Programowanie wielokryterialne_wykład1

Dorota Miszczyńska, Marek Miszczyński, KBO UŁ Wielokryteriowa optymalizacja liniowa (WPL)
Wielokryteriowa
optymalizacja liniowa (WPL)
Z reguły, zwłaszcza przy decyzjach złożonych kierujemy się więcej niż jednym kryterium.
Postępowanie w takich sytuacjach nie jest jednoznaczne. Pojawiło się wiele sposobów dochodzenia
do decyzji wielokryterialnej. Podstawowe rozróżnienie sposobów pstępowania wynika z charakteru
zbioru decyzji. Zbiór decyzji może mieć charakter ciągły lub dyskretny.
W sytuacji kiedy zbiór decyzji ma charakter ciągły często zagadnienie decyzyjne formułowane jest w
postaci tzw programowania celowego. Cele, które chcemy osiągnąć mogą być różnie formułowane:
- w postaci punktów
- w postaci przedziałów
-z uwzględnieniem wag
-w postaci hierarchii celów.
Jeżeli zbiór decyzji ma charakter dyskretny tzn decydent określił pewien skończony zbiór
wariantów decyzyjnych oraz kryteria odpowiadające jego preferencjom to możemy zastosować jedną
z wielokryterialnych metod dyskretnych (w dalszej części zostaną omówione metody AHP i
Promethee II).
Zaczniemy od przypadku wielokryteriowej optymalizacji liniowej.
Zadaniem WPL nazywamy następujące zadanie optymalizacji liniowej:
z1 
c11x1
  
c1n xn


  

zK 
cK 1 x1
  
cKn xn
 max
a11x1
  
a1n xn

b1

  




bm
am1 x1
 
,
amn xn
x1  0
,

,
xn  0
 max


(1)
(2)
(3)
Jest to zadanie PL, w którym występuje K funkcji celu.
Zakładamy, że zadanie (1-3) jest niesprzeczne i posiada skończone rozwiązanie optymalne
dla każdej z K funkcji celu.
1
Dla każdej z K funkcji celu poszukujemy wartości największej (max).
1
Jeżeli jakaś funkcja celu zk ma oryginalnie kierunek poszukiwań “min” (żądanie znalezienia wartości najmniejszej), to wystarczy
pomnożyć ją przez „-1”
Dorota Miszczyńska, Marek Miszczyński, KBO UŁ - Wielokryteriowa optymalizacja liniowa (WPL)
[2]
Wszystkie K funkcje celu możemy potraktować jako jedną funkcję wektorową F(x) i zapisać
je jako:
 z1 x   c1T x 


F x   

  max
 z K x   cTK x


Stąd bierze się często spotykane określenie zadania WPL
jako zadania liniowej optymalizacji wektorowej.
Jak każde zadanie PL, tak i zadanie WPL może być rozpatrywane w dwóch przestrzeniach:
 w przestrzeni decyzji Rn , tj ze względu na zmienne x1, … , xn oraz
 w przestrzeni
kryteriów RK , tj. ze względu na kryteria
z1, … , zK.
Stosownie do tego podziału oznaczymy zbiory rozwiązań dopuszczalnych:
X - zbiór rozwiązań dopuszczalnych zadania WPL w przestrzeni decyzji oraz
Y - zbiór rozwiązań dopuszczalnych zadania WPL w przestrzeni kryteriów.
Dorota Miszczyńska, Marek Miszczyński, KBO UŁ - Wielokryteriowa optymalizacja liniowa (WPL)
[3]
PRZYKŁAD 1 (opis sytuacji decyzyjnej)
Rafineria naftowa otrzymała zamówienie na dwa rodzaje specjalnych paliw
węglowodorowych X oraz Y. Zamówienie opiewa na minimum 4 000 galonów paliwa X i
minimum 2 400 galonów paliwa Y. Paliwa te mogą być wytwarzane niezależnie w dwóch
procesach: P1 i P2.

W ciągu 1 godziny trwania procesu P1 zużywa się 1 baryłkę ropy A oraz 3
baryłki ropy B i otrzymuje 100 galonów paliwa X oraz 30 galonów paliwa Y.

W ciągu 1 godziny trwania procesu P2 zużywa się 4 baryłki ropy A oraz 2
baryłki ropy B i otrzymuje 50 galonów paliwa X oraz 40 galonów paliwa Y.
Zasób ropy A wynosi 320 baryłek, a ropy B 240 baryłek.

Zysk z godziny produkcji według procesu P1 wynosi 200$, a koszty 800$.

Zysk z godziny produkcji według procesu P2 wynosi 500$, a koszty 1200$.
PRZYKŁAD 2 (2-kryterialne WPL – wariant trywialny)
Dla sytuacji decyzyjnej opisanej w przykładzie 1 szef produkcji poszukuje takiej
kombinacji procesów P1 i P2 (tzn. chce ustalić na ile godzin uruchomić proces P1, a na ile
P2), aby osiągnąć:
 maksymalny zysk oraz
 maksymalną ilość paliw X i Y.
Oznaczmy:
x1 - czas trwania procesu P1 oraz
x2 - czas trwania procesu P2 .
Model decyzyjny w przykładzie 2 będzie następujący:
z1  200 x1
 500 x2

max
( zysk )
z 2  130 x1

90 x2

max
( paliwa )
100 x1

50 x2
 4000
( paliwo X )
30 x1

40 x2
 2400
( paliwo Y )
x1

4 x2

320
(ropa A)
3x1

2 x2

240
(ropa B)
x1  0
,
x2  0
Na rysunku 1 przedstawiono zbiór rozwiązań dopuszczalnych w przestrzeni decyzji .
Dorota Miszczyńska, Marek Miszczyński, KBO UŁ - Wielokryteriowa optymalizacja liniowa (WPL)
[4]
Rys. 1. Ilustracja zbioru rozwiązań dopuszczalnych w przestrzeni decyzji zadania WPL
w przykładzie 2
W tabeli 1 podane są współrzędne punktów wierzchołkowych zbioru decyzji
dopuszczalnych w przestrzeni decyzji.
Tabela 1. Współrzędne punktów wierzchołkowych zbioru decyzji dopuszczalnych w
przestrzeni decyzji w przykładzie 2.
wierzchołki
współrzędne
x1 (proces P1)
x2 (proces P2)
A
B
C
D
16
48
0
80
32
72
80
0
Problem WPL może być rozpatrywany w dwóch przestrzeniach2, tj. :
 w przestrzeni decyzji oraz
 w przestrzeni kryteriów.
Twierdzenie 1. Zbiór rozwiązań dopuszczalnych zadania w przestrzeni
kryterialnej jest wielościanem wypukłym. Każdy wierzchołek tego wielościanu
jest obrazem pewnego wierzchołka zbioru decyzji dopuszczalnych w przestrzeni
decyzyjnej, natomiast pozostałe punkty to zbiór wszystkich kombinacji wypukłych
punktów wierzchołkowych.
2
Obie przestrzenie są w ogólności różnych wymiarów. Przestrzeń decyzyjna to Rn, natomiast przestrzeń kryterialna to RK.
W rozważanym przykładzie tylko dla celów ilustracyjnych przyjęto n=K=2, czyli oba zbiory są ilustrowane przestrzeni R2.
Dorota Miszczyńska, Marek Miszczyński, KBO UŁ - Wielokryteriowa optymalizacja liniowa (WPL)
[5]
Współrzędne wierzchołków w przestrzeni kryterialnej będące „odpowiednikami”
wierzchołków z przestrzeni decyzji są wektorami, których składowe wyznaczane są przez
wartości kolejnych funkcji celu zk (k=1,2,…,K) dla danego wierzchołka z przestrzeni
decyzji. Niech wierzchołkiem w przestrzeni decyzji będzie wierzchołek xr. Wówczas
współrzędne jego „odpowiednika” w przestrzeni kryteriów wyliczymy jako:
 y1   c1T x r 
y   T 
c x
F x r    2    2 r 
     
   T 
 y K  c K x r 
W tabeli 2 podane są wartości funkcji celu dla kolejnych punktów wierzchołkowych
ze zbioru decyzji dopuszczalnych w przestrzeni kryteriów, tj. dla „odpowiedników” z
przestrzeni decyzji.
Tabela 2. Wartości funkcji celu dla punktów wierzchołkowych ze zbioru decyzji
dopuszczalnych w przestrzeni kryteriów w przykładzie 2.
wartości w wierzchołkach
funkcje celu
y1 (zysk)
y2 (paliwa)
A’
B’
C’
D’
27200
6400
40000
7200
42400
10640
16000
10400
Przestrzeń kryteriów
11000
10500
C'
D'
10000
paliwa
9500
9000
8500
8000
7500
B'
7000
6500
6000
10000
A'
20000
30000
40000
50000
zysk
Rys. 2. Ilustracja zbioru rozwiązań dopuszczalnych w przestrzeni kryteriów zadania WPL
w przykładzie 2
Dorota Miszczyńska, Marek Miszczyński, KBO UŁ - Wielokryteriowa optymalizacja liniowa (WPL)
[6]
Nierozerwalnym pojęciem związanym z WPL jest pojęcie rozwiązania idealnego.
Rozwiązanie idealne w przestrzeni kryterialnej jest to punkt (I),
którego współrzędne odpowiadają maksymalnym wartościom funkcji celu.
 y1   max c1T x r 

y  
T
max
c
x
2 r
FI   2   

   


  
T
y
max
c
x

 K 
K r

Rozwiązanie takie najczęściej nie należy do zbioru rozwiązań dopuszczalnych w
przestrzeni kryteriów.
W przykładzie 2 rozwiązanie idealne ilustruje rysunek 3.
Przestrzeń kryteriów
11000
Idealne
10500
C'
D'
10000
9500
paliwa
9000
8500
8000
7500
7000
B'
6500
A'
6000
10000
20000
30000
40000
50000
zysk
Rys. 3. Ilustracja rozwiązania idealnego w przestrzeni kryteriów zadania WPL
w przykładzie 2
Rozwiązanie idealne należy tutaj do zbioru rozwiązań dopuszczalnych w przestrzeni
kryteriów. Jest to punkt C’, którego obrazem w przestrzeni decyzji jest punkt C. Punkt C,
wskazuje na decyzję optymalną: proces P1 – 32 godziny, proces P2 – 72 godz. Optymalne
wartości fukcji celu wynoszą: zysk – 42000 $, paliwa – 10640 galonów.
Dorota Miszczyńska, Marek Miszczyński, KBO UŁ - Wielokryteriowa optymalizacja liniowa (WPL)
[7]
PRZYKŁAD 3 (2-kryterialne WPL – wariant nietrywialny)
Dla sytuacji decyzyjnej opisanej w przykładzie 1 szef produkcji poszukuje takiej
kombinacji procesów P1 i P2 (tzn. chce ustalić na ile godzin uruchomić proces P1, a na ile
P2), aby osiągnąć:
 maksymalny zysk oraz
 minimalny koszt.
Zadanie WPL ma tutaj postać:
z1  200 x1

500 x2

max
( zysk )
z 2  800 x1
 1200 x2

min
(koszty)
100 x1

50 x2
 4000
( paliwo X )
30 x1

40 x2
 2400
( paliwo Y )
x1

4 x2

320
(ropa A)
3x1

2 x2

240
(ropa B)
x1  0
,
x2  0
Po unifikacji kierunku poszukiwań w WPL (maksymalizacja) zadanie ma ostateczną postać:
z1 
200 x1
z '2   800 x1

500 x2

max
( zysk )
 1200 x2

max
(koszty)
100 x1

50 x2
 4000
( paliwo X )
30 x1

40 x2
 2400
( paliwo Y )
x1

4 x2

320
(ropa A)
3x1

2 x2

240
(ropa B)
x1  0
,
x2  0
Zbiór rozwiązań dopuszczalnych w przestrzeni decyzji pozostaje w tym przykładzie
bez zmian (por. przykład 2).
Zmiany w zbiorze funkcji kryterialnych prowadzą jednak do zmiany zbioru rozwiązań
dopuszczalnych w przestrzeni kryteriów. W tabeli 3 pokazano współrzędne punktów
wierzchochłkowych tego zbioru.
Tabela 3. Wartości funkcji celu dla punktów wierzchołkowych zbioru decyzji
dopuszczalnych w przestrzeni decyzji w przykładzie 3.
wartości w wierzchołkach
funkcje celu
z1 (zysk)
z’2 (− koszty)
A’
B’
C’
D’
27200
-70400
40000
-96000
42400
-112000
16000
-64000
Dorota Miszczyńska, Marek Miszczyński, KBO UŁ - Wielokryteriowa optymalizacja liniowa (WPL)
[8]
Na rysunku 4 pokazano zbiór rozwiązań dopuszczalnych w przestrzeni kryteriów dla
przykładu 3 oraz zaznaczono położenie rozwiązania idealnego.
Jak widać, rozwiązanie idealne nie należy do zbioru rozwiązań dopuszczalnych w
przestrzeni kryteriów. W takim przypadku nie jesteśmy w stanie wskazać jednoznacznie
rozwiązania najlepszego (optymalnego w sensie WPL) dla problemu z przykładu 3.
Przestrzeń kryteriów
-55000
10000
-65000
20000
30000
40000
50000
D'
Idealne
A'
- koszty
-75000
-85000
-95000
B'
-105000
C'
-115000
zysk
Rys. 4. Ilustracja zbioru rozwiązań dopuszczalnych oraz rozwiązania idealnego
w przestrzeni kryteriów zadania WPL w przykładzie 3
Stożki rozwiązań dominujących i zdominowanych
Zaznaczmy w przestrzeni kryteriów dowolny punkt Y. Punkt taki podzieli przestrzeń
na cztery obszary (stożki). Będą to w sensie WPL następujące stożki:
 stożek punktów (rozwiązań) dominujących punkt Y,
 stożek punktów (rozwiązań) zdominowanych przez punkt Y oraz
 dwa stożki punktów (rozwiązań) nieporównywalnych z punktem Y.
Ilustrację takich stożków pokazano na rysunku 5.
Dorota Miszczyńska, Marek Miszczyński, KBO UŁ - Wielokryteriowa optymalizacja liniowa (WPL)
[9]
y2
Stożek rozwiązań
nieporównywalnych
zY
Stożek rozwiązań
dominujących Y
Y
Stożek rozwiązań
zdominowanych
przez Y
Stożek rozwiązań
nieporównywalnych
zY
y1
Rys. 5. Ilustracja stożków rozwiązań WPL w przestrzeni kryteriów (R2).
Rozwiązanie niezdominowane w przestrzeni kryteriów
i rozwiązania sprawne w przestrzeni decyzji
Z punktów wyróżnionych na rysunku 5 rozwiązaniem niezdominowanym w przestrzeni
kryteriów przez punkt Y będzie on sam (czyli punkt Y).
Twierdzenie 2. W zadaniach WPL rozwiązania niezdominowane zawierają się
na brzegu zbioru rozwiązań dopuszczalnych w przestrzeni kryteriów.
Żaden punkt wewnętrzny tego zbioru nie może być punktem niezdominowanym.
Def. Rozwiązania w przestrzeni decyzyjnej, odpowiadające rozwiązaniom
niezdominowanym z przestrzeni kryteriów, nazywamy rozwiązaniami
sprawnymi. Są to rozwiązania optymalne WPL w sensie Pareto (rozwiązania
Pareto-optymalne).
W przykładzie 3 zbiór rozwiązań niezdominowanych w przestrzeni kryteriów
pokazano na rysunku 6 (pogrubione krawędzie).
Zbiorem tym są wszystkie punkty leżące na łamanej D' A', A' B', B' C' .
Niezdominowanymi punktami wierzchołkowymi zbioru rozwiązań dopuszczalnych w
przestrzeni kryteriów są wierzchołki D' , A' , B' oraz C' .
Wierzchołkowymi rozwiązaniami sprawnymi są ich odpowiedniki w przestrzeni
decyzji, tj. wierzchołki D, A , B oraz C (rozwiązania wierzchołkowe Pareto-optymalne).
Na rysunku 7 pokazano w przestrzeni decyzji zbiór rozwiązań sprawnych dla przykładu 3
(pogrubione krawędzie). Zbiorem tym są wszystkie punkty leżące na łamanej DA, AB, BC .
Dorota Miszczyńska, Marek Miszczyński, KBO UŁ - Wielokryteriowa optymalizacja liniowa (WPL)
Rys. 6. Ilustracja zbioru rozwiązań niezdominowanych w przestrzeni kryteriów
zadania WPL w przykładzie 3
Rys. 7. Ilustracja zbioru rozwiązań sprawnych w przestrzeni decyzji
zadania WPL w przykładzie 3 (rozwiązania Pareto-optymalne).
[10]
Dorota Miszczyńska, Marek Miszczyński, KBO UŁ - Wielokryteriowa optymalizacja liniowa (WPL)
[11]
Rozwiązanie optymalne zadania WPL
1. Jeżeli rozwiązanie idealne w przestrzeni kryteriów jest rozwiązaniem dopuszczalnym,
to zadanie WPL posiada rozwiązanie optymalne i jest nim obraz (wierzchołek) tego
rozwiązania w przestrzeni decyzji.
2. Jeżeli rozwiązanie idealne w przestrzeni kryteriów nie jest rozwiązaniem
dopuszczalnym, to zadanie WPL nie posiada jednoznacznego rozwiązania
optymalnego.
Rozwiązaniem optymalnym WPL będzie wówczas dowolne rozwiązanie sprawne,
które będzie rozwiązaniem kompromisowo-optymalnym.
Wybrane metody generowania rozwiązań sprawnych
(skalaryzacja WPL)
Rozwiązanie sprawne zadania WPL możemy otrzymać między innymi poprzez:
 „ściągnięcie” punktu idealnego do zbioru rozwiązań dopuszczalnych w przestrzeni
kryteriów,
 użycie dowolnej z K funkcji celu (rozwiązanie zadania jednokryterialnego),
 „ważenie” wszystkich funkcji celu,
 ustalenie dla K-1 kryteriów satysfakcjonujących poziomów,
 hierarchizację kryteriów,
 wykorzystanie podejścia optymalizacji celowej,
 wykorzystanie metody interaktywnej,
 itp.