1 Lista 4 (programowanie liniowe) Zadanie 1 Przedsiębiorstwo

Komentarze

Transkrypt

1 Lista 4 (programowanie liniowe) Zadanie 1 Przedsiębiorstwo
badania operacyjne, USM dzienne, sem. zimowy 2008/2009, lista 4
1
Lista 4 (programowanie liniowe)
Zadanie 1 Przedsiębiorstwo produkuje cztery mieszanki A, B, C i D. Mieszanki A i B są
produktami podstawowymi, powstającymi z trzech surowców: S1, S2 i S3. Poniższa tabela
pokazuje, w jaki sposób surowce te mają być wymieszane a także ceny zbytu produktów A
i B. Zakładamy, że firma może sprzedać po podanych cenach tyle wyrobów ile wytworzy.
Produkt
A
B
Specyfikacja
co najmniej 20% S1
co najmniej 40% S2
nie więcej niż 10% S3
co najmniej 10% S1
nie więcej niż 30% S3
Cena jednostkowa
3 $/kg
2.5 $/kg
W celu zagwarantowania terminowych dostaw surowców przedsiębiorstwo zgodziło się
na to, że w rozpatrywanym okresie planowania zakupi pewne, minimalne ilości surowców.
Natomiast fizyczne uwarunkowania urządzeń produkcyjnych ograniczają z góry ilość każdego z surowców jaką można przetworzyć. Oba rodzaje ograniczeń oraz jednostkowe ceny
surowców są podane w poniższej tabeli.
Surowiec
S1
S2
S3
Minimum
2000 kg
3000 kg
4000 kg
Maksimum
6000 kg
5000 kg
7000 kg
Cena jedn.
2.1 $/kg
1.6 $/kg
1.1 $/kg
Z natury procesu produkcji wynika, że tylko pewna część każdego z surowców zużytych
do produkcji produktów A i B wchodzi w skład tych produktów. Reszta (odpady), których
ilość wyraża się każdorazowo poprzez znany współczynnik strat (patrz poniższa tabela),
może być albo zużyta do produkcji wyrobów C i D albo zniszczona na koszt firmy.
S1
S2
S3
A
0.1
0.2
0.4
B
0,2
0.2
0.5
Drugorzędny wyrób C otrzymuje się poprzez zmieszanie dowolnych ilości odpadów z
surowców S1, S2 i S3 otrzymanych przy produkcji wyrobu A z oryginalnym surowcem
S1. Przy czym, oryginalny surowiec S1 musi stanowić (wagowo) dokładnie 20% mieszanki.
Podobnie, drugorzędny produkt D otrzymuje się poprzez wymieszanie dowolnych ilości
odpadów z surowców S1, S2 i S3 otrzymanych przy produkcji wyrobu B z oryginalnym
surowcem S2. Przy czym, oryginalny surowiec S2 musi stanowić (wagowo) dokładnie 30%
mieszanki. Przy produkcji produktów C i D nie powstają żadne odpady. Ceny rynkowe
produktów C i D wynoszą odpowiednio 0.6 $/kg i 0.5 $/kg.
Poniższa tabela zawiera koszty zniszczenia odpadów nie zużytych do produkcji wyrobów C i D. Koszty te są różne w zależności od pochodzenia odpadów.
S1
S2
S3
A
0.1 $/kg
0.1 $/kg
0.2 $/kg
B
0.05 $/kg
0.05 $/kg
0.40 $/kg
badania operacyjne, USM dzienne, sem. zimowy 2008/2009, lista 4
2
Przedsiębiorstwo chce znaleźć odpowiedź na następujące pytania. Ile zakupić surowców
S1, S2 i S3? Jaką część każdego z surowców przeznaczyć na produkcję każdego produktu?
Jaką część odpadów z produkcji A i B zniszczyć a jaką przeznaczyć do produkcji wyrobów
drugorzędnych?
S1C
C
S1A
S2A
S3A
SUROWCE
S1,S2,S3
A
OS1C
OS2C
OS3C
Odpady niezużyte
S1B
S2B
S3B
B
LIKWIDACJA
OS1D
OS2D
OS3D
S2D
D
Zadanie 2 Pan X zarabia na życie kupując i sprzedając kukurydzę. Na dzień 1 stycznia
ma 50 ton kukurydzy i 10000$ gotówki. Pierwszego dnia każdego miesiąca pan X może kupić kukurydzę po następujących cenach za tonę: styczeń 300$, luty 350$, marzec
400$ i kwiecień 300$. W ostatnim dniu każdego miesiąca pan X może sprzedać kukurydzę
po następujących cenach za tonę: styczeń 250$, luty 400$, marzec 350$ i kwiecień 550$.
Pan X przechowuje kukurydzę w magazynie, który może pomieścić co najwyżej 100 ton.
Musi również mieć gotówkę na pokrycie każdego zakupu kukurydzy na początku miesiąca. Skonstruuj i rozwiąż model liniowy maksymalizacji gotówki pana X na koniec kwietnia.
Zadanie 3 W hali fabryki znajdują się 4 maszyny M1 , M2 , M3 , M4 zlokalizowane w punktach o współrzędnych: M1 : (3, 0); M2 : (0, −3); M3 : (−2, 1) i M4 : (1, 4). Należy wyznaczyć miejsce lokalizacji nowej maszyny M , której współrzędne lokalizacji oznaczymy przez
x1 , x2 , w następujących przypadkach:
a) Minimalizuje się sumę odległości nowej maszyny od czterech istniejących maszyn.
Wykorzystać metrykę odległości typu Manhattan np. odległość od punktu (x1 , x2 )
lokalizacji nowej maszyny do punktu (3, 0) lokalizacji maszyny M1 wynosi: |x1 − 3| +
|x2 − 0|.
b) Ponieważ między nową maszyną a maszynami M1 , M2 , M3 , M4 występują przepływy materiałów o zróżnicowanej wielkości, zmodyfikować problem tak, aby zminimalizować sumę ważononych odległości. Za wagi dla maszyn M1 , M2 , M3 , M4 przyjąć
odpowiednio liczby: 5, 7, 3, 1.
c) Załóżmy, że nowa maszyna ma być zlokalizowana w prostokącie
{(x1 , x2 ) : −1 ≤ x1 ≤ 1, −1 ≤ x2 ≤ 1}.
Sformułować model z a), b) oraz tym dodatkowym ograniczeniem.
d) Założyć, że nowa maszyna ma być zlokalizowana tak, aby odległość od pierwszej maszyny nie była większa niż 23 . Sformułuj model przy tym dodatkowym ograniczeniu.