Algebra 1∗, seria 3. Dziaªania grup: Przykªady i zadania na

. Dziaªania grup: Przykªady i zadania na ¢wiczenia w
dniu 27 i 28 pa¹dziernika.
Prosz¦ zrobi¢ nast¦puj¡ce zadania ze skryptu Bojanowskiej
i Traczyka, z rozdziaªu 3:
Z3.5, Z3.6, Z3.7, Z3.8, Z3.10
(zob. http://en.wikipedia.org/wiki/Burnside_lemma), Z3.11, to ostatnie zadanie jest sformuªowane bªednie: brakuje w tezie grupy
dihedralnej realizowanej jako zachowuj¡ce orientacje izometrie
prostopadªo±cianu o podstawie n-k¡ta foremnego.
Ostatnie dwa
zadania z tej serii s¡ inspirowane przez geometryczne zastosowania
http://www.warwick.ac.uk/∼masda/surf/more/DuVal.pdf
∗
Algebra 1 , seria 3
1. Korzystaj¡c z tego, »e dziaªanie grupy na zbiorze implikuje rozkªad
tego zbioru na orbity poka», »e ka»da permutacja rozkªada si¦ jednoznacznie na rozª¡czne cykle. Zapisujemy to tak: dla σ ∈ Σn istnieje
zbioru {1, . . . , n} na rozª¡czne podzbiory {1, . . . , n} =
Fr podziaª
1 , . . . , aj } taki, »e
{a
j=1 j
ij
σ = (a11 , . . . , a1i1 ) ◦ · · · ◦ (ar1 , . . . , arir )
gdzie (aj1 , . . . , ajij ) oznacza permutacj¦ cykliczn¡ aj1 7→ aj2 7→ · · · ajij 7→
aj1 .
2. Przedstaw nast¦puj¡ce grupy jako podgrupy grupy permutacji; znajd¹
ich generatory i zapisz je w postaci rozkªadu na cykle.
(a) grup¦ dihedraln¡ D8 i grup¦ kwaternionów H8 ;
(b) grupy izometrii bryª plato«skich: czworo±cianu foremnego,
sze±cianu (lub o±mio±cianu) foremnego, dwunasto±cianu (lub
dwudziesto±cianu) foremnego;
(c) grupy z zadania 5.
3. Rozpatrzmy dziaªanie grupy G na zbiorze X . Zbiór orbit dziaªania
grupy G oznaczmy przez X/G z rzutowaniem p : X → X/G. Niech
X0H ⊂ X oznacza zbiór elementów z grup¡ izotropii H < G.
• Poka», »e p−1 (p(X0H )) =
F
H 0 =gHg −1
X0H
0
• Poka», »e p(X0H ) = X0H /W (H) gdzie grupa ilorazowa W (H) =
NG (H)/H) dziaªa na X0H poprzez swoich reprezentantów w
NG (H).
4. Niech H∗ oznacza grupe multiplikatywn¡ niezerowych kwaternionów,
przypomnijmy, »e kwaterniony o normie 1 stanowi¡ podgrup¦ H∗
(zob. zad. 9 i 10 pierwszej serii). Sprawd¹, »e grupa ta jest izomorczna
T
z grup¡ SU (2) = {A ∈ GL(2, C) : A · A = I, det A = 1}. Deniujemy
dziaªanie tej grupy na R3 w sposób nast¦puj¡cy: uto»samiamy R3 z
urojonymi kwaternionami R3 = {x = x1 · i + x2 · j + x3 · k ∈ H} a
dziaªanie dla g ∈ H∗ i takiego x deniujemy wzorem x 7→ g · x · g −1 .
Poka», »e jest to dobrze okre±lone R-liniowe dziaªanie. Znajd¹ jadro
tego dziaªania. Poka», »e deniuje ono suriektywny homomorzm grup
SU (2) −→ SO(3, R) z j¡drem izomorcznym z Z2 .
5. Sprawd¹, »e podane poni»ej podgrupy SU (2) zawieraj¡ j¡dro dziaªania
z zadania poprzedniego jako swoje centrum. Zidentykuj ich obraz w
SO(3, R).
• BD4n to grupa generowana przez
0 1
−1 0
0 1
−1 0
gdzie = exp(2πi/n).
oraz
−1 0
0 i
0
0 −i
oraz
,
• BT to grupa generowana przez
1 + i −1 + i
1
2
1+i
1−i
0 1
1+i
0
, √12
• BO to grupa generowana przez
−1 0
0 1−i
1 + i −1 + i
oraz 12
1+i
1−i
2
0 1
0
oraz
• BI to grupa generowana przez
,
0 3
−1 0
− + 4 2 − 3
√1
gdzie = exp(2πi/5).
5
2 − 3 − 4