WPM-5 - Piotr Rzonsowski

Warsztat pracy matematyka
Autor : Dorota Blinkiewicz
Zatwierdził : Piotr Rzonsowski
Zadanie 1. Wyznacz A ∪ B, A ∩ B, A \ B oraz B \ A dla następujących przedziałów:
A = [−2 ; 2],
B = (−1 ; 2).
Rozwiązanie: Zacznijmy od narysowania tych przedziałów na osi liczbowej.
Rysunek 1. Przedziały A oraz B.
Sprawdźmy jakie nierówności spełniają liczby będące końcami przedziałów A oraz B:
−2
lewy koniec A
<
−1
lewy koniec B
<
2
prawy koniec B
=
2
prawy koniec A
(1)
Zauważmy, że prawe końce przedziału A oraz B są liczbami równymi, jednak 2 ∈ A, ale 2 < B.
Widzimy także, że lewy koniec przedziału A jest mniejszy niż lewy koniec przedziału B, zatem
przedział B zawiera się w przedziale A, co zapisujemy:
B ⊂ A.
(2)
Sumą zbioru A oraz B jest zbiór tych elementów, które należą do A lub należą do B. Ponadto
żadne inne elementy w A ∪ B nie występują. przypomnijmy więc definicję formalną:
A ∪ B = {x : x ∈ A ∨ x ∈ B}.
A to oznacza, że suma tych przedziałów jest przedziałem A, gdyż z (2) wiemy, że każdy element,
który znajduje się w przedziale B znajduje się również w przedziale A. Zatem:
A ∪ B = A = [−2 ; 2] ∪ (−1 ; 2) = [−2 ; 2].
Można oczywiście odczytać sumę przedziałów A i B z rysunku 1 — sumą jest ten zbiór, który
obejmuje oba kolory, tzn. żółty i zielony — rysunek 2.
Rysunek 2. Suma przedziałów A oraz B, A ∪ B = [−2 ; 2]
Teraz zajmiemy się wyznaczeniem przekroju zbiorów A i B. Zapiszemy dla przypomnienia
formalną definicję:
A ∩ B = {x : x ∈ A ∧ x ∈ B}.
Osoby które przyczyniły się do powstania powyższych materiałów: Piotr Rzonsowski, Dorota Blinkiewicz, Izabela Bondecka-Krzykowska, Marcin Borkowski.
1
Czyli do przekroju zbiorów A ∩ B należą te elementy, które równocześnie należą do przedziału
A i do przedziału B i żadne inne. Korzystając z (2) wiemy, że częścią wspólną tychże przedziałów
jest zbiór B, gdyż zbiór B jest zawarty w zbiorze A, więc wszystkie elementu ze zbioru B należą
do zbioru A, zatem B ⊂ A ∩ B, ale żadne inne elementy nie mogą należeć do przekroju, bo nie
należą do zbioru B, więc rzeczywiście:
A ∩ B = B = (−1 ; 2).
Korzystając z rysunku 1, przekrojem jest ten przedział, który pomalowany jest kolorem żółtym
i zielonym jednocześnie — rysunek 3.
Rysunek 3. Iloczyn przedziałów A oraz B, A ∩ B = (−1 ; 2)
Teraz zajmiemy się jedną z różnic. Prostsza wydaje się być do obliczenia różnica B \ A. Nim
jednak przystąpimy do obliczeń — przypomnijmy definicję:
B \ A = {x : x ∈ B ∧ x < A}.
Są to zatem tylko te elementy, które należą do zbioru B a nie należą do zbioru A. Jednak pamiętamy, że przedział B jest zawarty w A (2), więc jeśli usuniemy ze zbioru B wszystkie elementy
zbioru A — nic nam nie zostanie, zatem otrzymamy zbiór pusty. Jeśli chcielibyśmy tę różnicę
odczytać z rysunku 1, to szukamy takiego przedziału, który byłby pokryty tylko kolorem zielonym (tzn. kolorem odpowiadającym zbiorowi B, nie mylimy tego koloru z żółto-zielonym).
Widzimy, że takiego przedziału na naszym rysunku w ogóle nie ma. Zatem:
B \ A = ∅.
Została nam już tylko do policzenia różnica zbiorów A \ B. Stale mamy na uwadze, że zbiór
B jest zawarty w zbiorze A (2), więc musimy przedział B „wyciąć” z przedziału A. Widzimy, że
cały początek przedziału A pozostaje bez zmian aż do −1. Zauważmy, że do przedziału B należą
wszystkie liczby większe od −1 ale mniejsze od dwójki, ale −1 oraz 2 do zbioru B nie należą.
Zatem −1 będzie należało do różnicy przedziałów A \ B. Następnie pozostaje „luka” po zbiorze
B i korzystając z powyżej zapisanej informacji, że każdy element większy od −1 i mniejszy od
dwójki należy do zbioru B mamy, że do tej różnicy należy także dwójka, gdyż 2 ∈ A i jak już
wcześniej zapisaliśmy 2 < B. Mamy więc:
A \ B = [−2 ; 2] \ (−1 ; 2) = [−2 ; −1] ∪ {2}.
Żeby rozwiązać powyższy problem korzystając z rysunku 1, poszukujemy takich fragmentów,
które są pokryte tylko kolorem żółtym — rysunek 4.
Osoby które przyczyniły się do powstania powyższych materiałów: Piotr Rzonsowski, Dorota Blinkiewicz, Izabela Bondecka-Krzykowska, Marcin Borkowski.
2
Rysunek 4. Różnica przedziałów A oraz B, A \ B = [−2 ; −1] ∪ {2}
Osoby które przyczyniły się do powstania powyższych materiałów: Piotr Rzonsowski, Dorota Blinkiewicz, Izabela Bondecka-Krzykowska, Marcin Borkowski.
3