Mechanika teoretyczna: Kinematyka ciała sztywnego
Transkrypt
Mechanika teoretyczna: Kinematyka ciała sztywnego
Mechanika teoretyczna: Kinematyka ciała sztywnego Kinematyka ciała sztywnego Mechanika teoretyczna Kinematyka ciała sztywnego – 2 Zadanie. Kwadrat ABCD o boku a porusza się ruchem jednostajnym po osi x z prędkością v poruszając swoim wierzchołkiem C pręt EO zamocowany przegubowo w punkcie O. Wyznaczyć prędkość kątową i przyspieszenie kątowe pręta w funkcji kąta ϕ. y E D C v a ϕ b A a B u O x Kinematyka ciała sztywnego Mechanika teoretyczna Kinematyka ciała sztywnego – 3 odległość u maleje z prędkością v z geometrii zadania du = −v dt (1) u = ctg ϕ(t) a (2) v = const 6= ϕ = const (3) u = a ctg ϕ(t) (4) u jest funkcją kąta ϕ, a ten z kolei jest funkcją czasu t u = u[ϕ(t)] (5) stąd zmiana drogi w czasie jest pochodną funkcji złożonej du dϕ −a dϕ du = · = · dt dϕ dt sin2 ϕ dt (6) Kinematyka ciała sztywnego Mechanika teoretyczna Kinematyka ciała sztywnego – 4 Ponieważ dϕ = ϕ̇ ω= dt (7) aϕ̇ aω = =v sin2 ϕ sin2 ϕ (8) v ω = sin2 ϕ a (9) d2 ϕ ε = 2 = ϕ̈ dt (10) i porównując wzory (1) i (6) mamy d2 ϕ v dϕ dω ε= 2 = = 2 sin ϕ cos ϕ · dt dt a dt |{z} ω v v · sin2 ϕ = sin 2ϕ a a v2 = 2 sin 2ϕ sin2 ϕ a (11) Kinematyka ciała sztywnego Mechanika teoretyczna Kinematyka ciała sztywnego – 5 Zadanie. Odcinek AB o długości L = 0.5 m znajduje się w ruchu płaskim w płaszczyźnie rysunku prędkości liniowych, na którym zaznaczono odcinek i kierunki liniowe jego końców. Prędkość końca A jest znana i wynosi vA = 10 m/s. Wyznaczyć chwilową prędkość kątową odcinka, prędkość punktu B oraz prędkość liniową środka D odcinka. Chwilowy środek obrotu wyznaczono na przecięciu linii prostopadłych do wektorów prędkości L/2 L/2 vB vD A D 60 vA ρA 30◦ 60 ◦ ◦ 60 ◦ C ρD ρB B Kinematyka ciała sztywnego Mechanika teoretyczna Kinematyka ciała sztywnego – 6 1 1 1 · = 2 2 4 √ √ 3 3 1 = ρB = L cos 30◦ = · 2 2 4 ρA = L cos 60◦ = vA = ω · ρA 10 ✚ m/s vA = 1 ω= = 40 rad/s ρA m 4✚ √ √ 3 = 10 3 m/s = 17.3 m/s vB = ω · ρB = 40 · 4 ρD = ρA = L 1 = m 2 4 vD = ω · ρD = 40 · 1 = 10 m/s 4 (12) (13) (14) (15) (16) (17) (18)