e x exD x L txpe x exD txJ xD x xD x xL L xD DxD D txJ x txpL t txp

Funkcje i wartości własne operatora Fokkera-Plancka
Rozpatrujemy jednowymiarowe równanie Fokkera – Plancka
∂p ( x, t )
∂
= LFP p ( x, t ) = − J ( x, t )
∂t
∂x
operator Fokkera – Plancka
2
∂
∂
D (1) = D (1) ( x ), D (2 ) = D (2 ) ( x ) ⇒ LFP = LFP ( x ) = − D (1) ( x ) + 2 D (2 ) ( x )
∂x
∂x
∂ Φ(x )
∂
∂
J ( x, t ) = − D (2 ) ( x )e −Φ ( x )
e p ( x, t ) ⇒ LFP = D (2 ) ( x )e −Φ ( x ) e Φ ( x )
∂x
∂x
∂x
[
]
D (1) ( x′)
gdzie potencjał Φ ( x ) ≡ ln D ( x ) − ∫ ( 2 )
dx ′
D ( x′ )
0
(2 )
x
Poszukujemy funkcji i wartości własnych operatora Fokkera – Plancka
LFP ( x ) pn ( x ) = −λn pn ( x )
Zwykle LFP ≠ L+ FP ⇒ operator Fokkera-Plancka w ogólności nie jest hermitowski
~
L (x ) ≡ e Φ ( x ) LFP (x ) jest operatorem hermitowskim
~
Φ ∂
( 2 ) −Φ ∂ Φ
D. ∫ P1 (x, t )L (x )P2 (x, t )dx = ∫ P1e
D e
e P2 dx =
∂
∂
x
x
a
a
b
Φ
b
(2 )
P1e D e
b
−Φ
∂ Φ
∂
∂

e P2 − ∫  P1e Φ  D (2 )e −Φ e Φ P2 dx =
∂x
∂x
∂x

a
a
b
dla warunków
brzegowych typu bariery
pochłaniającej lub
absorbującej


0
(
)
(
)
1
0
=
=
P
a
P
b
1
1
b




(2 ) −Φ ∂ Φ
Φ
⇒ P1e D e
=
∨
e P2 = 0 =
∂x
a
2 0 J (a ) = − D (2 ) (a )e −Φ (a ) ∂ e Φ (a ) P (a ) = 0, J (b ) = 0

2
2
2


∂x
[
]
∂
∂

= − ∫  P1e Φ  D (2 )e −Φ e Φ P2 dx =
∂x
∂x

a
b
0

1
P1 (a ) = P1 (b ) = 0 
b
 ∂ (2 ) −Φ  ∂


Φ Φ
Φ  Φ
(2 ) −Φ  ∂
= D e  P1e e P2 + ∫  D e  P1e  e P2 dx = 
∨
=
x
x
x
∂
∂
∂




a 
a
20 J (a ) = J (b ) = 0
1
 1

b
( )
∂ ( 2 ) −Φ ∂ Φ
~
~
~
D e
e P1dx = ∫ P2 e Φ LFP P1dx = ∫ e Φ LFP P1 P2 dx = ∫ L P1 P2 dx ⇒ L+ = L
= ∫ P2 e
∂x
∂x
a
a
a
a
b
b
Φ
b
(
)
b
L≡e
−
Φ
2
Φ
Φ
Φ
−
~ −2
2
L e = e LFP e 2
jest równieŜ operatorem hermitowskim
+
 − Φ2 ~ − Φ2   − Φ2 
+
D. L =  e L e  =  e 

 

+
+
Φ
Φ
Φ
Φ
− ~ −
− ~ −
 − Φ2 ~ 
+
e L  = e 2 L e 2 = e 2 Le 2 = L




Związek pomiędzy wartościami i funkcjami własnymi L i LFP
Lψ n (x ) = −λnψ n (x ) ⋅ e
−
−
Φ
2
 − Φ2 
 − Φ2 
⇒ e e LFP e ψ n = −λn e ψ n ⇒ LFP  e ψ n  = −λn  e ψ n 




−
Φ
2
Φ
2
−
Φ
2
−
Φ
2
Φ
2
⇒ pn ≡ e ψ n są funkcjami własnymi LFP
LFP pn = −λn pn
L jest hermitowski, więc jego funkcje własne tworzą układ ortogonalny
δ n ,m = ∫ψ n+ψ m dx = ∫ (e Φ 2 pn ) (e Φ 2 pm )dx = ∫ pn+ (e Φ 2 ) e Φ 2 pm dx = ∫ pn+ e Φ 2 e Φ 2 pm dx =
+
= ∫ e Φ pn+ pm dx = ∫ [ ps (x )] pn+ pm dx
+
−1
odwrotność stacjonarnej
gęstości prawdopodobieństwa (z dokł. do stałej)
Wniosek: funkcje własne operatora niehermitowskiego LFP tworzą układ ortogonalny z
wagą równą odwrotności stacjonarnej gęstości prawdopodobieństwa.
PoniewaŜ LFP w ogólności nie jest hermitowski, potrzebujemy oddzielnego układu funkcji
własnych operatora L+FP.
Lψ n = −λnψ n ⇒ L+ψ n+ = −λ+nψ n+ = −λnψ n+ , λn ∈ ℜ
(
L = e Φ 2 LFP e −Φ 2 ⇒ L+ = e Φ 2 LFP e −Φ 2
L+ψ n+ = −λnψ n+
)
+
⋅ eΦ 2
= e −Φ 2 L+FP e Φ 2
(
)
(
⇒ e Φ 2 e −Φ 2 L+FP e Φ 2ψ n+ = −λn e Φ 2ψ n+ ⇒ L+FP e Φ 2ψ n+ = −λn e Φ 2ψ n+
)
⇒ L+FP qn = −λn qn , qn ≡ e Φ 2ψ n+ są funkcjami własnymi L+FP
Korzystając z ortogonalności funkcji falowych, otrzymujemy
δ n ,m = ∫ψ n+ψ m dx = ∫ (e −Φ 2 qn ) (e −Φ 2 qm )dx = ∫ e −Φ qn+ qm dx = ∫ ps ( x )qn+ qm dx
+
Funkcje własne L+FP są ortogonalne z wagą równą stacjonarnej gęstości
prawdopodobieństwa
(
−Φ 2
−Φ 2 −Φ 2
e qn
Wniosek pn ≡ e ψ n = e
∫
)
+
∫
= e −Φ qn+ = ps qn+
∫
+
−Φ 2
qn e Φ 2 pm dx = qn pm dx
Wniosek δ n ,m = ψ nψ m dx = e
⇒ qn , pm tworzą układ biortogonalny
Wartości własne operatora L są nieujemne
b
D.
Φ
2
b
Φ
2
−
Φ
2
Φ
2
b
b
a
a
2
=
=
ψ
ψ
=
−
λ
ψ
p
e
L
p
dx
p
e
e
L
e
e
p
dx
L
dx
FP
n
n ∫ n dx = −λn
∫ n FP n ∫ n
∫ n n
Φ
a
a
∂ (2 ) −Φ ∂ Φ
∂
Φ  (2 ) −Φ ∂
Φ
=
=
−
p
e
L
p
dx
p
e
D
e
e
p
dx
p
e
D
e
e
pn dx =


n
n
∫a n FP n ∫a n ∂x
∫
∂x
∂x
∂x

a
b
b
b
Φ
Φ
2
∂
 (2 ) −Φ
= − ∫  pn e Φ  {{
D e dx ≤ 0 ⇒ λn ≥ 0
∂
x
 ≥0 ≥0
a
b
∂p
= LFP p
∂t
Rozwiązania równania Fokkera-Plancka
moŜna poszukiwać w postaci p ( x, t ) = p ( x )e
− λt
⇒ LFP p = −λp
Wniosek: dowolne rozwiązanie równania Fokkera-Plancka moŜna rozłoŜyć w bazie
funkcji własnych
p (x, t ) = ∑ An pn ( x )e − λnt ⇒ p (x,0 ) = ∑ An pn ( x )
n
n
⇒ ∫ qm ( x ) p (x,0 )dx = ∑ An ∫ qm ( x ) pn ( x )dx = ∑ Anδ mn = Am
n
n
Np. prawdopodobieństwo przejścia uzyskujemy, przyjmując warunek początkowy
p(x,0 x0 ,0) = δ (x − x0 ) ⇒ Am = ∫ qm ( x )δ (x − x0 )dx = qm (x0 )
⇒ p(x, t x0 ,0) = ∑ qn (x0 ) pn (x )e −λnt
n
Rozwiązanie stacjonarne
λ0 = 0, λn > 0, n = 1,2,3K ⇒ p(x, t ) = ∑ An pn ( x )e − λ t → q0 (x0 ) p0 ( x )
n
t →∞
n
∫ p(x, t )dx = 1 ⇒ q (x )∫ p (x )dx = 1 ⇒ q (x ) = 1 ⇒ q (x ) ≡ 1
0
⇒ ps (x ) = p0 (x )
0
0
0
0
0
∂ (2 )
∂
D ( x )e −Φ ( x ) e Φ ( x ) , Jawna postać operatora L
∂x
∂x
∂
∂
L = e Φ 2 LFP e −Φ 2 = e Φ 2
D (2 ) e −Φ 2 D (2 ) e −Φ 2 e Φ 2 = −aˆa,
∂x
∂x
∂
∂
a ≡ D (2 ) e −Φ 2 e Φ 2 , aˆ ≡ −e Φ 2
D (2 ) e −Φ 2
∂x
∂x
LFP =
Dla dowolnej funkcji f
x

1
D (1) (x′) 
∂ Φ2
(2 ) ∂Φ
(2 ) ∂f
(2 )
af = D e
e f =
D
f+ D
dx′ =
= Φ = ln D − ∫ (2 )
2
D ( x′) 
∂x
∂x
∂x 
0
(2 )
1
1  ∂D (2 )
D (1) 
( 2 )  1 ∂D
(2 ) ∂f
(2 ) ∂f
(1) 
D
D  (2 )
= D
+
−
=
− (2 )  f + D

(2 )  ∂x
2
D
x
D
x
x
∂
∂
∂
2 D 



 ∂D (2 ) (x )

1
(2 ) ∂
(1)
⇒a= D
+
− D (x ),

∂x 2 D (2 ) ( x )  ∂x

(2 )
−Φ 2
 ∂D (2 ) (x )

∂
1
(2 )
(1)
(
)
−
aˆ = −
D +
D
x


(2 )
∂x
∂
x
(
)
2 D x 

(2 )
∂ (2 ) ∂
1  dD
1 dD (1) 1 d 2 D (2 )
(1) 
⇒L= D
− V (x ), V (x ) =
− D  +
−
(2 ) 

∂x
∂x
4 D  dx
2 dx 2
 2 dx
2
Dowolne równanie Fokkera-Plancka moŜna przez odpowiednią zamianę zmiennych
sprowadzić do postaci z D(2) =D=const, wówczas
1
f (x )
(1)
′
′
D = const ⇒ Φ = ln D − ∫ D (x )dx ≡
D0
D
x
(1)
1 (1)
dΦ
f ′( x )
dD
= − D (x ) =
⇒ D (1) ( x ) = − f ′( x ),
= − f ′′( x )
dx
D
D
dx
1
∂
∂
f ′( x )
a = De − f 2 D e f 2 D = D +
∂x
∂x 2 D
1
∂
∂
+
f ′( x )
aˆ ≡ − D e f 2 D e − f 2 D = − D
∂x
∂x 2 D
(1)
∂2
1
1
(1) 2 1 dD
( f ′(x ))2 − 1 f ′′(x )
L = D 2 − V ( x ), V ( x ) =
D
+
=
∂x
4D
2 dx
4D
2
( )
Równanie Fokkera-Plancka z D(2) =D=const jest równowaŜne równaniu Schrödingera
∂p
= LFP p ⋅ e Φ 2
∂t
∂e Φ 2 p
= e Φ 2 LFP e −Φ 2 e Φ 2 p = Le Φ 2 p
∂t
∂~
∂2
p
Φ 2
~
~
= Lp , L = D 2 − V ( x )
p≡e p⇒
∂t
∂x
W równaniu Schrödingera
∂ψ
h2
= Hψ , H = −
+ Vs ( x )
∂t
2m
dokonajmy transformacji zmiennych
h2
t = iht ′, m =
2D
która prowadzi do przetransformowanego równania Fokkera-Plancka z Vs(x)=V(x)

∂ψ  ∂ 2
= D
− Vs ( x )ψ
∂t ′  ∂x 2

Podobnie równowaŜne są niezaleŜne od czasu równania Schrödingera i FokkeraPlancka
Funkcje własne dla procesu Wienera
Bariera odbijająca
MoŜna przyjąć
∂p
∂2 p
∂p
(0, t ) = ∂p (1, t ) = 0
=D 2 ,
∂t
∂x
∂x
∂x
Φ = ln D → Φ = 0 (dowolną stałą moŜna włączyć do stałej normującej)
∂ 2 pn
= − λn p n
Zagadnienie własne L = LFP ⇒ ψ n = pn ⇒ D
∂x 2
n = 0 ⇒ λ0 = 0, p0 (x ) = 1, q0 (x ) = 1
Wartości i funkcje
własne
pn ( x ) = 2 cos(nπx ), qn (x ) = 2 cos(nπx )
n ≥ 1 ⇒ λn = Dn 2π 2 ,
1
Normowanie
∫ p (x )q (x )dx = δ ,
p (x , t x , t ) = δ ( x − x )
n
m
m ,n
n, m = 0,1,2 K
0
Warunek pocz.
0
0
0
∞
Rozwiązanie
p (x, t x0 , t0 ) = 1 + ∑ 2 cos(nπx0 ) cos(nπx ) exp(− λnt ) → ps (x ) = 1
t →∞
n =1
Stacjonarna
funkcja
autokorelacji
1
1
0
0
x(t )x(0 ) s = ∫ dx ∫ dx0 xx0 p (x, t x0 , t0 ) ps ( x ) =
1 8
= + 4
4 π
∞
1
−4
(
)
(
)
n
t
+
−
→
λ
2
1
exp
∑
2 n +1
t →∞
n =0
4
Funkcje własne dla procesu Ornsteina-Uhlenbecka
∂p
∂
∂2 p
(xp ) + D 2 ⇒ D (1) = −γx, D (2 ) = D
=γ
∂t
∂x
∂x
x
γ 2
γ 2 f (x )
γ
1
x →Φ=
x =
Φ = ln D + ∫ γx′dx′ = ln D +
⇒ f (x ) = x 2
D0
D
2D
2D
2
γx
γx
∂
∂
a= D +
, aˆ = − D +
∂x 2 D
∂x 2 D
Wprowadźmy nowe operatory i zmienne
b≡
a
b=
a
γ
γ
⇒ a = γ b, b + ≡
=
ξ≡
aˆ
γ
⇒ aˆ = γ b +
D ∂ 1 γ
γ 
1  2D ∂

x=
x
+
+

γ ∂x 2 D
2D 
2  γ ∂x
γ
2D
x⇒b=


1  ∂
1  ∂
 −

+ ξ 
+ ξ , b + =
2  ∂ξ
2  ∂ξ


L = −aˆa = −γb + b
⇒ Lpn = −λnψ n ⇔ γb + bψ n = λnψ n
zagadnienie własne
Zagadnienie własne
przypomina zagadnienie własne
γb + b = λnψ n
(
)
HΨn = hω a + a + 12 Ψn = EΨn
(oscylator harmoniczny)
⇒ λn = γn, n = 0,1,2, K
γ
ψ n (x ) =
2πD
1
4
n
2 n!
H n (ξ )e
−ξ 2 2
, ξ≡
γ
2D
x
∞
Normowanie
+
(
)
x
ψ
ψ
∫ n m (x )dx = δ m,n
−∞
Funkcje własne operatora Fokkera – Plancka przyjmują więc postać
Φ(x ) =
γ
2D
x2 ,
pn ( x ) = e −Φ ( x ) 2ψ n ( x )
γ
⇒ pn ( x ) = 4
2πD
 γ 
 γ 2
H n 
x  exp −
x 
n
 2D 
2 n!  2 D 
1
wielomiany Hermitte’a