Wykaż, że dla każdej dodatniej liczby rzeczywistej różnej od 1 oraz

Zadanie 1. (3 pkt)
Wykaż, że dla każdej dodatniej liczby rzeczywistej 𝑥 różnej od 1 oraz dla każdej dodatniej liczby rzeczywistej 𝑦
różnej od 1 prawdziwa jest nierówność
𝑦
𝑦
log 𝑥 (𝑥𝑦) ∙ log 𝑦 (𝑥 ) = log 𝑦 (𝑥𝑦) ∙ log 𝑥 (𝑥 ).
ROZWIĄZANIE:
1
Korzystamy ze wzoru na zmianę podstaw logarytmu oraz z zależności log 𝑎 𝑏 = log
𝑏𝑎
𝑦
𝑦
log 𝑦 (𝑥𝑦) log 𝑥 (𝑥 ) log 𝑦 (𝑥𝑦) ∙ log 𝑥 (𝑥 )
𝑦
𝑦
𝐿 = log 𝑥 (𝑥𝑦) ∙ log 𝑦 ( ) =
∙
=
= log 𝑦 (𝑥𝑦) ∙ log 𝑥 ( ) = 𝑃
1
𝑥
log 𝑦 𝑥
log 𝑥 𝑦
𝑥
∙ log 𝑥 𝑦
log 𝑥 𝑦