K1. Zakres wymagań do pracy klasowej z liczb rzeczywistych cz. 1

K1. Zakres wymagań do pracy klasowej
z liczb rzeczywistych cz. 1
na poziomie podstawowym i rozszerzonym (materiał dla ucznia)
Zadanie 1 sprawdza:
• Umiejętność wykonywania działań na zbiorach.
• Umiejętność rozwiązywania problemów z wykorzystaniem wiadomości o zbiorach.
Zadanie 1.1
Dla jakich liczb a, b, c, d zachodzą poniższe równości?
a) {2, 3, 5} ∩ {a, 1, 2, 3} = {2, 3}
b) {–1, –4, 2} ∪ {b, 7} = {–1, –4, 2, 7}
c) {–1, –4, 2} \ {c, 2} = {–1} d) {–1, –4, 2} \ {d, –4} = {–1, 2}
Zadanie 1.2
Uczestnicy wycieczki zdecydowali się na grzybobranie. Każdy uczestnik
wycieczki znalazł co najmniej jednego grzyba. Prawdziwki znajdowały
się w koszykach 20 osób, podgrzybki miało 15 osób, kurki 12 osób. Prawdziwki i podgrzybki znajdowało 5 zbieraczy, prawdziwki i kurki 7 zbieraczy, podgrzybki i kurki 4 zbieraczy. Tylko 3 grzybiarzy mogło pochwalić
się zebraniem aż trzech rodzajów grzybów. Ile osób zbierało grzyby?
Zadanie 2 sprawdza:
• Umiejętność oceniania zdań logicznych prostych i złożonych wymagających:
−−tworzenia i rozwiązywania równań lub nierówności,
−−przekształcania wyrażeń,
−−biegłości w wykonywaniu działań na liczbach rzeczywistych,
−−biegłości w stosowaniu własności związanych z podzielnością liczb i z dzieleniem z resztą.
Zadanie 2.1
Oceń prawdziwość zdań a, b, c, d, a ∧ b, c ∨ d, a ⇒ d, b ⇔ c.
a: Zbiór wszystkich wielokrotności liczby 5 nie mniejszych od 0 i jednocześnie mniejszych od 65
ma 13 elementów.
b: Liczb naturalnych nie większych niż 100, dających przy dzieleniu przez 6 resztę 3, jest 16.
c: −1 = 3 + 2.
3−2
d: Notacją wykładniczą liczby 0,00001 ⋅ 0,24 jest liczba 2,4 ⋅ 10–5.
Zadanie 2.2
Oceń zdania p, q, p ⇒ q.
p: Zbiór liczb natuarlnych mniejszych od liczby 234, dających przy dzieleniu przez 7 reszty 5, ma
33 elementy.
q: Można wskazać dokładnie dwie liczby całkowite k, dla których ułamek 45 jest liczbą całkowitą
4k + 3
ujemną.
www.wsip.pl
1
Matematyka dla liceum i technikum – zakres podstawowy i rozszerzony. Poradnik dla nauczyciela – klasa 1
Zadanie 3 sprawdza:
• Stopień sprawności w wykonywaniu działań w zbiorze liczb rzeczywistych, a w szczególności działań na
potęgach i pierwiastkach.
• Znajomość i stosowanie własności działań na liczbach, potęgach, pierwiastkach.
Zadanie 3.1
Oblicz.
9
−7
−2
−1
3,04 ⋅ 10 ⋅ 3 ⋅ 10
a) (810,5 ⋅ 9 −2 ) 4 b) 0,125 3 ⋅ 0,25−2 c) 0,6 − ( 23 − 23 ⋅ 0,125) d)
5
2 ⋅ 10
Zadanie 3.2
Oblicz (0,125
−2
3
⋅ 0,25
1
−2 3
)
−1
+ (810,5 ⋅ 9 −2 ) 4 .
Zadanie 4 sprawdza:
• Znajomość i sprawność w posługiwaniu się wzorami skróconego mnożenia.
Zadanie 4.1
Usuń niewymierność z mianownika ułamka.
a)
2− 3
2+ 3
b)
3
2
3 −1
c)
30
5+ 3+2 2
Zadanie 4.2
Uprość wyrażenie 23 ⋅ 5 − 2 ⋅ 5 + 2 .
Zadanie 5 sprawdza:
• Umiejętność prowadzenia prostych rozumowań uzasadniających fakty dotyczące liczb całkowitych.
• Umiejętność zapisywania z użyciem liter liczb całkowitych mających dane własności.
• Umiejętność wykorzystywania własności liczb do rozwiązywania nieschematycznych zadań.
Zadanie 5.1
Uzasadnij, że suma czterech kolejnych liczb całkowitych parzystych jest podzielna przez 4.
Zadanie 5.2
Liczba przekątnych wielokąta o n wierzchołkach wyraża się wzorem n(n2− 3). Wielokąt wypukły ma
75 przekątnych. Ile boków ma ten wielokąt?
Zadanie 5.3
Wykaż, że liczba n3 – n jest podzielna przez 6 dla każdej liczby naturalnej.
Odpowiedzi
1.1 a ∈ R \ {1, 2, 3, 5}, b ∈ {–1, –4, 2}, c = –4, d ∈ R \ {–1, –4, 2} 1.2 20 + 4 + 1 + 9 = 34
2.1 a → prawda, b → fałsz, c → prawda, d → fałsz, a ∧ b → fałsz, c ∨ d → prawda, a ⇒ d → fałsz,
b ⇔ c → fałsz 2.2 p → prawda, q → fałsz, p ⇒ q → fałsz 3.1 a) 3, b) 64, c) 1 , d) 0,00456
60
3.2 4 + 3 4.1 a) 2 6 − 5, b) 3 9 + 3 3 + 1, c) 5 3 + 3 5 − 2 30 4.2 23
5.1 (2n – 2) + 2n + (2n + 2) + (2n + 4) = 8n + 4 = 4(2n + 1) – postać liczby podzielnej przez 4
5.2 Nie istnieje taki wielokąt, bo żadna liczba n nie spełnia warunku n(n – 3) = 2 ⋅ 3 ⋅ 5 ⋅ 5 = 75 ⋅ 2 =
= 50 ⋅ 3 = 25 ⋅ 6 = 15 ⋅ 5 = 15 ⋅ 10. Jeden z czynników musi być o 3 mniejszy od drugiego.
5.3 n3 – n = (n – 1)n(n + 1) – jedna z dwóch kolejnych liczb całkowitych jest podzielna przez 2 i jedna
z trzech kolejnych liczb całkowitych jest podzielna przez 3, stąd wynika, że liczba n3 – n jest podzielna przez
2 i 3, więc jest również podzielna przez 6.
2