Arkusz maturalny

ZESTAW I
Zadanie 1
Rozwiąż nierówność ( x + 2)( x − 1) > 10 .
Zadanie 2
Rozwiąż równanie 2 x 3 −
1 2
x − 4x + 1 = 0 .
2
Zadanie 3
Udowodnij, że jeżeli ramiona trapezu zawierają się w dwóch prostych
prostopadłych, to suma kwadratów długości podstaw trapezu równa się sumie
kwadratów długości jego przekątnych.
Zadanie 4
Wiadomo, że dla kąta ostrego α zachodzi związek sin α + cos α =
2
. Oblicz tgα .
5
Zadanie 5
Wykaż, że jeżeli a ∈ (1,3) to
a2 −1
2
> (a − 1) .
2
Zadanie 6
W trapezie równoramiennym o obwodzie 20cm dłuższa podstawa jest o 3cm dłuższa
od ramienia, a krótsza podstawa jest o 3cm krótsza od ramienia. Oblicz pole trapezu.
Zadanie 7
Pole powierzchni całkowitej graniastosłupa prawidłowego czworokątnego wynosi
264cm 2 . Krawędź boczna graniastosłupa jest o 2cm dłuższa od krawędzi podstawy.
Oblicz objętość tego graniastosłupa.
Zadanie 8
Rzucamy dwa razy symetryczną sześcienną kostką do gry. Opisz zbiór wszystkich
zdarzeń elementarnych dla tego doświadczenia. Oblicz prawdopodobieństwo
każdego z następujących zdarzeń:
A – w każdym rzucie wypadnie nieparzysta liczba oczek
B – suma oczek otrzymanych w obu rzutach jest liczbą większą od 9
C – suma oczek otrzymanych w obu rzutach jest liczbą nieparzystą i większą od 9
Zadanie 9
Pole powierzchni całkowitej ostrosłupa prawidłowego trójkątnego równa się
9( 3 + 55 ) , a pole jego powierzchni bocznej 9 55 . Oblicz objętość ostrosłupa.
Zadanie 10
Na stole leżało 14 banknotów: 2 banknoty o nominale 100zł, 2 banknoty o nominale
50zł i 10 banknotów o nominale 20zł. Wiatr zdmuchnął na podłogę 5 banknotów.
Oblicz prawdopodobieństwo tego, że na podłodze leży dokładnie 130zł.
ZESTAW II
Zadanie 1
Rozwiąż nierówność x + 2 − x − 1 ≥ 5 .
Zadanie 2
Rozwiąż równanie − 2 cos 2 x + 3 sin x + 3 = 0 dla wszystkich liczb z przedziału 0,2π .
Zadanie 3
a) Reszta z dzielenia pewnego wielomianu W przez dwumian x − 2 wynosi 60 a
przez dwumian x − 3 wynosi 120. Wyznacz resztę z dzielenia wielomianu W
przez iloczyn ( x − 2)( x − 3) .
b) Wiadomo dodatkowo, że wielomian W jest podzielny przez iloczyn
(x + 2)(x + 3) . Wyznacz współczynniki wielomianu W.
c) Wykaż, że dla każdej liczby całkowitej k liczba W(k) jest podzielna przez 6.
Zadanie 4
Wykaż, że jeżeli n dodatnich liczb x1 , x 2 ,..., x n tworzy jednocześnie ciąg arytmetyczny
i geometryczny, to ciąg liczb 2 x1 ,2 x2 ,...,2 xn jest ciągiem geometrycznym, a ciąg liczb
log 5 x1 , log 5 x 2 ,..., log 5 x n jest ciągiem arytmetycznym.
Zadanie 5
Wyznacz wszystkie wartości parametru m dla których równanie x 2 − (m + 1)x + m = 0
ma dwa różne pierwiastki większe od 1.
Zadanie 6
Dane są punkty A(-1,1) i B(2,4). Na prostej x − y + 4 = 0 znajdź punkt C, tak aby
trójkąt ABC był prostokątny.
Zadanie 7
Czwarty wyraz pewnego ciągu arytmetycznego wynosi 13, a dwunasty wyraz tego
ciągu jest równy -3. Dla jakiego n suma n początkowych kolejnych wyrazów tego
ciągu jest największa?
Zadanie 8
Zarobki oraz liczba pracowników pewnej firmy przedstawiają poniższe tabelki:
szef
9.000zł
szef
1
Zarobki
sekretarka
pracownicy
grupy 1
4.000zł
2.500zł
pracownicy
grupy 2
1.500zł
Liczba pracowników
sekretarka
pracownicy
grupy 1
1
4
pracownicy
grupy 2
8
a) Oblicz średnią płacę w tej firmie.
b) Oblicz medianę płacy tej firmy.
c) Sprawdź, czy prawdopodobieństwo, że dla losowo wybranych dwóch
pracowników firmy co najmniej jeden zarabia poniżej średniej jest większe
niż 0,76?
Zadanie 9
Pewna gra polega na losowaniu trzech liczb ze zbioru cyfr {1,2,3,4,5,6,7,8,9}.
Gracz wygrywa 100zł jeżeli wytypuje jakie trzy liczby zostaną wylosowane.
Jeżeli wyznaczy poprawnie tylko 2 liczby otrzymuje 50zł. W przeciwnym wypadku
nic nie wygrywa. Jakie jest prawdopodobieństwo iż gracz wygra co najmniej 50zł?
Zadanie 10
Ostrosłup prawidłowy trójkątny o krawędzi podstawy długości 8cm i krawędzi
bocznej długości 6cm przecięto płaszczyzną równoległą do płaszczyzny podstawy
i dzielącą wysokość bryły w stosunku 1:2 od strony wierzchołka.
Oblicz objętość bryły odciętej od strony wierzchołka ostrosłupa.
Zadanie 11
Uzasadnij, że liczba n 2 + 3n − 4 jest parzysta dla każdego n ∈ N .
Zadanie 12
Wykaż, że nierówność x 4 + 2 x 3 + 3 x 2 + 2 x + 2 > 0 jest spełniona przez każdą liczbę
rzeczywistą.
Zadanie 13
Określ w zależności od parametru m liczbę pierwiastków równania x 2 − 2 x − 3 = m .
Zadanie 14
Z napełnionego cieczą naczynia o pojemności 102 litrów wypływa w pierwszej
minucie 5 litrów cieczy, a w każdej następnej o 0,25 litra mniej niż w poprzedniej.
Po ilu minutach naczynie będzie opróżnione do połowy?
Zadanie 15
W urnie znajduje się 8 kul białych i 10 czarnych. Losujemy 4 kule. Obliczyć
prawdopodobieństwo wylosowania przynajmniej jednej pary kul różnego koloru.
Zadanie 16
Spośród liczb naturalnych od 1 do 100 losujemy liczbę k. Obliczyć
prawdopodobieństwo zdarzenia: liczba k 2 przy dzieleniu przez 4 daje resztę 1.