v)(C x 0 +
)
πΛ (v)e(v)
2
gdzie:
S (v) = bc g = v0 v1
- powierzchnia nośna
b2
- wydłuŜenie geometryczne
S (v )
e(v) = 4.61(1 − 0.045Λ0.68 (v)) cos 0.15 (ϕ LE ) − 3.1
- współczynnik Oswalda (wg [1])
Vc – prędkość przelotowa
2 m( v ) g
C Z (v ) =
- współczynnik siły nośnej przy prędkości przelotowej
ρS (v)Vc2
Cx0 – współczynnik oporu minimalnego samolotu
ρ - gęstość powietrza
m(v) = mbp + m p (v) - masa samolotu
Λ (v ) =
m p (v) = 4.936 ⋅ S (v)Λ0.3 (v) - masa płata nośnego
mbp – masa samolotu (do przelotu) bez płata nośnego
ponadto definiujemy:
2 m( v ) g
CZ ,Vmin (v) =
- współczynnik siły nośnej (przy prędkości minimalnej Vmin)
2
ρS (v)Vmin
CZ,max – maksymalny współczynnik siły nośnej.
Do minimalizacji siły oporu uŜyjemy metody kary (penalty method). Funkcja celu
przybierze wtedy postać:
F (v ) = D ( v ) + K (v )
gdzie funkcję kary zdefiniujemy następująco:
Tomasz Grabowski – Optymalizacja w projektowaniu ... : Optymalizacja płata
1/4
Wydział Mechaniczny Energetyki i Lotnictwa Politechniki Warszawskiej - Zakład Samolotów i Śmigłowców


1
1
K (v ) = 
−

 CZ ,max − CZ (v) CZ ,max − CZ ,Vmin (v) 
2
Przebieg obliczeń
Obliczenia zaczynamy od przyjęcia wartości początkowych zmiennych decyzyjnych,
w prezentowanym przykładzie rozpiętości płata i średniej cięciwy geometrycznej. Wartości te
przyjmujemy w oparciu o dane geometryczne załoŜone w projekcie drugim. WyraŜenie na
masę płata naleŜy przyjąć zgodnie z zaleŜnością przyjętą w projekcie drugim do analizy
masowej samolotu.
Niech wektor zmiennych decyzyjnych przyjmie postać:
X 0 = [b0 , cg , 0 ]
gdzie:
b0 , cg ,0 - wartości początkowe rozpiętości i cięciwy
Dokonujemy N obliczeń iteracyjnych wg zaleŜności:
*
X q = X q −1 + α q S q
gdzie:
S q - wektor poszukiwań, moŜemy wyznaczyć z zaleŜności:
S q = − ∇ F ( X q −1 )
∇ F (X) - gradient funkcji celu:
∂ F ( X ) / ∂ X 0 
∇F(X )= 

 ∂ F ( X) / ∂ X 1 
α q * - odległość w kierunku wektora S którą zamierzamy przebyć w q-tej iteracji
– moŜna przyjąć wstępnie jako wektor jednostkowy
Pochodne cząstkowe funkcji celu moŜna obliczyć numerycznie wg definicji ilorazu
róŜnicowego, tzn.:
F ( X + ∆x) − F ( X − ∆x)
∂ F (X ) / ∂ x ≅
2∆x
Obliczenia kończymy, gdy szukane wartości przestają się znacząco zmieniać w kolejnych
iteracjach. Końcowym efektem pracy powinny być zoptymalizowane wartości zmiennych
decyzyjnych. NaleŜy równieŜ wykonać wykres funkcji celu w funkcji zmiennych
decyzyjnych – w analizowanym przykładzie opór w funkcji rozpiętości i cięciwy oraz wykres
wielkości stanowiącej więzy (w przykładzie maksymalny współczynnik siły nośnej
równy 2.5). Przykłady wykresów są zamieszczone poniŜej.
Tomasz Grabowski – Optymalizacja w projektowaniu ... : Optymalizacja płata
2/4
Wydział Mechaniczny Energetyki i Lotnictwa Politechniki Warszawskiej - Zakład Samolotów i Śmigłowców
Funkcja celu
5
1000 5000
5000
6000
7000
9000
8000
4
1 10
1.1 10
2000
3000
4000
4
4000
4
8000
6000
5000
cięciwa
3
9000
7000
4000
1000
2000 4000
3000
3000
5000
4000
4000
3000
3000
2
2000
2000
1000
1000
1000
2000
1
5
10
M
15
rozpiętość płata
Rys.1 – Opór w funkcji rozpiętość i cięciwy
Cz
5
2.517
1.258
2.517
1.258
3.775
3.775
4
5.034
1.258
6.292
cięciwa
2.517
7.551
3
1.258
2.517
3.775
5.034
3.775
6.292
2.517
5.034 10.068
8.809
2
11.326
12.585
8.809
7.551
10.068 11.326
5.034
1.258 2.517 3.775
5.034
6.292
1.258
2.517
3.775
3.775
1.258
2.517
1
5
P
10
15
rozpiętość płata
Rys.2 – Współczynnik siły nośnej przy prędkości minimalnej w funkcji rozpiętość i cięciwy
Tomasz Grabowski – Optymalizacja w projektowaniu ... : Optymalizacja płata
3/4
Wydział Mechaniczny Energetyki i Lotnictwa Politechniki Warszawskiej - Zakład Samolotów i Śmigłowców
Uwagi końcowe:
1. Metoda kary nie jest metodą niezawodną. Otrzymane wyniki mogą zaleŜeć silnie od
przyjętego punktu startowego. Ponadto istnieje moŜliwość przekroczenia wartości
granicznej więzów. NaleŜy zatem sprawdzić czy takie przekroczenie nie nastąpiło
(proces jest wtedy rozbieŜny lub zbiega się poza więzami) i skorygować punkt
startowy, względnie przekonstruować funkcję kary, tak aby iteracja była zbieŜna i
prowadziła do sensownych wyników.
2. Funkcja celu, przyjęta zaleŜność na masę płata, funkcja kary mogą być przyjęte
inaczej niŜ w omówionym przykładzie. NaleŜy dokonać stosownych zmian, jeŜeli
prezentowany przykład nie odpowiada wymaganiom projektowanego samolotu.
Szczegółowe omówienie kaŜdego przypadku wymaga konsultacji z prowadzącym
zajęcia.
Literatura:
1.
2.
Daniel P. Raymer: Aircraft Design, A conceptual Approach, AIAA 2004
Garret N. Vanderplaats: Numerical Optimization Techniqes for Engineering Design,
McGraw-Hill, 1984
Tomasz Grabowski – Optymalizacja w projektowaniu ... : Optymalizacja płata
4/4