Rachunek zdań

1
Elementy logiki, klasyczny rachunek zda«
1. Okre±l warto±¢ logiczn¡ poni»szych zda« dla wszystkich mo»liwych warto±ciowa« zmiennych zdaniowych.
(a)
∼p ⇒ p ;
(p ⇔ q) ∨ p ;
(b)
(p ∨ ∼ q) ∧ p ;
(c)
(d)
∼ (p ∨ ∼ q) ⇒ r .
2. Okre±l warto±¢ logiczn¡ zda«:
(a) Je±li 2 + 2 = 4, to 2 + 4 = 8.
(b) Je±li 2 + 2 = 4, to 2 + 4 = 6.
(c) Je±li 2 + 2 = 5, to 2 + 4 = 8.
(d) Je±li 2 + 2 = 5, to 2 + 4 = 6.
3. Zaªó»my, ze kto± stwierdza: Kocham Barbar¦ lub Joann¦ oraz Je±li kocham Barbar¦, to
kocham Joann¦. Czy wynika z tego, ze kocha Joann¦?
4. Zaªó»my, ze kto± zapytany, czy z tego, ze kocha Barbar¦ wynika, ze kocha Joann¦, odpowiada:
Je±li to prawda, to kocham Barbar¦. Czy wynika z tego, ze kocha Barbar¦? Czy wynika
z tego, ze kocha Joann¦?
5. Co mo»na wywnioskowa¢ z nast¦puj¡cych zda«:
(a) Adam zna co najmniej jeden spo±ród j¦zyków: angielski, niemiecki i rosyjski.
(b) Je±li zna angielski, lecz nie zna niemieckiego, to zna rosyjski.
(c) Zna jednocze±nie niemiecki i rosyjski albo nie zna »adnego z nich.
(d) Je±li zna niemiecki, to zna równie» angielski.
6. Wyka», »e poni»sze zdania s¡ tautologiami.
(a)
p ∨ ∼p ;
(d)
(g)
(p ∧ q) ⇒ p ;
(e)
p ⇒ (p ∨ q) ;
∼ (p ∨ q) ⇔ (∼ p ∧ ∼ q) ;
(h)
[(p ⇒ q) ∧ (q ⇒ r)] ⇒ (p ⇒ r) ;
∼ (p ∧ q) ⇔ (∼ p ∨ ∼ q) ;
(i)
[p ∧ (q ∨ r)] ⇔ [(p ∧ q) ∨ (p ∧ r)] ;
(j)
[p ∨ (q ∧ r)] ⇔ [(p ∨ q) ∧ (p ∨ r)] .
(b)
∼ (p ∧ ∼ p) ;
(∼ p ⇒ 0) ⇒ p ;
(c)
(f )
7. Zbadaj metod¡ nie wprost, czy poni»sze zdania s¡ tautologiami.
(a)
((p ∨ q)∧ ∼ p) ⇒ q ;
(b)
∼ (p ∧ q) ⇒ p ;
(c)
p ⇒ (∼ p ∨ q) ;
(d)
((p ∨ q) ∧ (p ⇒ q)) ⇒ (r ⇒ q) ;
(e)
∼ ((p ⇒ q) ∧ (q∧ ∼ p)) ;
(f )
(p ⇒ q) ⇔ (∼ q ⇒∼ p) .
8. Znajd¹ zdania, w których wyst¦puj¡ tylko operatory
∼ i ∨,
logicznie równowa»ne nast¦pu-
j¡cym:
(a)
p ⇒ q;
(b)
p∧q;
(c)
p ⇔ q;
(d)
(p ∧ q) ⇒ (∼ q ∧ r) .
9. Wykorzystuj¡c znane tautologie (np. z poprzednich zada«) oraz stosuj¡c zasady podstawiania, uzasadnij, »e poni»sze zdania s¡ tautologiami.
(a)
∼ ((a ⇒ (b ∨ c)) ∧ ∼ (a ⇒ (b ∨ c)))
(b)
[(∼ (a ∨ b) ∨ q) ∧ (q ⇒ r)] ⇒ ((a ∨ b) ⇒ r) ;
(c)
[(x ∨ (y ⇔ z)) ∨ ∼ (∼ q∨ ∼ r)] ⇔ ∼ [∼ ((x ∨ (y ⇔ z)) ∨ q)∨ ∼ ((x ∨ (y ⇔ z)) ∨ r)] .
10. Dla jakich warto±ci
n
n
wyra»enie
;
(. . . (((p ⇒ p) ⇒ p) ⇒ p) . . .) ⇒ p,
razy, stanowi prawo rachunku zda«?
w którym
p
wyst¦puje
2
11. Okre±lamy dwuargumentowy operator logiczny
p
0
0
1
1
q p⊕q
0
0
1
1
0
1
1
0
⊕
przy pomocy tabelki:
Wyka», »e:
Operator ten nazywamy
(a)
p ⊕ q ⇔ ∼ (p ⇔ q)
(b)
(p ⊕ (q ⇒ r)) ⇒ ((p ⊕ q) ⇒ (p ⊕ r)) ;
(c)
p ⊕ (q ⊕ r) ⇔ (p ⊕ q) ⊕ r .
;
alternatyw¡ wykluczaj¡c¡ (ozn.
te» XOR).
12. Zdeniuj alternatyw¦ przy pomocy: (a) koniunkcji i negacji; (b) implikacji i negacji.
13. Wyka», »e ka»dy jednoargumentowy operator logiczny mo»na zdeniowa¢ przy pomocy
operatorów
∼ i ∨.
14. Wyka», »e nie mo»na zdeniowa¢ implikacji za pomoc¡ alternatywy i koniunkcji.
15. Okre±lamy dwuargumentowy operator logiczny
p
0
0
1
1
q p|q
0 1
1 1
0 1
1 0
|
przy pomocy tabelki:
Wyka», »e:
Operator ten nazywamy
(a)
p | q ⇔ ∼ (p ∧ q) ;
(b)
∼p ⇔ p | p ;
(c)
p ∨ q ⇔ (p | p) | (q | q) .
dysjunkcj¡
(in.
kresk¡ Sheera, niewspóªzachodzeniem,
ozn. te»
NAND).
16.
(a) Wyka», »e wszystkie zdania logiczne zbudowane z pomoc¡ operatorów
i
⊕
∼, ∨, ∧, ⇒, ⇔
mo»na zapisa¢ u»ywaj¡c wyª¡cznie dysjunkcji.
(b) Znajd¹ inny operator dwuargumentowy o takim charakterze uniwersalno±ci jak dysjunkcja.
17. Uzasadnij nast¦puj¡ce reguªy dowodzenia:
p ⇒ q, p
;
q
p ⇒ ∼p
;
∼p
(a)
(e)
(b)
(f )
p ∨ q, ∼ p
;
q
p
;
p∨q
(c)
(g)
∼ q ⇒∼ p, p
;
q
p∧q
;
p
(d)
(h)
p⇔q
;
p⇒q
p ⇒ q, q ⇒ p
.
p⇔q
18. Wykorzystuj¡c co najwy»ej trzy reguªy dowodzenia, udowodnij nast¦puj¡ce twierdzenie:
Zaªo»enia: (1) Je»eli A lub B, to C.
(2) A i B.
Teza: C.
19. Oto (podany przez Euklidesa) dowód niesko«czono±ci zbioru liczb pierwszych.
Przypu±¢my, »e istnieje tylko sko«czenie wiele liczb pierwszych. Mo»emy je wi¦c wszystkie
kolejno wypisa¢:
p1 = 2 < p2 = 3 < p3 = 5 < p4 = 7 < p5 = 11 < . . . < pn−1 < pn .
Utwórzmy liczb¦
q := p1 · p2 · . . . · pn + 1. Wówczas q > pn > 1
W takim razie q jest pierwsze.
z liczb
p1 , . . . , p n .
Ale ci¡g
p1 < . . . < pn
nie dzieli si¦ przez »adn¡
zawieraª wszystkie liczby pierwsze. Nasze przypuszczenie, ze liczb
pierwszych jest sko«czenie wiele doprowadziªo nas do sprzeczno±ci. Zatem liczb pierwszych
jest niesko«czenie wiele.
(a) Opisz logiczn¡ struktur¦ dowodu.
(b) Stosuj¡c podobne rozumowanie wyka», »e istniej¡ pewne dwie liczby pierwsze, które
maja takich samych sze±¢ ostatnich cyfr rozwini¦cia dziesi¦tnego.