Kolokwium II z algebry Studia stacjonarne SGH 14 stycznia 2013
Transkrypt
Kolokwium II z algebry Studia stacjonarne SGH 14 stycznia 2013
Kolokwium II z algebry Studia stacjonarne SGH 14 stycznia 2013 Imię i Nazwisko Grupa Nr indeksu 1. Dany jest funkcjonał dwuliniowy g : R3 × R3 → R, g(x, y) = 2x1 y1 + 3y2 x2 + 2y3 x3 − x1 y2 − x2 y1 + x3 y2 + x2 y3 . a) Wyznaczyć bazę przestrzeni R3 , w której g ma macierz diagonalną. b) Sprawdzić, czy g jest iloczynem skalarnym. 2. Zbadać, w zależności od wartości parametru m ∈ R, określoność formy kwadratowej f : R2 → R, f (x) = (2 − m) x21 − mx22 + 2mx1 x2 . 3. Dane jest przekształcenie liniowe f : R3 → R3 określone wzorem x2 cos α − x3 sin α x1 f (x) = , x2 sin α + x3 cos α gdzie α ∈ R. Obliczyć cosinus kąta między wektorami f (e1 − e2 ) , f (e1 + 3e2 + e3 ) , gdzie e1 , e2 , e3 są wektorami jednostkowymi w przestrzeni R3 . 4. Wyznaczyć rzut ortogonalny wektora wektora i obliczyć odległość W x na podprzestrzeń 1 0 2 1 x od podprzestrzeni W , gdzie x = 0 , W = L 1 , 1 , 2 . 1 −1 −1 1 5. Niech Wm będzie zbiorem określonym układem nierówności: 3x1 + x2 + x3 ¬ 6, x1 + x3 ¬ m, x1 0 , x2 0, x3 0. a) Narysować zbiór W3 . b) Wyznaczyć w zależności od wartości parametru m ∈ R liczbę wierzchołków zbioru Wm . Kolokwium II z algebry Studia stacjonarne SGH 14 stycznia 2013 Imię i Nazwisko Grupa Nr indeksu 1. Dany jest funkcjonał dwuliniowy g : R3 × R3 → R, g(x, y) = x1 y1 + 3y2 x2 + 2y3 x3 − 2x1 y2 − 2x2 y1 − x3 y2 − x2 y3 . a) Wyznaczyć bazę przestrzeni R3 , w której g ma macierz diagonalną. b) Sprawdzić, czy g jest iloczynem skalarnym. 2. Zbadać, w zależności od wartości parametru m ∈ R, określoność formy kwadratowej f : R2 → R, f (x) = (m − 2) x21 + mx22 + 2mx1 x2 . 3. Dane jest przekształcenie liniowe f : R3 → R3 określone wzorem x1 cos α + x2 sin α x3 f (x) = , x1 sin α − x2 cos α gdzie α ∈ R. Obliczyć cosinus kąta między wektorami f (e1 − e2 + 2e3 ) , f (e1 + e3 ) , gdzie e1 , e2 , e3 są wektorami jednostkowymi w przestrzeni R3 . 4. Wyznaczyć rzut ortogonalny wektora wektora odległość x na podprzestrzeń Wi obliczyć 1 1 1 −1 x od podprzestrzeni W , gdzie x = −1 , W = L 2 , 0 , 1 . 2 1 0 1 5. Niech Wm będzie zbiorem określonym układem nierówności: x1 + 2x2 + x3 ¬ 6, x1 + x3 ¬ m, x1 0 , x2 0, x3 0. a) Narysować zbiór W3 . b) Wyznaczyć w zależności od wartości parametru m ∈ R liczbę wierzchołków zbioru Wm .