ZLic_Zad4.

Zarzadzanie - zadania z matematyki - lista 4
Zastosowania pochodnych
4.1. Napisac rownania stycznej i prostopadlej do wykresu funkcji y = f (x) w punkcie
(x0 ; f (x0 )) gdy: a) f (x) = x1 ; x0 = 12 ; b) f (x) = x+9
; x0 punkt taki, z_ e styczna przechodzi
x+5
przez punkt (0; 0); c) f (x) = x ln x; x0 punkt taki, z_ e prostopadla jest rownolegla do prostej
2x 2y + 3 = 0:
4.2. Korzystajac z twierdzenia Rolle'a sprawdzic, z_ e jesli rownanie
an xn + an 1 xn 1 + ::: + a1 x = 0 ma pierwiastek x0 > 0;
to rownanie nan xn 1 + (n 1)an 1 xn 2 + ::: + a1 = 0 ma pierwiastek x1 2 (0; x0 ):
4.3. Korzystajac z twierdzenia Lagrange'a dla funkcji f (x) = ln x i dla funkcji g(x) = xn
udowodnic dla dowolnych a > b > 0 nierownosci:
a) a a b < ln ab < a b b ; b) nbn 1 (a b) < an bn < nan 1 (a b):
p
4.4. Dla funkcji y = f (x) zadanej w sposob uwiklany rownaniem xy + y = 1 wylicz dy=dx
nie rozwiazujac rownania, a nastepnie podaj przybli_zona wartosc
1
1
) f (0) + dy(0) f (0) + f 0 (0) 10
.
f ( 10
3
2
4.5. Dla funkcji f (x) = x x x+1 wyznacz punkty stacjonarne, ekstrema lokalne, punkty
przegiecia, przedzialy monotonicznosci i przedzialy wypuklosci oraz wartosc najwieksza i
najmniejsza funkcji w przdziale [0; 2]:
4.6. Koszt C(x) i przychod R(x) z produkcji x jednostek towaru sa dane zale_znosciami
1
x2 x + 50, R(x) = px, dla x 0; gdzie p - cena sprzeda_zy jednostki towaru.
C(x) = 100
Przy jakim x : a) koszt C(x) jest najmniejszy? b) koszt jednostkowy Cu (x) = C(x)
jest
x
najmniejszy? (jaki jest wtedy koszt C(x)?) c) zysk P (x) = R(x) C(x) jest najwiekszy?
jest najwiekszy? (jaki jest wtedy zysk P (x)?)
d) zysk jednostkowy Pu (x) = P (x)
x
4.7. Rozwia_z zadanie 6.6 gdy:
a) C(x) = C0 + cx, b) C(x) = C0 + cx i cena sprzeda_zy p zmienia sie z x wg wzoru
p = p(x) = 1+p0x2 :
t
1
4.8. Zysk z inwestycji kapitalu K po czasie t jest rowny P (t) = Ke 4
Ke t : W ktorym
108
momencie wartosc ta jest najwieksza?
4.9. Po_zyczony kapital K po czasie t nale_zy zwrocic do banku z odsetkami s(t)K; gdzie s(t)
jest nieujemna, rosnaca, gladka funkcja zmiennej t. Inwestujac K w "ciagly obrot" po czasie
t uzyskujemy przychod R(t) = Kert : Kiedy warto zwrocic po_zyczke? Kiedy marginalny zysk
(t)
jest najwiekszy? Wykonaj obliczenia gdy:
P 0 (t) i kiedy relatywny zysk PF (t)
r
r
2
a) s(t) = e 2 t ; b) s(t) = e 3 t ; c) s(t) = c + st; d) s(t) = c + s t2 ; s > r:
4.10. Zakladajac wzrost ceny poczatkowej C0 dolara o 12% w ciagu roku, trzy banki (i =
1; 2; 3) ustalaja ceny Ci (t); na dowolny moment roku t 2 [0; 1] wg nastepujacych wzorow:
a) C1 (t) = C0 (1 + 0; 12t); b) C2 (t) = C0 (1 + 0; 12)t ; c) C3 (t) = C( 4j )(1 + p(t 4j )) dla
1
t 2 ( 4j ; j+1
], gdzie j = 0; 1; 2; 3; p = 4(1; 12 4 1):
4
0
Wyznacz i porownaj tempa bezwzgednego wzrostu cen Ci (t) oraz tempa wzglednego
wzrostu cen
0
Ci (t)
:
Ci (t)
0
0
Czy C1 (t) = C2 (t) dla pewnego t? Czy
0
C1 (t)
C1 (t)
=
0
C2 (t)
C2 (t)
dla pewnego t?
1 (t)
(wskazowka: skorzystaj z tw. Rolle'a dla funkcji t 7 ! C1 (t) C2 (t) oraz funkcji t 7 ! C
).
C2 (t)
Kiedy i jaka jest maksymalna ro_znica cen oraz kiedy i jaki jest maksymalny stosunek cen?
1