lista 3 (przyg.) - Uniwersyteckie Koło Matematyczne

Wydział Matematyki i Informatyki UMK w Toruniu
Uniwersyteckie Koło Matematyczne dla uczniów szkół średnich
Lista zadań przygotowawczych na spotkanie w dniu 18.10.2008.
Niezmienniki
1. Na tablicy wypisane są kolejno liczby naturalne od 1 aż do 2010. W jednej ’operacji’ wybieramy dwie z tych liczb i do jednej z nich dodajemy 1, a od drugiej
odejmujemy 1. Czy po skończonej liczbie takich operacji możemy doprowadzić do sytuacji, w której wszystkie liczby na tablicy są równe?
2. Na tablicy napisano 2008 znaków + i 2008 znaków −. W każdym ruchu ścieramy dowolne dwa z nich i piszemy plus jeśli starte znaki były jednakowe, a
minus gdy różne. Po skończonej ilości takich kroków na tablicy zostanie tylko
jeden znak. Jaki to będzie znak?
3. Do pudełka włożono kolorowe kulki: 17 czerwonych, 15 zielonych i 13 żółtych.
W każdym ruchu wyjmujemy z pudełka dwie kulki różnych kolorów i wkładamy dwie kulki trzeciego koloru. Czy możemy robić to tak, żeby na końcu
zostały kulki tego samego koloru?
4. Smok ma 2000 głów. Rycerz może zadawać cztery rodzaje cięć mieczem: przy
pierwszym rodzaju rycerz ścina smokowi 33 głowy, ale 48 nowych odrasta,
przy drugim rodzaju rycerz ścina 21 głów i żadna nie odrasta, przy trzecim
rycerz ścina 17 głów, a odrasta 14, a przy czwartym rycerz ścina jedną głowę,
na miejscu której odrasta aż 349 nowych. Smok zostanie zabity, gdy wszystkie
głowy zostaną ścięte tak, aby żadna nie odrosła. Czy rycerz może zabić smoka?