1.Grupy macierzy i grupy prz.linowych V:Przestrzeń liniowa nad R

1.Grupy macierzy i grupy prz.linowych
V:Przestrzeń liniowa nad R
End(V)={f:f:V->V liniowe}
Aut(V)={f∊ End(V): f bijekcja}
Aut(V) End(V)
Aut-gr automorf lin V
GLn(n,R)={A∊Mnxn(R):det(A)≠zb.Pusty}
O(n,R)={A∊GL(n,R):A-ortogonalna}
O(n,R) ≤GLn(R)
GL(n,R)->(R*,.) epimorf grup
Det(A.B)=det(A).det(B)
2.det:O(n,R)->epimo({-1,+1},.)
KerDet={A:det(A)=1}=SL(n,R)∆GL(n,R) ∊GL(n,R)
(SL(n,R)∆GL(n,R)-specjalna n-ta grupa linowa)
Ker det ∩O(n,R)={A∊O(n,R):det(A)=+1}
=SO(n,R)
(SO(n,R)-specjalna gr. Ortogonalna)
Izo(Rn)={f:Rn-Rn:f-zachowuje odległ punktów}
(Izo(Rn)-Gr izometrii przestrzeni Rn)
3.Niech P1,…,Pk∊Rn. Układ punktów (być może
Z powtórzeniami) P= (P1+..+Pk):
Środek ciężkości układu P1,…,Pk
4.Zał, że f:Rn->Rn izom i P1,…,Pk∊Rn
o środku ciężkości P. Wtedy f(P):śr ciężk
układu f(P1),…,f(Pk)
5.Zał, że G:skończona gr izom przestrz Rn.
Wtedy ∃ P∊Rn t,że f(P)=P dla wszystkich
f∊G(tzn P:punkt stały dla f∊G)
6.Grupy obrotów własnych:
1.Gr obr 4-ścian forem jest =~A4
A4-gr tetrahedralna
2.Gr obr wł 6-ścianu i 8-ścianu forem=~
S4 (gr oktahedralna)
3.Gr obr wł 12 i 20-ścianu for=~A5
A5(gr ….
7.każda skończona podgr SO(3,R) jest =~
Z jedną z Zn(n≥1), Dn(n≥2), A4, S4, A5
8.Gr izom wł 4-ścianu for jest =~S4