25_prawd war

Iwona Zdrodowska
Agnieszka Kaleta
Prawdopodobieństwo warunkowe, wzór na prawdopodobieństwo całkowite,
wzór Bayesa. Niezależność zdarzeń. Schemat Bernoullego.
Definicja prawdopobieństwa warunkowego.
Niech (Ω, ℱ, P) będzie przestrzenią probabilistyczną oraz niech B ⊂ ℱ
będzie takie, że P(B) > 0.
Prawdopodobieństwem warunkowym zdarzenia A, pod warunkiem zajścia zdarzenia
B,
nazywamy prawdopodobieństwo:
(
( |
(
Przykład 1:
Rodzina ma dwoje dzieci. Jakie jest prawdopodobieństwo, że wśród dzieci są same
dziewczynki, jeśli wiemy, że przynajmniej jedno dziecko jest dziewczynką?
Otóż:
Ω = {(d,d) ; (c,c) ; (d,c) ; (c,d)}
A = {(d,d)}
B = {(d,d) ; (c,d) ; (d,c)}
( |
(
(
Definicja
Układem zupełnym zdarzeń B1,…, Bn nazywamy n-tkę zdarzeń, spełniającą
warunki:
1) zdarzenia B1,…, Bn są parami rozłączne
2) ⋃
Ω
Twierdzenie (wzór na prawdopodbieństwo całkowite)
Niech B1,…, Bn stanowią układ zupełny zdarzeń o niezerowych
prawdopodobieństwach. Dla
dowolnego A ⊂ ℱ zachodzi wzór:
(
∑ ( |
(
Przykład 2
Uczelnia ma 3 akademiki. W pierwszym z nich 30% to kobiety, w drugim : 60%, a w
trzecim:
50%. W akademikach mieszka odpowiednio: 100, 200, 300 osób. Jakie jest
prawdopodobieństwo, że losowo wybrany student z akademika jest kobietą?
(
(
( |
(
(
( |
( |
( |
(
( |
(
( |
(
Wzór Bayesa:
Niech B1,…, Bn stanowią układ zupełny zdarzeń o niezerowych
prawdopodobieństwach. Dla
dow. A ⊂ ℱ takiego, że P(A)>0, zachodzi wzór:
( | )
(
( | )
( )
( | )
∑
( )
( | )
(
Przykład 3
Dane jak w przykładzie 2. Załóżmy że wylosowana osoba jest kobietą. Jakie jest
prawdopodobieństwo, że mieszka ona w pierwszym akademiku. Chcemy znaleźć
( | . Ze wzoru Bayesa mamy:
(
( |
|
(
(
Definicja niezależności zdarzeń
Mówimy, że zdarzenia A i B∈ ℱ są niezależne w przestrzeni probabilistycznej (Ω, ℱ,
P) wtedy i tylko wtedy, gdy P(A B)=P(A) P(B)
Dla trzech zbiorów A, B,C ∈ ℱ mówimy że są niezależne jeżeli:
1) P(A B)=P(A) P(B)
P(A C)=P(A) P(C)
P(B C)=P(B) P(C)
2) P(A B C)=P(A) P(B) ) P(C)
Definicja
Niech A1,…, An ∈ ℱ. Mówimy że są niezależne jeżeli:
(
(
... ( )
Definicja
Niech A1,A2… ∈ ℱ. Mówimy że są one niezależne jeżeli
niezależne.
Schemat Bernoulliego
Definicja
∈
A1, A2…, An ∈ ℱ są
Schematem Bernoulliego nazywamy ciąg n-powtórzeń w sposób niezależny tego
samego
doświadczenia losowego, którego wynikiem może być jeden ze stanów: sukces lub
porażka.
{(
}
Prawdopodobieństwo sukcesu w pojedynczym doświadczeniu, p∈(0,1)
Prawdopodobieństwo porażki q= 1 − p po pojedynczym doświadczeniu
{(
} (
{(
} (
Zauważmy, że każde zdarzenie elementarne złożone z k-sukcesów i (n-k)-porażek
ma
prawdopodobieństwo równe
. Ponieważ ciągów n-elementowych złożonych
z n jedynek i (k-n)-zer jest tyle, na ile sposobów można wybrać k liczb ze zbioru nelementowego, wiec jest ich ( ).
Własność (wzór Bernoulliego)
Niech ( oznacza prawdopodobieństwo k-sukcesów w n-póbach Bernoulliego z
prawdopodobieństwem suksesów w 1 próbie p i porażki q, wtedy
(
( )
Przykład 4
Rzucamy razy kostką. Jakie jest prawdopodobieństwo że oczek wypadnie dokładnie
dwa razy?
n=3; k=2; p=
(
(
( ) ( )