9. Zadanie przydziału pojedynczych pracowników do stanowisk pracy

9. Zadanie przydziału pojedynczych pracowników do stanowisk pracy

P. Kowalik, Laboratorium badań operacyjnych - zadanie pojedynczych przydziału pracowników do stanowisk pracy
1
9. Zadanie przydziału pojedynczych pracowników do stanowisk pracy
NaleĀy przydzielić m pracowników do n stanowisk tak, aby kaĀdy pracownik był przydzielony co najwyĀej
do jednego stanowiska a kaĀde stanowisko było obsadzone przez co najwyĀej jednego pracownika oraz aby
funkcja efektywności osiągnęła swoje maksimum albo minimum (w zaleĀności od znaczenia tej funkcji).
Parametrami modelu są:
• a ij , i=1,...,m; j=1,...,n – miara efektywności (np. liczba wyprodukowanych wyrobów, czas pracy-wykonania
pewnego zadania, liczba wybrakowanych wyrobów) dla i-tego pracownika pracującego na j-tym stanowisku
Zmienne decyzyjne mają następującą interpretację:
• x ij , i=1,...,m; j=1,...,n – pracownik jest przydzielony do stanowiska (1) lub nie (0). Są to zmienne „przełącznikowe”, („logiczne” 1 – prawda, 0 – fałsz), nie mające Āadnej jednostki (wielkości niemianowane). Liczba
zmiennych wynosi zatem m ⋅ n .
„Przydział do stanowisk” moĀe mieć 3 warianty.
1) Jeśli m=n (liczba pracowników = liczba stanowisk), to wtedy kaĀdy pracownik ma przydzielone
dokładnie 1 stanowisko, a kaĀde stanowisko jest odsadzone przez dokładnie 1 pracownika.
2) Jeśli m>n (liczba pracowników > liczba stanowisk), to wtedy kaĀdy pracownik ma przydzielone co
najwyĀej 1 stanowisko (innymi słowy albo ma przydzielone jedno albo nie ma Āadnego; m-n pracowników
nie ma przydzielonych stanowisk) a kaĀde stanowisko jest odsadzone przez dokładnie 1 pracownika.
3) Jeśli m<n (liczba pracowników < liczba stanowisk), to wtedy kaĀdy pracownik ma przydzielone
dokładnie 1 stanowisko a kaĀde stanowisko jest obsadzone przez co najwyĀej 1 pracownika (innymi słowy
albo przez jednego albo przez Āadnego; n-m stanowisk nie jest obsadzonych).
Model matematyczny zadania wygląda następująco:
a11 x11 + a12 x12 + ... + a1n x1n +
a21 x21 + a22 x22 + ... + a2 n x2 n +
... +
funkcja efektywności
am1 xm1 + am 2 xm 2 + ... + amn xmn → min / max
przy ograniczeniach
xij ≥ 0 , i=1,...,m; j=1,...,n (ograniczenia „techniczne”, po dodaniu których zapewniona jest zgodność z modelem zadania transportowego, co z kolei przekłada się na istnienie całkowitoliczbowych, a w tym przypadku
zerojedynkowych rozwiązań optymalnych bez konieczności uĀycia warunków całkowitoliczbowości
zmiennych)
Ad 1) Pracowników jest tyle samo co stanowisk: m = n
kaĀdy pracownik
kaĀde stanowisko
x11 + x12 + ... + x1n = 1
x11 + x21 + ... + xm1 = 1
przydzielony
do
obsadzone przez
x21 + x22 + ... + x2 n = 1
x12 + x22 + ... + xm 2 = 1
dokładnie 1 stanowiska
dokładnie 1 pracownika
...
...
xm1 + xm 2 + ... + xmn = 1
x1n + x2 n + ... + xmn = 1
Ad 2) Pracowników jest więcej niĀ stanowisk: m > n
kaĀdy pracownik
kaĀde stanowisko
x11 + x12 + ... + x1n ≤ 1
x11 + x21 + ... + xm1 = 1
przydzielony tylko do 1
obsadzone przez
x21 + x22 + ... + x2 n ≤ 1
x12 + x22 + ... + xm 2 = 1
stanowiska lub nie jest
dokładnie 1 pracownika
...
przydzielony do Āadnego ...
xm1 + xm 2 + ... + xmn ≤ 1
x1n + x2 n + ... + xmn = 1
Ad 3) Pracowników jest mniej niĀ stanowisk: m < n
kaĀdy pracownik
kaĀde stanowisko
x11 + x12 + ... + x1n = 1
x11 + x21 + ... + xm1 ≤ 1
przydzielony
do
obsadzone tylko przez 1
x21 + x22 + ... + x2 n = 1
x12 + x22 + ... + xm 2 ≤ 1
dokładnie 1 stanowiska
pracownika lub nie jest
...
...
obsadzone wcale.
xm1 + x\ m 2 + ... + xmn = 1
x1n + x2 n + ... + xmn ≤ 1
P. Kowalik, Laboratorium badań operacyjnych - zadanie pojedynczych przydziału pracowników do stanowisk pracy
2
„Gwarantowana” całkowitoliczbowość rozwiązań
Z matematycznego punktu widzenia we wszystkich 3 wariantach warunki opisujące przydziały pracowników
do stanowisk są równowaĀne warunkom bilansowym dla 3 wariantów zadania transportowego z moĀliwościami
dostawców i zapotrzebowaniami odbiorców równymi 1. Po dodaniu „technicznych” warunków nieujemności
zmiennych gwarantuje to całkowitoliczbowość, a w tym przypadku zerojedynkowość (binarność) wierzchołkowego/ych rozwiązania/ań optymalnego/ych. Tym samym warunki całkowitoliczbowości/zerojedynkowości
(binarności) zmiennych stają się zbędne.
Zadanie 1
4 pracownicy mają wykonać 4 zadania (kaĀdy po jednym). W tabeli poniĀej dane są czasy, w jakich kaĀdy
z pracowników potrafi wykonać kaĀde z zadań. NaleĀy przydzielić pracowników do zadań w taki sposób, aby
łączny czas ich pracy był jak najkrótszy.
Pracownicy
P1
P2
P3
P4
Z1
Czasy wykonania zadań
przez poszczególnych pracowników (w h)
Z2
Z3
Z4
7
6
4
8
7
5
7
9
5
6
8
4,5
6
6,5
7
8
Model matematyczny zadania przydziału (minimalizacja funkcji celu, zbilansowane)
x ij , i=1,...,4; j=1,...,4 – i-ty pracownik jest przydzielony (wartość zmiennej 1) do wykonania j-tego zadania
(odpowiednik przydziału do stanowiska) lub nie jest przydzielony (wartość zmiennej 0).
Funkcja celu oznacza łączny czas wykonania wszystkich zadań przez pracowników (w godzinach):
7 x11 + 6 x12 + 4 x13 + 6 x14 +
8 x 21 + 7 x 22 + 5 x 23 + 6,5 x 24 +
7 x 31 + 9 x 32 + 5 x 33 + 7 x 34 +
6 x 41 + 8 x 42 + 4,5 x 43 + 8 x 44 → min
przy ograniczeniach
xij ≥ 0 , i=1,...4; j=1,...,4 ograniczenia „techniczne” zapewniające zerojedynkowość rozwiązań optymalnych
x11 + x12 + x13 + x14 = 1
x21 + x22 + x23 + x24 = 1
kaĀdy pracownik jest przydzielony dokładnie do 1 zadania
x31 + x32 + x33 + x34 = 1
x41 + x42 + x43 + x44 = 1
x11 + x21 + x31 + x41 = 1
x12 + x22 + x32 + x42 = 1
kaĀde zadanie jest wykonywane przez dokładnie 1 pracownika
x13 + x23 + x33 + x43 = 1
x14 + x24 + x34 + x44 = 1
Uwagi
Współczynniki funkcji celu są wyraĀone w godzinach i w godzinach teĀ jest wyraĀona cała funkcja celu
(poniewaĀ zmienne decyzyjne są niemianowane – nie mają jednostek).
Warunki ograniczające są wybrane wg wariantu 1, poniewaĀ pracowników jest tyle co zadań(= stanowisk)
m=n.
P. Kowalik, Laboratorium badań operacyjnych - zadanie pojedynczych przydziału pracowników do stanowisk pracy
3
Wprowadzanie danych do komórek arkusza
W niniejszym zadaniu komórkami pełniącymi rolę zmiennych decyzyjnych będą B8, C8, D8, E8, B9, C9, D9,
E9, B10, C10, D10, E10, B11, C11, D11, E11, czyli (w skrócie) zakres (tablica) B8:E11. Odpowiedniość
pomiędzy komórkami a zmiennymi jest następująca:
B8 - x11 ,
C8 - x12 , D8 - x13 ,
E8 - x14
B9 - x 21 ,
C9 - x22 , D9 - x 23 ,
E9 - x 24
B10 - x31 , C10 - x32 , D10 - x33 , E10 - x34
B11 - x 41 , C11 - x 42 , D11 - x 43 , E11 - x 44
Rozmieszczenie danych
Funkcja celu to suma iloczynów. PoniewaĀ współczynniki tej funkcji celu znajdują się w komórkach B3, C3,
D3, E3, B4, C4, D4, E4, B5, C5, D5, E5, B6, C6, D6, zatem odpowiednikiem funkcji
7 x11 + 6 x12 + 4 x13 + 6 x14 + 8 x 21 + 7 x 22 + 5 x 23 + 6,5 x 24 + 7 x 31 + 9 x 32 + 5 x 33 + 7 x 34 + 6 x 41 + 8 x 42 + 4,5 x 43 + 8 x 44
będzie formuła
=B3*B8+C3*C8+D3*D8+E3*E8+
B4*B9+C4*C9+D4*D9+E4*E9+
B5*B10+C5*C10+D5*D10+E5*E10+ B6*B11+C6*C11+D6*D11+E6*E11
Zastosujemy jednak (w tym przypadku duĀo prostszą przy wprowadzaniu) równowaĀną formułę
=SUMA.ILOCZYNÓW(B3:E6;B8:E11).
P. Kowalik, Laboratorium badań operacyjnych - zadanie pojedynczych przydziału pracowników do stanowisk pracy
4
Zapis matematyczny
Formuły „dosłowne” tzn. takie które naleĀałoby
wpisać przy literalnym „przełoĀeniu” zapisu
matematycznego na składnię Excela
Komórka
Informacja na temat formuł: wprowadzanych przez uĀytkownika i kopiowanych (funkcja celu i warunki
ograniczające)
Formuły z SUMA.ILOCZYNÓW lub SUMA
odpowiadające formułom „dosłownym”
Uwagi
7 x11 + 6 x12 + 4 x13 + 6 x14 +
8 x 21 + 7 x 22 + 5 x 23 + 6,5 x 24 +
7 x 31 + 9 x 32 + 5 x 33 + 7 x 34 +
6 x 41 + 8 x 42 + 4,5 x 43 + 8 x 44
=SUMA.ILOCZYNÓW(B3:E6;B8:E11).
F8
=SUMA(B8:E8)
Wprowadzona
przez
uĀytkownika
F9
=SUMA(B9:E9)
Otrzymana przez
kopiowanie
z F8
F10
=SUMA(B10:E10)
Otrzymana przez
kopiowanie
z F8
F11
=SUMA(B11:E11)
Otrzymana przez
kopiowanie
z F8
B13
=SUMA(B8:B11)
Wprowadzona
przez
uĀytkownika
C13
=SUMA(C8:C11)
Otrzymana przez
kopiowanie
z B13
D13
=SUMA(D8:D11)
Otrzymana przez
kopiowanie
z B13
E13
=SUMA(E8:E11)
Otrzymana przez
kopiowanie
z B13
=B3*B8+C3*C8+D3*D8+E3*E8+
B4*B9+C4*C9+D4*D9+E4*E9+
B5*B10+C5*C10+D5*D10+E5*E10+
B6*B11+C6*C11+D6*D11+E6*E11
x11 + x12 + x13 + x14
=B8+C8+D8+E8
x 21 + x 22 + x 23 + x 24
= B9+C9+D9+E9
x31 + x32 + x33 + x34
= B10+C10+D10+E10
x 41 + x 42 + x 43 + x 44
= B11+C11+D11+E11
x11 + x 21 + x 31 + x 41
=B8+B9+ B10+ B11
x12 + x 22 + x 32 + x 42
=C8+C9+ C10+ C11
x13 + x 23 + x 33 + x 43
=D8+D9+ D10+ D11
x14 + x 24 + x 34 + x 44
=E8+E9+ E10+ E11
Wprowadzona
przez
uĀytkownika
G13
P. Kowalik, Laboratorium badań operacyjnych - zadanie pojedynczych przydziału pracowników do stanowisk pracy
Wygląd arkusza po kopiowaniu
Ustawienia Solvera
Na tym etapie zakończyło się wprowadzanie danych bezpośrednio do komórek arkusza.
Mamy następujące związki między zapisem matematycznym a zapisem w Excelu:
B8 - x11 , C8 - x12 , D8 - x13 , E8 - x14 ,
B9 - x 21 , C9 - x22 , D9 - x 23 , E9 - x 24
B10 - x31 , C10 - x32 , D10 - x33 , E10 - x34
B11 - x 41 , C11 - x 42 , D11 - x 43 , E11 - x 44 (B8:E11)
x ij , i=1,...,4; j=1,...,4 – i-ty pracownik jest przydzielony do j-tego zadania (1) albo nie jest przydzielony (0).
7 x11 + 6 x12 + 4 x13 + 6 x14 +
8 x 21 + 7 x 22 + 5 x 23 + 6,5 x 24 +
G13
7 x 31 + 9 x 32 + 5 x 33 + 7 x 34 +
łączny czas wykonania zadań przez pracowników (w godzinach):
6 x 41 + 8 x 42 + 4,5 x 43 + 8 x 44 → min
przy ograniczeniach
(B8:E11)
x ij ≥ 0 , i=1,...,4; j=1,...,4 ograniczenia „techniczne” zapewniające zerojedynkowość rozwiązań optymalnych
F8
F9
F10
F11
(F8:F11)
x11 + x12 + x13 + x14 = 1
x21 + x22 + x23 + x24 = 1
x31 + x32 + x33 + x34 = 1
x41 + x42 + x43 + x44 = 1
KaĀdy pracownik jest
przydzielony do wykonania
jednego zadania
B13
C13
D13
E13
x11 + x 21 + x 31 + x 41 = 1
x12 + x 22 + x 32 + x 42 = 1
x13 + x 23 + x 33 + x 43 = 1
x14 + x 24 + x 34 + x 44 = 1
(B13:E13) KaĀde zadanie jest wykonywane
przez jednego pracownika
Ustawienia Solvera. Prawe strony warunków z sumami zmiennych są „standardowo” równe 1. Dlatego teĀ te
jedynki wpisane są bezpośrednio do Solvera, a nie do komórek w arkuszu.
5
P. Kowalik, Laboratorium badań operacyjnych - zadanie pojedynczych przydziału pracowników do stanowisk pracy
6
Rozwiązanie przy ustawieniach domyślnych Solvera. Jak widać, na skutek błędów zaokrągleń pojawiają się
1
(w zapisie wykładniczym) liczby bliskie zeru (nawet ujemne) takie jak − 1,3E − 10 = −1,3 ⋅ 10 −10 = −1,3 ⋅ 10
10
1
czy 2,65 E − 10 = 2,65 ⋅ 10 −10 = 2,65 ⋅ 10 , które traktujemy jako zera w interpretacji wyników. Ujemna liczba
10
jako wartość zmiennej oczywiście formalnie jest naruszeniem warunku nieujemności zmiennych. Jest ona jednakĀe dozwolona bo jest mniejsza niĀ dopuszczalne odchylenie od spełnienia warunków ograniczających
podane w opcjach Solvera, które domyślnie wynosi 0,000001.
Rozwiązanie przy zaznaczonej opcji Przyjmij model liniowy. Jest ono dokładniejsze (bez bliskich zeru ”liczb z E”).
Rozwiązanie
Minimalny łączny czas wykonania zadań wynosi 23,5 h. Jest on osiągnięty dla następującego przydziału:
• pracownik 1 wykonuje zadanie 2 (P1 → Z2),
• pracownik 2 wykonuje zadanie 4 (P2 → Z4),
• pracownik 3 wykonuje zadanie 3 (P3 → Z3)
• pracownik 4 wykonuje zadanie 1 (P4 → Z1)
*
*
*
*
czyli x12
= x24
= x33
= x41
= 1 a pozostałe xij* = 0
P. Kowalik, Laboratorium badań operacyjnych - zadanie pojedynczych przydziału pracowników do stanowisk pracy
7
Zadanie 2
5 pracowników moĀe wytwarzać pewien wyrób na 4 róĀnych stanowiskach. Ze względu na umiejętności i doświadczenie kaĀdy z nich moĀe w ciągu jednej zmiany wykonać róĀne liczby wyrobów na róĀnych stanowiskach. NaleĀy tak przydzielić pracowników do stanowisk, aby łączna wielkość produkcji w ciągu jednej zmiany
była jak największa.
P1
P2
P3
P4
P5
Liczba wyrobów (w szt.), jaką pracownicy mogą wyprodukować w ciągu 1 zmiany
na poszczególnych stanowiskach
S1
S2
S3
S4
30
32
18
37
36
22
26
30
32
0
24
28
26
30
16
16
40
35
20
19
Model matematyczny zadania przydziału (maksymalizacja funkcji celu, niezbilansowane)
Zmienne decyzyjne mają standardową interpretację:
x ij , i=1,...,5; j=1,...,4 – i-ty pracownik jest przydzielony do j-tego stanowiska (wartość zmiennej 1) lub nie jest
przydzielony (wartość zmiennej 0).
Funkcja celu oznacza łączną wielkość produkcji (liczbę sztuk wyrobów) podczas jednej zmiany:
30 x11 + 32 x12 + 18 x13 + 37 x14 +
36 x21 + 22 x22 + 26 x23 + 30 x24 +
32 x31 + 0 x32 + 24 x33 + 28 x34 +
26 x41 + 30 x42 + 16 x43 + 16 x44 +
40 x51 + 35 x52 + 20 x53 + 19 x54 → max
przy ograniczeniach
xij ≥ 0 , i=1,...5; j=1,...,4 ograniczenia „techniczne” zapewniające zerojedynkowość rozwiązań optymalnych
x11 + x12 + x13 + x14 ≤ 1
x21 + x22 + x23 + x24 ≤ 1
x31 + x32 + x33 + x34 ≤ 1
kaĀdy pracownik jest przydzielony tylko do 1 stanowiska lub nie
jest przydzielony do Āadnego
x41 + x42 + x43 + x44 ≤ 1
x51 + x52 + x53 + x54 ≤ 1
x11 + x 21 + x31 + x 41 + x51 = 1
x12 + x 22 + x32 + x 42 + x52 = 1
kaĀde zadanie jest wykonywane przez dokładnie 1 pracownika
x13 + x 23 + x33 + x 43 + x53 = 1
x14 + x 24 + x34 + x 44 + x54 = 1
Uwagi
Współczynniki funkcji celu są wyraĀone w sztukach i w sztukach teĀ jest wyraĀona cała funkcja celu (poniewaĀ
zmienne decyzyjne są niemianowane – nie mają jednostek).
Warunki ograniczające są wybrane wg wariantu 2, poniewaĀ pracowników jest więcej niĀ stanowisk m > n .
P. Kowalik, Laboratorium badań operacyjnych - zadanie pojedynczych przydziału pracowników do stanowisk pracy
8
Wprowadzanie danych do komórek arkusza
W niniejszym zadaniu komórkami pełniącymi rolę zmiennych decyzyjnych będą B9, C9, D9, E9, B10, C10,
D10, E10, B11, C11, D11, E11, B12, C12, D12, E12, B13, C13, D13, E13, czyli (w skrócie) zakres (tablica)
B9:E13. Odpowiedniość pomiędzy komórkami a zmiennymi jest następująca:
B9 - x11 ,
C9 - x12 , D9 - x13 ,
E9 - x14
B10 - x 21 , C10 - x22 , D10 - x 23 , E10 - x 24
B11 - x31 , C11 - x32 , D11 - x33 , E11 - x34
B12 - x 41 , C12 - x 42 , D12 - x 43 , E12 - x 44
B13 - x51 , C13 - x52 , D13 - x53 , E13 - x54
Rozmieszczenie danych
Funkcja celu to suma iloczynów. PoniewaĀ współczynniki tej funkcji celu znajdują się w komórkach B3, C3,
D3, E3, B4, C4, D4, E4, B5, C5, D5, E5, B6, C6, D6, E6, B7, C7, D7, E7, zatem odpowiednikiem funkcji
30 x11 + 32 x12 + 18 x13 + 37 x14 + 36 x 21 + 22 x 22 + 26 x 23 + 30 x 24 + 32 x31 + 0 x32 + 24 x33 + 28 x34 +
26 x 41 + 30 x 42 + 16 x 43 + 16 x 44 +
będzie formuła
40 x51 + 35 x52 + 20 x53 + 19 x54
=B3*B9+C3*C9+D3*D9+E3*E9+
B4*B10+C4*C10+D4*D10+E4*E10+ B5*B11+C5*C11+D5*D11+E5*E11+
B6*B12+C6*C12+D6*D12+E6*E12+ B7*B13+C7*C13+D7*D13+E7*E13
Zastosujemy jednak (w tym przypadku duĀo prostszą przy wprowadzaniu) równowaĀną formułę
=SUMA.ILOCZYNÓW(B3:E7;B9:E13).
P. Kowalik, Laboratorium badań operacyjnych - zadanie pojedynczych przydziału pracowników do stanowisk pracy
9
Zapis matematyczny
Formuły „dosłowne” tzn. takie które naleĀałoby
wpisać przy literalnym „przełoĀeniu” zapisu
matematycznego na składnię Excela
Komórka
Informacja na temat formuł: wprowadzanych przez uĀytkownika i kopiowanych (funkcja celu i warunki
ograniczające)
Formuły z SUMA.ILOCZYNÓW lub SUMA
odpowiadające formułom „dosłownym”
Uwagi
30 x11 + 32 x12 + 18 x13 + 37 x14 +
36 x 21 + 22 x 22 + 26 x 23 + 30 x 24 +
32 x 31 + 0 x32 + 24 x 33 + 28 x34 +
26 x 41 + 30 x 42 + 16 x 43 + 16 x 44 +
40 x 51 + 35 x 52 + 20 x53 + 19 x54
G15
=SUMA.ILOCZYNÓW(B3:E7;B9:E13).
=B3*B9+C3*C9+D3*D9+E3*E9+
B4*B10+C4*C10+D4*D10+E4*E10+
B5*B11+C5*C11+D5*D11+E5*E11+
B6*B12+C6*C12+D6*D12+E6*E12+
B7*B13+C7*C13+D7*D13+E7*E13
x11 + x12 + x13 + x14
=B9+C9+D9+E9
x 21 + x 22 + x 23 + x 24
= B10+C10+D10+E10
x31 + x32 + x33 + x34
= B11+C11+D11+E11
x 41 + x 42 + x 43 + x 44
= B12+C12+D12+E12
x51 + x52 + x53 + x54
= B13+C13+D13+E13
x11 + x 21 + x31 + x 41 + x51
=B9+ B10+ B11+ B12+B13
x12 + x 22 + x32 + x 42 + x52
=C9+ C10+ C11+ C12+C13
x13 + x 23 + x33 + x 43 + x53
=D9+ D10+ D11+ D12+D13
x14 + x 24 + x34 + x 44 + x54
=E9+ E10+ E11+ E12+E13
Wprowadzona
przez
uĀytkownika
F9
=SUMA(B9:E9)
Wprowadzona
przez
uĀytkownika
F10
=SUMA(B10:E10)
Otrzymana przez
kopiowanie
z F9
F11
=SUMA(B11:E11)
Otrzymana przez
kopiowanie
z F9
F12
=SUMA(B12:E12)
Otrzymana przez
kopiowanie
z F9
F13
=SUMA(B13:E13)
Otrzymana przez
kopiowanie
z F9
B15
=SUMA(B9:B13)
Wprowadzona
przez
uĀytkownika
C15
=SUMA(C9:C13)
Otrzymana przez
kopiowanie
z B15
D15
=SUMA(D9:D13)
Otrzymana przez
kopiowanie
z B15
E15
=SUMA(E9:E13)
Otrzymana przez
kopiowanie
z B15
P. Kowalik, Laboratorium badań operacyjnych - zadanie pojedynczych przydziału pracowników do stanowisk pracy
10
Wygląd arkusza po kopiowaniu
Ustawienia Solvera
Na tym etapie zakończyło się wprowadzanie danych bezpośrednio do komórek arkusza.
Mamy następujące związki między zapisem matematycznym a zapisem w Excelu:
B9 - x11 ,
C9 - x12 , D9 - x13 ,
E9 - x14 , B10 - x 21 , C10 - x22 , D10 - x 23 , E10 - x 24
B11 - x31 , C11 - x32 , D11 - x33 , E11 - x34 , B12 - x 41 , C12 - x 42 , D12 - x 43 , E12 - x 44
B13 - x51 , C13 - x52 , D13 - x53 , E13 - x54 (B9:E13)
x ij , i=1,...,5; j=1,...,4 – i-ty pracownik jest przydzielony do j-tego stanowiska (1) lub nie jest przydzielony (0).
30 x11 + 32 x12 + 18 x13 + 37 x14 +
36 x 21 + 22 x 22 + 26 x 23 + 30 x 24 +
32 x31 + 0 x32 + 24 x33 + 28 x34 +
G15
łączna liczba sztuk wyprodukowanych wyrobów
26 x 41 + 30 x 42 + 16 x 43 + 16 x 44 +
40 x51 + 35 x52 + 20 x53 + 19 x54 → min
przy ograniczeniach
(B9:E13)
x ij ≥ 0 , i=1,...,5; j=1,...,4 ograniczenia „techniczne” zapewniające zerojedynkowość rozwiązań optymalnych
F9
F10
F11
F12
F13
x11 + x12 + x13 + x14 ≤ 1
x21 + x22 + x23 + x24 ≤ 1
.x31 + x32 + x33 + x34 ≤ 1
x41 + x42 + x43 + x44 ≤ 1
x51 + x52 + x53 + x54 ≤ 1
(F9:F13) kaĀdy pracownik jest przydzielony
tylko do 1 stanowiska lub nie jest
przydzielony do Āadnego
B15
C15
D15
E15
(B15:E15)
x11 + x 21 + x31 + x 41 + x51 = 1
x12 + x 22 + x32 + x 42 + x52 = 1
x13 + x 23 + x33 + x 43 + x53 = 1
x14 + x 24 + x34 + x 44 + x54 = 1
kaĀde zadanie jest wykonywane
przez dokładnie 1 pracownika
P. Kowalik, Laboratorium badań operacyjnych - zadanie pojedynczych przydziału pracowników do stanowisk pracy
11
Ustawienia Solvera. Prawe strony warunków z sumami zmiennych są „standardowo” równe 1. Dlatego teĀ te
jedynki wpisane są bezpośrednio do Solvera, a nie do komórek w arkuszu.
„Rozwiązanie” przy ustawieniach domyślnych.
Cudzysłów został uĀyty dlatego otrzymany wynik nie jest rozwiązaniem optymalnym, a jedynie
dopuszczalnym. Świadczy o tym komunikat mówiący, Āe rozwiązanie jest jedynie zbliĀone do optymalnego
Komunikat Excel 2003 i starsze
P. Kowalik, Laboratorium badań operacyjnych - zadanie pojedynczych przydziału pracowników do stanowisk pracy
12
Komunikat Excel 2007 (w nowszych wersjach Excela pojawia się inaczej wyglądające zaprojektowane okno
Wyniki dodatku Solver, ale z identyczną treścią komunikatu)
W Excelu 2007 w komunikacie pojawia się słowo „bieĀącego” zamiast „aktualnego” ale tak czy inaczej poprawne tłumaczenie z angielskiego powinno zawierać w tym miejscu słowo „optymalnego” albo „rzeczywistego”.
Powodem nieudanych obliczeń jest niedoskonałość algorytmu „ogólnego” Solvera (uruchamianego domyślnie).
Niejednokrotnie zdarza się, Āe nie jest on w stanie znaleźć optymalnego rozwiązania dla zadań transportowych/
przydziału mających zaledwie 18-20 zmiennych. Sposobem obejścia opisanych trudności jest zaznaczenie opcji
Przyjmij model liniowy, która wymusi uĀycie algorytmu simpleks, co pozwoli znaleźć rozwiązanie optymalne
wierzchołkowe, a zatem i całkowitoliczbowe (tak jak na Laboratorium 4).
Po zaznaczeniu opcji Przyjmij model liniowy otrzymujemy następujące rozwiązanie:
P. Kowalik, Laboratorium badań operacyjnych - zadanie pojedynczych przydziału pracowników do stanowisk pracy
13
Jak widać, jest ono nie tylko całkowitoliczbowe, ale takĀe wartość funkcji celu jest większa niĀ poprzednio!
Oznacza to, iĀ niestety algorytm „ogólny” Solvera bywa zawodny. Nasuwa się zatem oczywisty wniosek: przy
rozwiązywaniu zadań programowania liniowego naleĀy zaznaczać opcję Przyjmij model liniowy.
Rozwiązanie
Maksymalna wielkość produkcji w ciągu jednej zmiany wynosi 133 sztuki. Jest ona osiągnięta, jeĀeli:
• pracownik 1 pracuje na stanowisku 4 (P1 → S4),
• pracownik 2 pracuje na stanowisku 3 (P2 → S3),
• pracownik 3 nie będzie przydzielony do Āadnego stanowiska,
• pracownik 4 pracuje na stanowisku 2 (P4 → S2),
• pracownik 5 pracuje na stanowisku 1 (P5 → S1)
*
*
*
*
albo - w alternatywnym zapisie - x14
= x23
= x42
= x51
= 1 a pozostałe xij* = 0 .