Analiza Matematyczna 1, lista 2, zadania z gwiazdką Zadanie

Analiza Matematyczna 1, lista 2, zadania z gwiazdką
Zadanie. (Struktura zbioru liczb rzeczywistych)
1. Sprawdź, że suma, różnica, iloczyn i iloraz liczb wymiernych (poza dzieleniem przez zero) jest zawsze
liczbą wymierną. A √
jak to jest dla liczb niewymiernych?
√
2. Wiemy, że liczba 2 jest niewymierna. Wykaż, że dla n = 1, 2, ... liczba n2 jest liczbą niewymierną.
3. Wykaż, że pomiędzy dwiema różnymi liczbami wymiernymi zawsze można znaleźć liczbę wymierną.
4. Wykaż, że pomiędzy dwiema różnymi liczbami wymiernymi zawsze można znaleźć liczbę niewymierną.
5. Wykaż, że pomiędzy dwiema różnymi liczbami niewymiernymi zawsze można znaleźć liczbę wymierną.
6. Wykaż, że pomiędzy dwiema różnymi liczbami rzeczywistymi zawsze można znaleźć liczbę wymierną i
liczbę niewymierną.
!
1
1
xn−1 +
. Wykaż, że
Zadanie. Dany jest ciąg określony rekurencyjnie: x0 > 0, a dla n > 0 xn =
2
xn−1
!
x0
1
xn−1 +
. Oblicz granicę tego ciągu. A jak
limn→∞ xn = 1. Niech teraz x0 = 2, a dla n > 0 xn =
2
xn−1
to jest, gdy liczbę x0 = 2 zastąpimy przez x0 = a > 0? Zbadaj szybkość zbieżności tego ciągu do granicy.
Komentarz: z tego algorytmu, znanego już 4 tys. lat temu w Babilonii, korzystaja obecnie kalkulatory.
Zadanie. (Różne rodzaje średnich) Samochód przejechał trasę z A do B ze średnią prędkością a km/h i
wrócił z B do A ze średnią prędkością b km/h. Jaka była średnia prędkość na całej drodze? Tutaj połowę
drogi samochód jechał z prędkością a, a połowę z b.
Samochód przejechał trasę z A do B i z powrotem w taki sposób, że połowę czasu jechał ze średnią
prędkością a km/h, a drugą połowę czasu z prędkością b km/h. Jaka była średnia prędkość na całej
drodze?
, średnią geomeDla dowolnych liczb dodatnich a, b określamy ich średnią arytmetyczną jako a+b
2
√
2
tryczną jako ab, oraz średnią harmoniczną jako 1 + 1 . Wykaż, że zawsze zachodzą nierówności
a
1
a
2
+
1
b
¬
√
ab ¬
b
a+b
.
2
Uogólnienie na n liczb: jeśli danych jest n liczb dodatnich a1 , a2 , ..., an to zawsze
1
a1
+
1
a2
n
+ ... +
1
an
¬
√
n
a1 a2 ...an ¬
a1 + a2 + ... + an
.
n
Wsk. Dość łatwo to udowodnić dla n = 4, 8, 16, 32.... Stosując odpowiednie podstawienie np. dla n = 4
łatwo wykazać tę nierówność dla n = 3 itd. Ten sposób dowodu nazywamy indukcja wsteczną.
Zadanie. Wykaż, że każda funkcja określona na całej prostej jest sumą funkcji parzystej i nieparzystej.
Wsk. Jaką własność ma g(x) = f (x) + f (−x)?
Zadanie. Dana jest funkcja f : R → R, która jest ciągła i dla wszystkich x, y ∈ R spełnia równanie
(zwane funkcyjnym równaniem Cauchy’ego) f (x + y) = f (x) + f (y). Wykaż, że wówczas f (x) = ax dla
pewnego a ∈ R.
Wsk. Oblicz wartość f (0).
że f (1) = a i oblicz f (2), f (3), f (n), f (−n). Potem dla liczby wymiernej
Załóż,
m
m
nieskracalnej n oblicz f n , a następnie skorzystaj z ciągłości f .
Zadanie. Funkcja Dirichleta.
Dana jest funkcja
(
f (x) =
0, gdy x niewymierne lub zero,
1
, gdy x = m
i ułamek jest nieskracalny.
n
n
Wykaż, że f jest ciągła w zerze i we wszystkich punktach niewymiernych. W puntach wymiernych różnych
od zera f nie jest ciągła.