Podstawy Automatyki - Wydział Elektrotechniki i Automatyki

Politechnika Gda ska
Wydział Elektrotechniki i Automatyki
Katedra In ynierii Systemów Sterowania
Podstawy Automatyki
Modelowanie matematyczne systemów sterowania
Materiały pomocnicze do wicze - termin T4
Opracowanie:
Kazimierz Duzinkiewicz, dr hab. in .
Michał Grochowski, dr in .
Robert Piotrowski, dr in .
Tomasz Rutkowski, dr in .
Gda sk, pa dziernik 2009
Wprowadzenie
Ideowy schemat technologiczny jednowymiarowego (jedna wielko wej ciowa - jedna wielko
wyj ciowa obiektu regulacji) układu regulacji (układ sterowania z ujemnym sprz eniem zwrotnym)
wraz z opisem poszczególnych sygnałów w nim wyst puj cych przedstawiony został na Rysunku 1.
Wielko ci
zakłócaj ce
Wielko
reguluj ca
nastawiaj ca
Strumie
medium
nastawiaj cego
Obiekt
regulacji
(proces)
Urz dzenie
wykonawcze
Wielko
regulowana
Urz dzenie
pomiarowe
Warto
zmierzona
Wielko
reguluj ca
Urz dzenie
reguluj ce
(regulator)
(sterownik)
Wielko
regulowana
mierzona
Warto
zadana
Stacyjka
Rysunek 1. Ideowy schemat technologiczny jednowymiarowego układu sterowania
Zadanie 1
W zadaniu nale y rozpatrzy system sterowania (przedstawiony na Rysunku 2) realizuj cy regulacj
poziomu cieczy w zbiorniku za pomoc dławienia przez zawór dopływu cieczy do zbiornika.
ut(t)
uw(t)
eε(t)
h0(t)
e0(t)
eh0(t)
h(t)
α1(t)
α1(t)
+
-
eh(t)
e0(t)
Przy czym:
- nat enie wypływu cieczy ze zbiornika Q2 ( t )
wymuszane jest przez pomp , nie zale y od
warto ci poziomu cieczy h( t ) w zbiorniku i
mo e podlega zmianom w czasie,
- ci nienie p( t ) , cieczy dopływaj cej, przed
zaworem mo e ulega przypadkowym
zmianom.
+
l
p(t)
Q1(t)
h(t)
Q2(t)
Rysunek 2. Uproszczony szkic systemu sterowania
2
W zadaniu nale y:
a) okre li cel sterowania w rozwa anym systemie,
b) na podstawie schematu ideowego systemu sterowania opisa sposób działania systemu
sterowania,
c) okre li , czy wyst puj ograniczenia zwi zane z procesem sterowania, a je eli wyst puj to
jak je mo na opisa ,
d) wskaza poszczególne elementy systemu sterowania:
♦ obiekt sterowany (obiekt regulacji),
♦ urz dzenie pomiarowe,
♦ urz dzenie steruj ce/reguluj ce,
♦ układ nastawiania warto ci zadanej,
♦ urz dzenie wykonawcze
e) okre li wielko ci wej ciowe i wyj ciowe poszczególnych elementów systemu sterowania, a w
przypadku obiektu sterowania wskaza wielko ci: reguluj c nastawiaj c , zakłócaj c i
regulowan ,
f) w miar mo liwo ci, wskaza zale no ci pomi dzy wielko ciami wej ciowymi i wyj ciowymi
poszczególnych elementów systemu sterowania,
g) w postaci odpowiedniego schematu blokowego przedstawi model matematyczny
rozwa anego systemu sterowania.
Rozwi zanie Zadania 1
a) okre li cel sterowania w rozwa anym systemie,
Zadaniem systemu sterowania jest utrzymanie stałego okre lonego poziomu h0 przy pojawiaj cych si
zmianach Q2 i p.
b) na podstawie schematu ideowego systemu sterowania opisa
sterowania,
sposób działania systemu
Poziom cieczy h( t ) jest mierzony za pomoc czujnika pływakowego. Unoszenie lub opadanie
pływaka zmienia napi cie wyj ciowe eh ( t ) z potencjometru pomiarowego. Warto zadan poziomu
cieczy w zbiorniku h0 ustala si za pomoc potencjometru nastawczego poprzez nastawienie warto ci
eh0 . Gdy poziom h( t ) jest równy warto ci po danej h0 napi cia eh (t) i eh0 s te sobie równe i
napi cie wypadkowe z układu potencjometrów eε ( t ) jest równe zeru. Gdy poziom h( t ) nie jest
równy warto ci po danej h0 napi cie eε ( t ) , proporcjonalne do ró nicy h0 − h( t ) , powoduje to ruch
silnika elektrycznego i poprzez zmian poło enia trzpienia zaworu, zmian nat enia dopływu cieczy
do zbiornika Q1 ( t ) . Silnik przestawiaj cy trzpie zaworu jest silnikiem pr du stałego o stałym
wzbudzeniu uw = const i pr dko ci k towej zmienianej przez zmian warto ci napi cia twornika
ut (t ) . Przestawienie trzpienia zaworu odbywa si poprzez przekładni z bat .
c) okre li , czy wyst puj ograniczenia zwi zane z procesem sterowania, a je eli wyst puj to jak je
mo na opisa ,
Mo na wskaza nast puj ce przykładowe ograniczenia w rozwa anym procesie: najwy szy i
najni szy poziom cieczy w zbiorniku hmin i hmax , najwi ksze i najmniejsze nat enie przepływu
cieczy przez zawór Q1 max , Q1,min , które mo na zapisa za pomoc nast puj cych nierówno ci:
3
(1)
(2)
hmin < h(t ) < hmax
Q1,min < Q1 (t ) < Q1,max
d) wskaza poszczególne elementy systemu sterowania:
„Wpiszemy” rozwa any system sterowania w ogólny schemat przedstawiony na Rysunku 1. W
przykładzie obiektem regulacji jest zbiornik z ciecz , której poziom chcemy utrzymywa na
okre lonej warto ci h0. Przeszkadzaj nam w tym pojawiaj ce si w czasie zmiany dwóch wielko ci:
ci nienia cieczy dopływaj cej do zbiornika przed zaworem p( t ) , oraz nat enia wypływu cieczy ze
zbiornika Q2 ( t ) . S to, zatem zakłócenia. Nat enie dopływu cieczy do zbiornika Q1 ( t ) , zale ne od
poło enia trzpienia zaworu l, jest wielko ci reguluj c nastawiaj c .
Urz dzeniem pomiarowym jest układ pływaka i potencjometru pomiarowego (potencjometryczny
czujnik poło enia). Na jego wej cie podawana jest aktualna warto wielko ci regulowanej h( t ) , za
na wyj ciu pojawia si , odpowiadaj ca jej warto wielko ci regulowanej mierzonej eh ( t ) .
Warto
zadana poziomu h0 ustalana jest za pomoc potencjometru nastawczego napi ciem eh0 .
Układ tego potencjometru pełni, zatem rol stacyjki.
Urz dzeniem reguluj cym (sterownikiem) jest wzmacniacz przetwarzaj cy ró nic napi
eε (t ) = eh0 − eh (t ) , odpowiadaj c ró nicy hε ( t ) = h0 − h( t ) , w napi cie ut ( t ) - wielko reguluj c
- podawane na twornik silnika elektrycznego.
Dalsze elementy układu - silnik, przekładnia z bata, zawór - tworz urz dzenie wykonawcze.
W zale no ci od znaku napi cia ut ( t ) silnik b dzie obracał si w jedn lub drug stron . Zmiany
k towego poło enia wirnika silnika, w okresie podawania na zaciski jego twornika napi cia ró nego
od zera, oznaczymy przez α 1 ( t ) . Poprzez przekładni z bat k t α 1 ( t ) przetworzony zostaje w obrót
o k t α 2 ( t ) ko cowego koła z batego przekładni. Obrót drugiego koła przekładni o k t α 2 ( t )
spowoduje przesuni cie trzpienia zaworu do pozycji l( t ) . Warto tego przesuni cia oraz warto
ci nienia cieczy okre l warto nat enia dopływu cieczy do zbiornika Q1 ( t ) .
Uproszczony szkic systemu sterowania (przedstawiony na Rysunku 2), mo emy teraz przedstawi w
postaci nast puj cego ideowego schematu technologicznego układu sterowania stałowarto ciowej:
Nat
Ci nienie
dopływaj cej cieczy
przed zaworem
p(t)
Nat enie
dopływu cieczy
do zbiornika
Q 1 (t)
Silnik,
przekładnia
z bata,
zawór
enie wypływu cieczy ze
zbiornika Q 2 (t)
Zmiany
poziomu cieczy
w zbiorniku h(t)
Poziom cieczy
w zbiorniku h(t)
Pływak,
potencjometr
Napi cie na
suwaku e h(t)
Napi cie
u t(t)
Wzmacniacz
(sterownik)
Napi cie na
suwaku e h0
Potencjometr
Rysunek 3. Ideowy schemat technologiczny układu regulacji poziomu cieczy w zbiorniku
4
e) okre li wielko ci wej ciowe i wyj ciowe poszczególnych elementów systemu sterowania, a w
przypadku obiektu sterowania wskaza wielko ci: reguluj c nastawiaj c , zakłócaj c i
regulowan ,
f) w miar mo liwo ci, wskaza zale no ci pomi dzy wielko ciami wej ciowymi i wyj ciowymi
poszczególnych elementów systemu sterowania:
♦ obiekt sterowany (obiekt regulacji)
W rozwa anym zadaniu obiektem regulacji jest zbiornik z ciecz , którego poziom chcemy
utrzymywa na okre lonej warto ci h0.
Wielko ci wyj ciow obiektu (wielko ci regulowan ) jest poziom cieczy w zbiorniku h( t ) . Na
zmian tej wielko ci bezpo redni wpływ maj : nat enie wypływu cieczy ze zbiornika Q2 ( t ) oraz
nat enie dopływu cieczy do zbiornika Q1 ( t ) . Zbiornik, zatem jako obiekt regulacji poziomu cieczy
posiada dwie wielko ci wej ciowe i jedn wyj ciow . Spo ród wielko ci wej ciowych Q1 ( t ) jest
wielko ci reguluj c nastawiaj c , za Q1 ( t ) - wielko ci zakłócaj c :
Q1(t)
Q2(t)
Zbiornik z ciecz zmiany poziomu
cieczy h(t)
h(t)
Rysunek 4. Zbiornik z ciecz jako obiekt regulacji poziomu cieczy w zbiorniku
Równanie opisuj ce dynamik rozwa anego obiektu mo na zapisa w nast puj cej postaci:
A⋅
dh(t )
= Q1 (t ) − Q2 (t )
dt
(3)
[ ]
gdzie: A - powierzchnia przekroju poprzecznego zbiornika m 2 ,
h - poziom cieczy w zbiorniku [m] ,
3
Q1 - nat enie dopływu cieczy do zbiornika m
,
s
3
,
Q2 - nat enie wypływu cieczy ze zbiornika m
s
[ ]
[ ]
♦ urz dzenie pomiarowe
Wielko ci wej ciow urz dzenia pomiarowego jest zmiana poziomu cieczy w zbiorniku h( t ) , za
wyj ciow napi cie na suwaku potencjometru eh ( t ) :
h(t)
Urz dzenie
pomiarowe
(pływak,
potencjometr)
eh (t)
Rysunek 5. Pływak i potencjometr jako urz dzenie pomiarowe
Zało ymy, e układ potencjometru pomiarowego nie jest obci any pr dowo. Dla wyprowadzenia
opisu układu wyjdziemy z przyj cia za słuszne nast puj cych zale no ci:
5
h(t ) Rh (t ) eh (t )
=
=
hmax Rmax
e0
(4)
gdzie: h - poziom cieczy w zbiorniku [ m] ,
hmax - zakres zmian poziomu cieczy w zbiorniku [ m] ,
Rh - rezystancja ,,na suwaku” odpowiadaj ca poziomowi cieczy h, [ Ω] ,
Rmax - zakres zmian rezystancji potencjometru odpowiadaj cy zakresowi zmian hmax, [ Ω] ,
eh - napi cie ,,na suwaku” odpowiadaj ce rezystancji Rh, [V ] ,
emax - zakres zmian napi cia potencjometru odpowiadaj cy zakresowi zmian Rmax, [V ] .
Korzystaj c z zale no ci (4) mo na napisa :
eh (t ) =
e0
h(t ) = k h h(t )
hmax
(5)
gdzie: kh - współczynnik wzmocnienia urz dzenia pomiarowego
V
.
m
♦ urz dzenie steruj ce/reguluj ce
Wielko ci wej ciow wzmacniacza jest napi cie eε (t ) = eh0 (t ) − eh (t ) , za wyj ciow napi cie
twornika silnika elektrycznego
ut ( t ) :
eε(t)
Sterownik
(wzmacniacz)
ut(t)
Rysunek 6. Wzmacniacz jako sterownik (regulator) poziomu cieczy
Przyjmiemy, e regulator jest idealnym wzmacniaczem. Mo emy zatem napisa :
ut (t ) = k weε (t )
gdzie: kw - współczynnik wzmocnienia wzmacniacza
(6)
V
.
V
♦ układ nastawiania warto ci zadanej
Wielko ci wej ciow układu zadawania poziomu po danego cieczy jest przesuni cie suwaka
potencjometru h0 ( t ) , za wyj ciow napi cie na suwaku potencjometru eh0 (t ) :
h0(t)
Układ zadawania
poziomu
(potencjometr)
eh0(t)
Rysunek 7. Potencjometr jako układ zadawania poziomu po danego cieczy
6
Układ zadawania poziomu po danego cieczy jest identyczny, co do zasady działania z układem
pomiaru poziomu. Korzystaj c, zatem z powy szych wyprowadze mo emy napisa :
eh0 (t ) =
gdzie:
k h0
e0
h0 max
h0 (t ) = k h0 h0 (t )
- współczynnik wzmocnienia układu zadawania poziomu cieczy
(7)
V
,
m
♦ urz dzenie wykonawcze (silnik + przekładnia z bata + zawór)
Silnik (siłownik)
Silnik jest elementem urz dzenia wykonawczego. Wielko ci wej ciow silnika jest napi cie ut ( t ) ,
za wyj ciow droga k towa wału tego silnika:
ut(t)
Silnik (element
urz dzenia
wykonawczego)
αs(t)
Rysunek 8. Silnik jako element urz dzenia wykonawczego
Zakładaj c, e silnik pr du stałego posiada pomijalnie mał indukcyjno twornika i pomijalnie mały
jest moment obci enia zewn trznego, mo na zale no wi c napi cie twornika z pr dko ci
k tow wału (przy ustalonym napi ciu wzbudzenia) zapisa w postaci:
J
dω S (t )
= k mut (t ) − koω S (t )
dt
(8)
gdzie: J - moment bezwładno ci silnika i układu nap dzanego, [ kg ⋅ m2 ] ,
ωs - pr dko
k towa silnika, rad ; 1 ,
s
s
dω S
rad 1
- przy pieszenie k towe silnika, 2 ; 2 ,
dt
s s
km - współczynnik momentu nap dowego silnika,
N ⋅ m ⋅ rad N ⋅ m
,
;
V
V
ut - napi cie twornika, [V ] ,
k0 - współczynnik oporów silnika,
N ⋅m⋅ s
; N ⋅m⋅ s .
rad
Poniewa silnik słu y do przestawiania zaworu, interesuje nas zatem droga k towa wału silnika:
dα s (t )
= ω s (t )
dt
gdzie: αs - droga k towa wału silnika, [rad;− ] .
7
(9)
Przekładnia z bata
Przekładnia jest nast pnym elementem urz dzenia wykonawczego. Wielko ci wej ciow przekładni
jest droga k towa wału silnika α s ( t ) , za wyj ciow droga k towa ko cowego koła z batego
przekładni α p ( t ) :
Przekładnia
(elem ent
urz dzenia
wykonawczego)
α s (t)
α p (t)
Rysunek 9. Przekładnia jako element urz dzenia wykonawczego
Przekładnia z bata jest członem proporcjonalnym, a jej działanie mo na opisa zale no ci :
α p (t ) =
z1
α s (t ) = k pα s (t )
z2
(10)
gdzie: z1, z2 - liczba z bów odpowiednio, pierwszego i drugiego koła z batego;
kp - współczynnik wzmocnienia przekładni, [ −]
Zawór
Zawór jest ostatnim elementem urz dzenia wykonawczego. Zawór jako element nastawiaj cy warto
nat enia przepływu cieczy Q1 ( t ) - wielko wyj ciow posiada dwie wielko ci wej ciowe. Pierwsz
wielko ci wej ciow zaworu jest droga k towa ko cowego koła z batego przekładni α p ( t ) , za
drug ci nienie cieczy przed zaworem p( t ) :
p(t)
αp(t)
Zawór (element
urz dzenia
wykonawczego)
Q1(t)
Rysunek 10. Zawór jako element urz dzenia wykonawczego
Obrót ko cowego koła z batego przekładni powoduje zmian poło enia trzpienia zaworu.
Przekształcenie to mo na uzna za proporcjonalne i opisa równaniem:
l t (t ) = k t α p (t )
(11)
gdzie: kt - współczynnik wzmocnienia obrót przekładni - przesuni cie trzpienia
m
;m .
rad
Przesuni cie trzpienia zaworu powoduje zmian nat enia przepływu cieczy za zaworem. Na warto
tego nat enia ma te wpływ ci nienie cieczy przed zaworem. Dla niedu ych zmian przesuni cia
trzpienia zaworu i ci nienia cieczy, w otoczeniu punktu pracy, równanie wi ce te wielko ci z
nat eniem przepływu cieczy za zaworem mo na poda w postaci:
Q1 (t ) = kl lt (t ) + k c p (t )
(12)
gdzie: kl - współczynnik wzmocnienia przesuni cie trzpienia – nat enie dopływu
kc - współczynnik wzmocnienia ci nienie cieczy – nat enie dopływu
8
m5
.
sN
m2
,
s
z1
α s (t ) = k pα s (t )
z2
Napi cie
ut(t)
)
A⋅
h0 (t ) = k h0 h0 (t )
h0 maxPotencjometr
e0
Rysunek 11. Schemat blokowy systemu sterowania
eh0 (t ) =
Napi cie na
suwaku eh(t)
e0
h(t ) = k h h(t )
hmax
Napi cie na
suwaku eh0
eh (t ) =
Poziom cieczy
w zbiorniku h(t)
enie wypływu cieczy ze zbiornika Q2(t)
dh(t )
= Q1 (t ) − Q2 (t )
dt
ut (t ) = kw eh0 (t ) − eh (t ) = kweε (t )
dα s (t )
= ω s (t )
dt
dωS (t )
J
= k mut (t ) − koωS (t )
dt
α p (t ) =
(
Nat enie
dopływu cieczy
do zbiornika Q1(t)
Q1 (t ) = k l k t α p (t ) + k c p(t )
Ci nienie
dopływaj cej cieczy
przed zaworem
p(t)
Nat
g) w postaci odpowiedniego schematu blokowego przedstawi model matematyczny rozwa anego systemu sterowania