Wykład 5 Magnetyzm cz. 2

Magnetyzm cz.II
Indukcja elektromagnetyczna
Równania Maxwella
Obwody RL,RC

1
Indukcja elektromagnetyczna
Prawo indukcji Faraday’a
Co się stanie gdy przewodnik elektryczny umieścimy w zmiennym polu
magnetycznym?
2
Indukcja elektromagnetyczna
Prawo indukcji Faraday’a
Co się stanie gdy przewodnik elektryczny umieścimy w zmiennym polu
magnetycznym?
Pojawiający się prąd jest prądem
indukowanym wywoływanym przez
indukowaną siłę elektromotoryczną SEM.
Indukowana siła elektromotoryczna w
obwodzie przewodnika elektrycznego jest
równa szybkości z jaką zmienia się strumień
pola magnetycznego przechodzący przez
powierzchnię rozpiętą przez obwód.
Prawo indukcji
Faraday’a
Gdzie
strumień
definiowany
jest:
ε
SEM
→
dφ
=−
dt
→
φ = ∫ B ⋅ ds
3
Strumień wektora B przez powierzchnię
strumień definiowany
jest:
→
→
φ = ∫ B ⋅ ds
jeśli powierzchnia jest płaszczyzną o pow. A
Φ m = A B⊥ = A B cosθ
B⊥ = B cosθ
4
Indukcja elektromagnetyczna,
Reguła Lenza
Przykład: Ramka wyciągana z pola
magnetycznego z prędkością v
5
Indukcja elektromagnetyczna,
Reguła Lenza
Przykład: Ramka wyciągana
z pola magnetycznego z
prędkością v
Strumień wektora B przez ramkę:
φm = B ⋅ A = B ⋅ L ⋅ x
więc siła elektromotoryczna:
ESEM
ESEM
Powierzchnia
jaką przenika
pole
magnetyczne
dφ m
dA
=−
= −B
dt
dt
dx
= − BL = BLv
dt
Zgodnie z tzw. regułą Lenz’a:
Indukowany prąd ma taki
kierunek, że pole magnetyczne
wytworzone przez ten prąd
przeciwstawia się zmianom pola
magnetycznego które go wywołało.
Kiedy płynie prąd w obwodzie
to jeśli znajduje się w polu
magnetycznym, musi na niego
działać siła
F1 = BiL
F2 = Bix
F1=iLxB
znoszą się
F3 = - F 2
B 2 L2v
F1 =
R
Wyciągając ramkę doznajemy
oporu, musimy wykonać pewną
pracę – ta praca jest zużywana
na np. wydzielenie ciepła w
obwodzie.
i=
ESEM BLv
=
R
R
6
Indukcja elektromagnetyczna
F(t) = ?
ε
sem(t)
=?
Φ(t) = ?
Przykład: Ramka przechodzi przez pole magnetyczne z
prędkością v
7
Indukcja elektromagnetyczna
Strumień wektora B przez ramkę:
 
φ B = ∫ B.dA = BA
A
więc siła elektromotoryczna:
ε
sem
=−
ponieważ:
x
dφB
dA
= −B
= − BLv
dt
dt
dA
dx
= L = Lv.
dt
dt
pole powierzchni zwiększa się, dlatego kierunek
prądu (zgodnie z regułą Lenza) będzie przeciwny
niż w poprzednim przypadku.
8
Indukcja elektromagnetyczna, prąd zmienny
układ poruszający
ramkę
obwód
zewnętrzny
Strumień wektora
B
 
φ B = N ∫ B.dA
A
= NBA cos(φ )
Siła SEM
ε
obracająca
się ramka
magnes
dφB
SEM
dt
= ω N B A sin(ω t )
częstość
obrotów
=−
liczba powierzzwojów-ra chnia
mek
ramki
9
Zmienne pole magnetyczne, reguła Lenza
Strumień wektora
B
→ →
φ = ∫ B ⋅ ds
Siła SEM
ε
SEM
dφ
=− m
dt
Prąd
indukowany
ε
i=
SEM
R
Zgodnie z tzw. regułą Lenz’a:
Indukowany prąd ma taki
kierunek, że pole magnetyczne
wytworzone przez ten prąd
przeciwstawia się zmianom pola
magnetycznego które go wywołało.
Pole Bi wytworzone przez prąd i
Zew.
pole B
rośnie
Zew.
pole B
maleje
Zew.
pole B
rośnie
Zew.
pole B
maleje
10
Zmienne pole magnetyczne,
prawo indukcji Faraday’a raz jeszcze
Pole magnetyczne B zmienia swoją wartość
Rozważając okrąg o promieniu r możemy
stwierdzić, że obejmuje on strumień φ m
Gdy φ m zmienia się w czasie to indukuje się
SEM, a więc także pole elektryczne, które
jest styczne do tego okręgu!
zmienne pole magnetyczne
wytwarza pole elektryczne
Siła SEM, ma wymiar napięcia, zależność
między siłą SEM a natężeniem pola wynosi:
ε
→ →
SEM
= ∫ E ⋅ dl
x
x
x
Ex
x
x
x
x
x
x
x
x
x
x
x
x
x
x
x
x
x
x
x
x
x
x
x
x
x
xr x
x
Ex
x
x
x
x
x
x
x
x
x
Bx
x
x
x
x
xE x
x
x
x
x
x
x
x
x
x
x
x
x
x
x
x
x
x
x
x
x
x
Ex
x
więc:
dφ m
∫ E ⋅ dl = − dt
→ →
11
Różnica między statycznym a indukowanym
polem elektrycznym
•
„Statyczne” pole elektryczne wytwarzane
jest przez ładunki elektryczne – linie tego pola
mają swój początek tam gdzie znajduje się
ładunek dodatki, a kończą się tam gdzie
znajduje się ładunek ujemny – mówimy że pole
jest „bezwirowe”
•
Zmienne pole magnetyczne wytwarza
indukowane pole elektryczne (prawo
Faraday’a) – linie tego pola nie mają końca ani
początku- mówimy że pole jest „wirowe”
x
x
x
Ex
x
x
x
x
x
x
x
x
x
x
x
x
x
x
x
x
x
x
x Ex
x
x
x
x x x rx x
– pole to wytwarza się niezależnie od tego czy x x x xZmienne
w danym miejscu znajduje się obwód
x x pole
x x magnetyczne
x x x x x
B
przewodzący
x x x x x x x x x
x
xE x
x
x
x
x
x
x
x
x
x
x
x
x
Ex
x
12
x
Różnica między statycznym a indukowanym
polem elektrycznym
•
Linie pola magnetycznego nie maja początku ani
końca – zawsze tworzą zamknięte pętle – mówimy
że pole magnetyczne jest „wirowe”
•
Pole magnetyczne wytwarzane jest przez
prądy elektryczne (poruszające się ładunki)
•
Ponadto, okazuje się, że zmienne pole
elektryczne wytwarza pole magnetyczne
•
Zmienne pole magnetyczne indukuje siłę
elektromotoryczną w obwodzie
elektrycznym w nim umieszczonym
13
Indukcyjność cewki, samoindukcja
Induktor: urządzenie, które ma produkować pole magnetyczne o znanej
wartości w określonym obszarze
Induktorem może być cewka (zwojnica, solenoid)
Def. Indukcyjności cewki
(współczynnik indukcji własnej)
liczba
zwojów
NΦ
L=
i
strumień wektora B (wytworzone
pole magnetyczne)

T m2 
1 H = A 


prąd płynący przez
cewkę
Zjawisko samoindukcji:
Indukowana SEM pojawia się w cewce gdy
zmienia się w niej prąd:
SEM samoindukcji
ε
SEM
d ( NΦ )
di
=−
= −L
dt
dt
14
Obliczenie indukcyjności dla wewnętrznej części
długiego solenoidu.
l
Niech długość solenoidu = l
Strumień wewnątrz wynosi:
powierzchnia
przekroju
NΦ B = n l B A
liczba zwojów na
jednostkę długości
Wartość B w środku
solenoidu
L=
B = µ0n i
NΦ
= µ 0 n 2lA
i
Indukcyjność jest proporcjonalna do objętości
solenoidu (lA) i kwadratu „gęstości nawinięcia”
zwojów n.
15
Solenoid toroidalny –
pole magnetyczne w środku
Z prawa Ampera, korzystają z krążenia wektora B
po drodze (1)
ilość zwojów
∮ B⋅dl
= 0 N I
B2  r =  0 I N
otrzymujemy
0 I N 1
B =
2 r
promień
Zwrócimy uwagę że pole jest niejednorodne w środku!
Jeśli zastosujemy krążenie wektora B po drodze (2) to
łatwo wykazać że nie ma pola magnetycznego na
zewnątrz toroidu.
16
Solenoid toroidalny - indukcyjność
h
b
a
dr
Definicja indukcyjności:
L=
całkowity strumień pola mag.
prad
Wkład warstwy o przekroju h dr do strumienia pola
magnetycznego
d  = N B dA = N B h dr
Całkowity strumień pola magnetycznego w środku
 0 N 2 h I b dr
 =
∫r
2
a
2
0 N h I
b
 =
ln
2
a
Indukcyjność toroidu
0 N 2 h b
L =
ln
2
a
17
Równania Maxwell’a
Prawo Gauss’a
I
→ →
ε 0 ∫ E⋅ ds = q
strumień E
Prawo Gauss’a
→ →
II
⋅ ds = 0
∫B
strumień B
Prawo Faraday’a
III
dΦ B
∫ E⋅ dl = −
krążenie E
dt
→ →
Prawo Ampera-Maxwell’a
IV
Całkowity strumień E w zamkniętej powierzchni równy
jest ładunkowi w niej zawartemu
Pole elektryczne może być polem źródłowym
Nie znamy „ładunku magnetycznego”
Pole magnetyczne jest polem wirowym
Zmienne pole magnetyczne indukuje pole
elektryczne
Prąd „przesunięcia” – analogia do rów.
III
dΦ E
+ µ0 i
∫ B⋅ dl = µ 0ε 0
dt
krążenie B
→ →
Pole magnetyczne może być
wytworzone przez zmienne pole
elektryczne lub przez prąd płynący w
przewodniku
Prąd przebijający rozpiętą
powierzchnię na obwodzie
l
18
Prawo Gaussa dla pola
magnetycznego
Prawo Gauss’a
II
→ →
⋅ ds = 0
∫B
strumień B
Nie znamy „ładunku magnetycznego”
Pole magnetyczne jest polem wirowym
19
Prawo Faraday’a
Prawo Faraday’a
III
dΦ B
∫ E⋅ dl = −
krążenie E
dt
→ →
Zmienne pole magnetyczne
indukuje pole elektryczne
20
Prawo Ampera-Maxwell’a
IV
dΦ E
+ µ0 i
∫ B⋅ dl = µ 0ε 0
dt
krążenie B
→ →
21
Interpretacja „prądu przesunięcia”
Chwilowo podczas włączenia
baterii w obwodzie popłynie prąd.
Dlaczego?
ID
 Poruszające się ładunki elektryczne
(prąd) indukują magnetyczne pole
 Ładunki elektryczne indukują pole
elektryczne
 Pole elektryczne zmienia się gdy
ładunek zmienia się na kondensatorze
 Zmieniające się pole elektryczne jest
odpowiednikiem prądu – prądu
przesunięcia ID
A
Q = CV = (ε 0 )( Ed ) = ε 0 AE
d
dQ
dE
dΦ E
ID =
= ε0 A
= ε0
dt
dt
dt
22
Interpretacja „prądu przesunięcia”
23
Równania Maxwell’a (postać różniczkowa)
Prawo Gauss’a
I
II
→
→ →
div D = ∇⋅ D = q
Prawo Gauss’a
→
→ →
→
→
→
→
Prawo Ampera-Maxwell’a
→
→
→
→
wektor polaryzacji
elektrycznej w ośrodku
→
→
D = εε 0 E
lub
wektor polaryzacji
magnetycznej w ośrodku
→
B = µ0 H + µ0 M
→
→
lub
→
B = µµ 0 H
→
∂D →
IV rot H = ∇× H = + j
∂t
→
→
natężenie pola
indukcja pola
magnetycznego magnetycznego
dB
rot E = ∇× E = −
dt
→
natężenie pola
elektrycznego
D =ε0 E + P
div B = ∇⋅ B = 0
Prawo Ampera
III
indukcja pola
elektrycznego
wektor gęstości
prądu
24
Obwód RL
VR = Ri
Z II prawa Kirchoffa :
Suma spadków potecjałów w
zamkniętym obwodzie + suma sił
elektromotorycznych = 0
ε +V
R + VL = 0
ε
di
− iR − L = 0
dt
VL
Co się stanie gdy przełącznik
włączymy do pozycji a ?
Nagłe włączenie ogniwa
powoduje przepływ prądu – prąd
jednak nie „narasta” w obwodzie
natychmiast – rośnie stopniowo.
Dlaczego?
Na skutek zmieniającego się prądu i (a więc
zmienia się pole magnetyczne w cewce) indukuje
się SEM samoindukcji EL, która przeciwstawia się
wzrostowi prądu w obwodzie.
25
Obwód RL
VR = 0.63ε
równanie różniczkowe liniowe I rzędu
ε
di
= iR + L
dt
τ
τ=
oto rozwiązanie
ε
i = (1 − e
R
−
Ri =
Rt
L
)
L
R
VL = ε (e −1 ) = 0.37ε
L
di
=
dt
τ
26
Energia pola magnetycznego
ε
di
= iR + L
dt
szybkość z jaką energia
jest dostarczana do
obwodu z ogniwa (moc)
dW
ε i = ε dq
=
dt
dt
Energia
magazynowana w
polu magnetycznym
cewki
di
ε i = i R + Li dt
2
szybkość z jaką
energia jest tracona
w postaci ciepła na
oporniku R (moc)
szybkość z jaką energia
magazynowana w polu
magnetycznym cewki
dU B
di
= Li
dt
dt
UB
i
0
0
U B = ∫ dU B = ∫ Lidi = 12 Li 2
27
Gęstość energii pola magnetycznego
Ilość energii
zmagazynowanej w
polu magnetycznym
cewki o indukcyjności
L
U B = Li
1
2
2
Powierzchnia A
l
Definiujemy gęstość energii jako :
UB
uB =
Al
2
2
1
Li
L
i
uB = 2
=
Al
l 2A
2
1
Li
uB = 2
= 12 µ0 n 2i 2
Al
długość
Okazuje się, że taka definicja
gęstości energii pola
magnetycznego obowiązuję
dla każdego pola B
Porównaj gęstość energii dla
pola elektrycznego
L
= µ0 n 2 A
l
B = µ0 ni
B2
uB =
2µ0
ε0E2
uE =
2
28
Obwód RC
VR = Ri C
Z II prawa Kirchoffa :
Suma spadków potecjałów w
zamkniętym obwodzie = 0
ε +V +V = 0
ε − iR − Cq = 0
R
C
q
ε − R dq
− =0
dt C
C
V
C
Co się stanie gdy przełącznik
włączymy do pozycji a ?
Nagłe włączenie ogniwa
powoduje gromadzenie się
ładunku na kondensatorze –
ładunek jednak nie „narasta” na
okładkach natychmiast –
rośnie stopniowo. Dlaczego?
Na początku płynie pewien prąd ładowania i do
momentu aż różnica potencjałów na kondensatorze
VC osiągnie wartość SEM ogniwa E.
29
Obwód RC
C
q
ε = R dq
+
dt C
równanie
Cε
q (t )
oto rozwiązanie
t
−


RC
q = Cε 1 − e 


mnożąc przez i
τ
τ = RC
ε i = i R + qiC
2
dU C q dq
=
dt
C dt
UC
q dq
dU C =
C
Q
2
Q
energia pola
elektrycznego U C = ∫ dU C = ∫ qdq =
2C
0
0
ε /R
i (t )
i=
dq
dt
ε
i= e
−
t
RC
R
τ
30