Charles Augustin Coulomb

elektrostatyka
ver-14.12.11
light
ładunek
• ładunek elementarny
e=1 . 60⋅10 −19 C
• zasada zachowania ładunku
• siła (centralna, zachowawcza)
prawo Coulomba:
F~
stała absolutna
q1 q 2
r2
dwa ładunki punktowe w próżni:
1 q1 q2

F=
e
4 πε 0 r 2 12
F
ε 0≃8 .85⋅10−12
m
ε 0 – stała elektryczna (absolutna)
siła Coulomba
1 q1 q2

F=
e
4 πε 0 r 2 12
Charles Augustin de Coulomb
(1736 – 1806)
pole elektryczne
E
er
F
q'
'
 = 1 q q e
F
4 πε 0 r 2 12
q

F

E= '
q
def
natężenie pola elektrycznego:
w przypadku ładunku
punktowego:
'
F =q E
E = 1 q e
4 πε 0 r 2 r
zasada superpozycji pól
E tot=∑ E
i
i
 =q' E tot
F
linie pola:
E
doświadczenie
Millikana (1911)
eE
mg
e=
mg mgd
=
E
V
e=1 . 60⋅10 −19 C
Robert Andrews Millikan
(1868-1953)
1923
http://webphysics.davidson.edu/applets/pqp_preview/contents/pqp_errata/cd_errata_fixes/section4_5.html
dwa elektrony
y
z
Fgr
F gr =
Fel
x
Nm 2
G ≃6 . 67⋅10
kg
2
−12 C
ε 0≃8 .9⋅10
Nm2
me ≃9 .11⋅10−31 kg
−11
e≃1 . 6⋅10 -19 C
Gm2e
r2
1 e2
F el =
4 πε 0 r 2
F el
1
e2
42
=
≃0
.
4⋅10
F gr 4 πε 0 G m2e
m 1=m 2=1 kg
q1 =q 2=1 C
F el
≃1 .3⋅1020
F gr
praca w polu elektrycznym
dr
q'
α ds
r1
2
2
2
 d s =∫ F cos α ds =∫ Fdr
W =∫ F
1
1
1
r2
r2
'
'

q q dr
qq
1
1
W =∫
=
−
2
4 πε 0 r 1 r 2
r 1 4 πε 0 r
q
E elp =
'
qq
const
4 πε 0 r

energia elektrostatyczna
(potencjalna)
pole elektrostatyczne jest zachowawcze...
potencjał
E elp
def
potencjał:
ϕ=
q'
np. dla ładunku punktowego:
superpozycja pól:
E = 1 q e
4 πε0 r2 r
ϕ=∑ ϕi
i
E =− ∂ ϕ e
∂r r
ϕ=
E elp
q'
=
1 q
4 πε 0 r
związek między E i ϕ
2
∫ F ⋅d s= q  ϕ1 −ϕ 2 
1
2
∫ E⋅d s =ϕ 1 −ϕ 2

1
dϕ
E s =−
ds
def
napięcie
U = ϕ 2−ϕ 1
spadek potencjału na jednostkę
przemieszczenia w kierunku d s
np. dla ładunku punktowego:
ogólniej:
E r =−

dϕ
dr
E =− gradϕ=− ∂ ϕ , ∂ ϕ , ∂ ϕ
∂x ∂y ∂z
ϕ=ϕ  x , y , z 

na powierzchni ekwipotencjalnej przemieszczenie nie wymaga pracy
np.
np. dla ładunku punktowego:
∂ϕ
q
=−
∂x
4 πε 0
∂ϕ
q
=−
∂y
4 πε 0
∂ϕ
q
=−
∂z
4 πε 0
x
r3
y
r3
z
r3
}
ϕ=
1 q
1
=
4 πε 0 r 4 πε 0
q
 x 2 y 2 z 2
E= q  x , y , z 
4 πε0
r3
q r
1 q
=
=
e
4 πε0 r 3 4 πε0 r 2 r
zgadza się…
dipol
l
r  =r− cos ϑ
2
l
r − =r cos ϑ
2
E
rr >> l
r+
r
l
-q
ϑ
1
q
q
q r− −r
ϕ  r  =
−
=
4 πε 0 r r− 4 πε 0 r− r


oś dipola
+q
r − −r = l cos ϑ
l2
r − r =r − cos 2 ϑ≈ r 2
4
2
dipol (cd.)
q l cos ϑ
q l⋅e r
1 p⋅e r
ϕ  r  =
=
=
2
2
4 πε 0 r
4 πε 0 r
4 πε 0 r 2
def
p = q⋅l
moment elektryczny dipola:
ϕ  r , ϑ =
1 p cos ϑ
4 πε 0 r 2
(maleje szybciej niż
w przyp. ładunku punktowego)
a natężenie?
∂ϕ
1 2p cos ϑ
=
∂ r 4 πε0 r 3
∂ϕ
1 p sin ϑ
E ϑ =−
=
r ∂ ϑ 4 πε0 r 3
E r =−

E  r , ϑ  = E 2r E 2ϑ
1 p
1
2
=
13
cos
ϑ
⋯
~

4 πε 0 r 3
r3
też…
oczy?
dipol w zewnętrznym polu
+q
α
moment sił:
E
-q
równowaga trwała
 =qElsin α⋅e
M
⊗
=p × E
równowaga nietrwała
pole dowolnego układu ładunków
qi
1
ϕ  r  =
∑
4 πε0 i ∣r − r i∣
z daleka...
r −r i
qi
r i
r
r i << r

∣r −
r i∣=∣r∣−
r i⋅
e r = r 1−
ϕ  r  =
qi
1
∑
4 πε 0 i r
1−

1
=
4 πε 0
∑ qi 
r
1
4 πε 0

1
r i⋅e r
qi
r i⋅e r
1
≃
∑ 1 r
4 πε 0 i r
1
≃1 x
1− x

r i⋅
er
r
r

 ∑ q i r i ⋅e r  ⋯
r2
= monopol + dipol + … wyższe multipole
multipole
ϕ (r)
monopol
~
1
r
dipol
~
1
r2
kwadrupol
~
1
r3
oktupol
~
1
r4
itd... wyższe multipole
własności pól
wektorowych
pole skalarne
pole skalarne:
ϕ=ϕ  x , y , z 
def
gradient pola:
przyrost funkcji:
przy elementarnym
przemieszczeniu:
czyli:
gradϕ =
dϕ=

∂ ϕ ∂ ϕ ∂ϕ
, ,
∂x ∂y ∂z

∂ϕ
∂ϕ
∂ϕ
dx
dy
dz
∂x
∂y
∂z
d l =  dx , dy , dz 
dϕ=grad ϕ⋅d l
(iloczyn skalarny wektorów)
pole wektorowe
E= E  x , y , z 
= E x  x , y , z  , E y  x , y , z  , E z  x , y , z  
def
strumień pola:
α
⋅d 
dΦ = E
S
Φ=∫ E⋅d S
E
S
= ∫∣E∣cosα dS=∫ E n dS
S
dS
S
def
S
d
S = dS e n
e n – wersor ⊥ dS
NB: analogia do pola wektorowego prędkości cieczy: ΔΦ=
dV
= v⋅d 
S
dt
dywergencja
∮ E⋅d S
znika, chyba że obszar zawiera źródła
S
def
Φ
1  
= lim ∮ E⋅d
S
V
V
V 0
V 0
S
 = lim
div E
(nie zależy od powierzchni)
skalarna funkcja pola
dywergencja dodatnia
(źródła pola)
dywergencja zerowa
(pole przepływa)
dywergencja ujemna
(zlew pola)
dywergencja (cd.)

Φ≈V div E
 
Φ  x =
∂ Ex
dy dz
∂x
strumień w kierunku x

z

∂ Ex ∂ E y ∂ E z
Φ=


ΔV
∂x
∂y
∂z
dV
dz
∂ Ex ∂ Ey ∂ Ez

div E=


∂x
∂y
∂z
dy
dx
y
x
twierdzenie Gaussa
znając dywergencję pola wektorowego w każdym
punkcie obszaru można znaleźć strumień tego
pola przez powierzchnię ograniczającą obszar:
∮ E⋅d S=∫ div E dV
S
V
Karl Friedrich Gauss (1777 – 1855)
rotacja
E
całka po konturze zamkniętym Γ :
∮ E⋅d l
Γ
- cyrkulacja
Γ

∮ v⋅d l
def
 rot E  n = lim 1 ∮ E⋅d l
S 0
S
Γ
(nie zależy od konturu)
Γ
wektorowa funkcja pola

rotacja cd.
z
dS

dz
 rot E  x =
dy
x

∂ E z ∂ E y dydz
−
∂y
∂ z dS
y
(rotE)x
rot E =

∂ E z ∂ E y ∂ E x ∂ Ez ∂ E y ∂ Ex
−
,
−
,
−
∂ y ∂z ∂z ∂x ∂x ∂y

twierdzenie Stokesa
znając rotację pola wektorowego w każdym punkcie
obszaru można znaleźć cyrkulację tego pola wzdłuż
konturu zamkniętego ograniczającego ten obszar:
∮ E⋅d l =∫ rot E⋅d S
Γ
S
(strumień rotacji)
Sir George Gabriel Stokes (1819 – 1903)
operator nabla
def

= ∂ , ∂ , ∂
∇
∂x ∂y ∂z


 ϕ= ∂ ϕ , ∂ ϕ , ∂ ϕ =gradϕ
∇
∂x ∂ y ∂z

∂Ex ∂Ey ∂Ez


∇⋅E =


=div E
∂x ∂ y ∂z


∂Ez ∂Ey ∂Ex ∂Ez ∂Ey ∂Ex


∇ × E=
−
,
−
,
−
=rot E
∂y
∂z ∂z
∂x ∂x ∂ y
  =0
div  rot E
rot  grad ϕ  =∇ ×  ∇ ϕ  =  ∇ ×∇  ϕ=0
Gauss:
Stokes:
∮ E⋅d S =∫  ∇⋅E  dV
∮ E⋅d l =∫  ∇ ×E ⋅d S
S
V
Γ
S
twierdzenia o polu
elektrostatycznym
E=−∇ ϕ
więc:
rot E=∇ × −∇ ϕ  =0
rot E=0
pole jest bezwirowe (bo potencjalne)
Stokes:
∮ E⋅d l =0
Γ
Gauss:
∮ E⋅d s =∫ div E dV
S
V
?
przykład
r
q
Φ=∮ E⋅d S =4π r 2 E  r 
S
=4π r 2
ogólnie:
1 q q
=
2
4 πε0 r ε 0
Φ=∮ 
E⋅d S =
S
∑ qi
i
ε0
prawo Gaussa
Φ=∮ E⋅d S =
S
def
ρ=
dq
dV
Gauss: strumień natężenia pola
elektrostatycznego przez dowolną
powierzchnię zamkniętą równy jest
sumie ładunków obejmowanych
przez tę powierzchnię razy 1/ε 0.
∑ qi
i
ε0
- gęstość objętościowa ładunku
i
V
1


E
⋅d
S
=
∮
∫ ρ dV
ε
0 V
S
postać całkowa:

div E=
postać
różniczkowa:
∮ E⋅d S=∫ div E dV
S
∑ q i =∫ ρ dV
V
ρ
ε0
lub:
=
∇E
ρ
ε0
koniec
http://www.sciencemuseum.org.uk/on-line/electron/index.asp
http://www.univ-lemans.fr/enseignements/physique/02/electri/millikan.html
oddziaływanie molekularne
ϕ (r)
r
10-10 m
0
r
Ruch ladunku w stalym polu
Metoda obrezoiwania> dalej
Test: czy możliwe pole o
liniach...